TVPS_posobie_13_06_2013

Определение. Переход t маркированной сети Петри (C, μ0) называется живым, если он является потенциально живым при

μ R(C, μ0).

Определение. Сеть Петри называется живой, если все ее переходы живы.

Рассмотрим пример сети Петри, в которой в зависимости от порядка запуска переходов может возникать или не возникать тупиковая маркировка.

Пример 27. Рассмотрим пример распределения ресурсов для двух процессов а и b с двумя ресурсами q и r. Позиция p4 представляет ресурс q, позиция p5 – ресурс r (Рис. 38).

Если оба процесса нуждаются в обоих ресурсах, им необходимо будет совместно использовать ресурсы. Для выполнения этого потребуем, чтобы каждый процесс запрашивал ресурс, а затем освобождал его. Теперь предположим, что процесс а сначала запрашивает ресурс q, затем ресурс r и, наконец, освобождает и q, и r. Процесс b работает аналогично, но сначала запрашивает r, а затем q. Рис. 38 иллюстрирует два процесса и распределение ресурсов между ними.

Рис. 38. Сеть Петри для примера 27

61

Начальная маркировка помечает ресурсы q(р4) и r(р5) доступными и указывает на готовность процессов а и b. Одним вариантом выполнения этой сети является t1t2t3t4t5t6…; другим – t4t5t6t1t2t3…. Ни одна из последовательностей запусков не приводит к тупику.

Однако рассмотрим последовательность, которая начинается переходами t1, t4. Тогда процесс а обладает ресурсом q и хочет получить r, процесс b обладает ресурсом r и хочет получить q. Однако ни процесс a, ни процесс b продолжить выполнение не могут, так как в результате запуска из начальной маркировки переходов t1 и t4 достигнута тупиковая маркировка.

Для анализа возможностей возникновения тупиков в сетях Петри используется также понятие «уровень активности перехода», которое было предложено Д. Питерсоном.

Определение. Максимальная последовательность запусков переходов маркированной сети Петри – это либо бесконечная последовательность допустимых переходов, либо конечная последовательность допустимых переходов, приводящая к тупиковой маркировке.

Пусть имеется маркированная сеть Петри С=(P, T, I, O, 0). Переход tj T может иметь один из следующих уровней активности:

Уровень 0: Переход tj обладает активностью уровня 0, если он никогда не может быть запущен. Определение совпадает с введенным ранее понятием пассивного перехода.

Уровень 1: Переход tj обладает активностью уровня 1, если он потенциально живой, т. е. если существует такая ' R(C, 0), что tj разрешен в '.

Уровень 2: Переход tj обладает активностью уровня 2, если для всякого целого п существует максимальная последовательность запусков переходов, в которой переход встречается п раз.

Уровень 3: Переход tj обладает активностью уровня 3, если существует последовательность запусков переходов, в которой переход встречается бесконечное число раз.

62

Уровень 4: Переход tj обладает активностью уровня 4, если в любой максимальной последовательности запусков переходов он встречается бесконечное число раз.

Определение. Сеть Петри обладает активностью уровня k, если каждый ее переход обладает активностью уровня больше или равного k.

Пример 28. Рассмотрим сеть Петри (Рис. 39) для иллюстрации уровней активности переходов.

Рис. 39. Сеть Петри для иллюстрации уровней активности переходов

Устойчивость. Параллелизм. Конфликтность

переходы, запуск любого из этих переходов не лишает возможности запуска перехода tj.

Определение. Маркированная сеть Петри устойчива, если устойчивы все ее переходы.

Пример 29. Рассмотрим сеть Петри (см. Рис. 39) для иллюстрации свойства устойчивости перехода. Рассмотрим начальную маркировку. В ней разрешены переходы t1 и t3. Запуск перехода t3 не лишает возможности запуска перехода t1, а запуск перехода t1 лишает возможности запуска перехода t3. Это значит, что переход t3 устойчивым не является. Если рассмотреть дальнейшее функционирование сети Петри, то маркировки, в которых переход t1 будет разрешен одновременно с каким-либо другим переходом, больше не встретятся. Таким образом, переход t1 является устойчивым.

Что касается всей сети, то она неустойчивая, так как не устойчив переход t3.

Параллелизм. Этим свойством обладает сеть, у которой в некоторой маркировке одновременно разрешены два или более переходов без общих входных позиций.

Конфликтность. Этим свойством обладает сеть, у которой в некоторой маркировке разрешены два или более переходов с общими входными позициями.

Пример 30. Рассмотрим сеть Петри (см. Рис. 39). В ней в начальной маркировке разрешены два перехода t1 и t3, имеющие общую входную позицию p1. Таким образом, данная сеть Петри обладает свойством конфликтности. Если рассмотреть дальнейшее функционирование сети Петри, то маркировки, в которых разрешены одновременно два или более переходов, больше не встретятся. Таким образом, данная сеть Петри свойством параллелизма не обладает.

64

2.11.Языки сетей Петри

Класс свободных языков сетей Петри

Еще один круг проблем, которые позволяют решать сети Петри, связан с анализом динамики моделируемой сетью системы, с характером множеств возможных последовательностей реализации событий.

Так как события системы представлены переходами сети, ее функционирование можно описать в терминах последовательностей запусков переходов.

Множество L(C) последовательностей запусков переходов сети Петри C представляет подмножество множества T* всех слов в алфавите множества переходов T.

Этот язык называют свободным языком сети Петри. Множество свободных языков всех сетей Петри образует класс свободных языков

Lf сетей Петри.

