TVPS_posobie_13_06_2013
.pdfТаблица 12
Задание Д—, Д+,
Вариант |
|
Д— |
|
|
Д+ |
|
|
Вариант |
|
Д— |
|
|
Д+ |
|
|
Вариант |
|
Д— |
|
|
Д+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
100000 |
|
|
110000 |
|
101100 |
2 |
|
101000 |
|
|
100100 |
|
100001 |
3 |
|
100000 |
|
|
111000 |
|
100011 |
|
|
010100 |
|
|
000101 |
|
|
|
|
000001 |
|
|
001001 |
|
|
|
|
011000 |
|
|
010000 |
|
|
|
|
101000 |
|
|
001010 |
|
|
|
|
101001 |
|
|
010010 |
|
|
|
|
100010 |
|
|
000100 |
|
|
|
|
100011 |
|
|
000000 |
|
|
|
|
110011 |
|
|
000000 |
|
|
|
|
000301 |
|
|
001001 |
|
|
4 |
21000 |
|
01000 |
|
100000 |
5 |
100000 |
|
100010 |
|
100100 |
6 |
100000 |
|
110000 |
|
100020 |
||||||
|
00011 |
|
00111 |
|
|
|
011000 |
|
100010 |
|
|
|
110000 |
|
001011 |
|
|
||||||
|
00100 |
|
10000 |
|
|
|
100010 |
|
001101 |
|
|
|
000010 |
|
000011 |
|
|
||||||
|
00011 |
|
11000 |
|
|
|
100101 |
|
000000 |
|
|
|
011200 |
|
000100 |
|
|
||||||
7 |
|
100000 |
|
|
110100 |
|
110000 |
8 |
|
100000 |
|
|
100100 |
|
100001 |
9 |
|
100000 |
|
|
110010 |
|
100001 |
|
|
110000 |
|
|
001002 |
|
|
|
|
110100 |
|
|
000001 |
|
|
|
|
011000 |
|
|
000010 |
|
|
|
|
100000 |
|
|
001000 |
|
|
|
|
000010 |
|
|
001000 |
|
|
|
|
100000 |
|
|
001111 |
|
|
|
|
001100 |
|
|
001010 |
|
|
|
|
000002 |
|
|
001000 |
|
|
|
|
100101 |
|
|
000000 |
|
|
10 |
100000 |
|
111000 |
|
100000 |
11 |
100000 |
|
100100 |
|
100000 |
12 |
100000 |
|
100101 |
|
130000 |
||||||
|
110000 |
|
000001 |
|
|
|
100100 |
|
011000 |
|
|
|
100100 |
|
010000 |
|
|
||||||
|
000010 |
|
000111 |
|
|
|
001100 |
|
000010 |
|
|
|
000201 |
|
000010 |
|
|
||||||
|
001011 |
|
000000 |
|
|
|
110010 |
|
000002 |
|
|
|
020110 |
|
001001 |
|
|
||||||
13 |
|
100000 |
|
|
101100 |
|
010001 |
14 |
|
100000 |
|
|
100101 |
|
001000 |
15 |
|
100000 |
|
|
110100 |
|
200001 |
|
|
001000 |
|
|
010010 |
|
|
|
|
100100 |
|
|
010000 |
|
|
|
|
101000 |
|
|
001112 |
|
|
|
|
100001 |
|
|
000101 |
|
|
|
|
000201 |
|
|
000010 |
|
|
|
|
010100 |
|
|
001000 |
|
|
|
|
100001 |
|
|
000000 |
|
|
|
|
020010 |
|
|
001001 |
|
|
|
|
101000 |
|
|
000000 |
|
|
16 |
100000 |
|
110000 |
|
100011 |
17 |
200000 |
|
200110 |
|
100010 |
18 |
100000 |
|
110010 |
|
100000 |
||||||
|
110000 |
|
000010 |
|
|
|
200000 |
|
010000 |
|
|
|
110000 |
|
001003 |
|
|
||||||
|
000011 |
|
000001 |
|
|
|
010100 |
|
001000 |
|
|
|
001010 |
|
001100 |
|
|
||||||
|
100110 |
|
001100 |
|
|
|
010101 |
|
001010 |
|
|
|
101000 |
|
000000 |
|
|
||||||
19 |
|
100000 |
|
|
101100 |
|
100000 |
20 |
|
110000 |
|
|
000100 |
|
100000 |
21 |
|
100000 |
|
|
101100 |
|
100100 |
|
|
100100 |
|
|
010001 |
|
|
|
|
001000 |
|
|
111000 |
|
|
|
|
001210 |
|
|
000010 |
|
|
|
|
000011 |
|
|
001000 |
|
|
|
|
001000 |
|
|
000101 |
|
|
|
|
101000 |
|
|
010001 |
|
|
|
|
020010 |
|
|
000010 |
|
|
|
|
000202 |