Ранее мы рассматривали сети Петри, в которых все переходы считались различными. Однако, в системах, моделируемых сетями Петри, часто удобно считать различные события в некотором смысле одинаковыми. Например, одинаковые операторные блоки могут входить в различные части программы, одинаковые устройства могут быть встроены в разных частях конвейерной линии.

Введем пометки, отмечающие «одинаковые» и «различные» переходы. Пометки являются символами некоторого алфавита А, а сеть в этом случае становится помеченной. Если символы переходов в последовательностях запусков заменить на помечающие символы, то свободный язык сети Петри преобразуется в некоторый другой язык, порождаемый этой же сетью.

В зависимости от правил пометки переходов и правил формирования последовательностей запусков переходов выделяются различные классы языков, порождаемых сетями Петри.

65

Помеченные сети Петри

Определение. Помеченная сеть Петри – это пара (C, ), где

С=(Р, Т, I, О), : Т А – помечающая функция над некоторым алфавитом А.

На Рис. 40 показан пример помеченной сети Петри (C, ) над алфавитом {a, b, c}:

: (t1)= a, (t2)= c, (t3)= b, (t4)= c.

Рис. 40. Пример помеченной сети Петри

В зависимости от вида получают различные классы языков сетей Петри.

Если – частичная функция, т.е. некоторым переходам не сопоставляется никакой символ из А, то эти непомеченные переходы называются -переходами и помечаются одним и тем же «пустым» символом .

Частичные функции удобны в тех случаях, когда при моделировании системы нужно ввести вспомогательные переходы, не связанные непосредственно с событиями системы, а используемые для некоторых специальных целей моделирования. С помощью -переходов также можно «маскировать» события, которые не

должны рассматриваться в данной задаче моделирования.

Пусть T* допустимая последовательность запусков переходов сети Петри C, (C, ) – помеченная сеть, ( ) A* помечающая последовательность, соответствующая .

Определение. Если L(C) – свободный язык сети Петри C, то множество { ( )| L(C)} называется префиксным языком помеченной сети (C, ).

66

Обратите внимание на тот факт, что если A=T, то свободный язык СП совпадает с ее префиксным языком.

Во многих случаях бывает удобно или необходимо рассматривать не свободный язык сети Петри, включающий все ее последовательности запусков переходов, а только его подмножество.

Другими словами, свободный терминальный язык состоит из всех последовательностей переходов, ведущих от начальной

запусков переходов некоторой сети Петри, ведущие из некоторой начальной маркировки в некоторую заключительную и других таких

последовательностей не существует: 1t1;2t4t3t3t3 .

Тогда префиксный язык: {t1, t1t1, t2t4t3t3t3, t2t4t3t3, t2t4t3, t2t4, t2};

терминальный язык: {t1t1, t2t4t3t3t3}.

Помечающая функция . Классы языков сетей Петри

Вид 1. (tj)=tj для tj T – свободная помечающая функция

(ПФ).

Вид 2. (tj) определена для tj T, пометки – символы из А. Это

всюду определенная помечающая функция. Сеть без -переходов.

Вид 3. (tj) не определена для некоторых переходов, т.е. tj T – такой переход, tj помечается пустым символом и объявляется

-переходом. Тогда это частично определенная помечающая функция.

67

Пусть N – класс всех сетей Петри. На основе введенных ранее понятий и видов помечающих функций (свободная ПФ, всюду определенная ПФ и частично определенная ПФ) можно образовать следующие классы языков сетей Петри (табл. 2).

Верхний индекс f означает, что используются свободные ПФ.

Нижний индекс 0 означает, что рассматриваются терминальные языки.

Пример 31. Рассмотрим сеть Петри с различными вариантами помечающей функции, для каждой найдем префиксный и терминальный языки (Рис. 41).

Рис. 41. Помеченная сеть Петри для примера 31

68

Пусть 0=(1000), t=(0001).

Допустимые последовательности запусков:

1)t2t4;

2)t1...t1t2 t3...t3 t4 .

Варианты помечающей функции: 1) Свободная ПФ – 1(tj)=tj.

Префиксный язык:

L(C)={ t2 ,t2t4 ,t1n1,t1n1t2 ,t1n1t2t3n3 ,t1n1t2t3n3t4 : n1 1, n1 n3}=

={ t1n1t2n2t3n3t4n4 : 0≤n1, 0 n2 ,0 n3 n2 1,0 n4 n2 }.

Префиксный язык:

L(C, 2) ={ an1bn2: n1 1, 0 n2 n1}.

Префиксный язык:

L(C, 3) ={an1bn2cn3: 0 n1 1, (n1=0 n2=0), (n1=1 n2=1), 0 n3 n1}.

Терминальный язык:

L(C, 3, 0, t) ={abnc: n≥0}.

Стандартная форма помеченных сетей Петри

Для сопоставления друг с другом введенных выше языков и классов сетей Петри полезной оказывается специальная

стандартная форма помеченных сетей. Сеть, преобразованная в стандартную форму, сохраняет префиксный и терминальный языки, хотя в стандартной форме и появляются новые переходы и позиции.

Помеченная сеть представлена в стандартной форме, если:

1)|I(tj)|>0 и |O(tj)|>0 для tj T (каждый переход имеет хотя бы одну входную и выходную позицию);

2)в СП выделена специальная «включающая» позиция on с

начальной маркировкой 0(on)=1, при этом начальная маркировка всех остальных позиций равна 0;

3)терминальный язык сети всегда определяется для одной и той

терминальной маркировки t этой сети существует представленная в

параллельно с доказательством пример для иллюстрации процесса приведения СП к стандартной форме (Рис. 42).

70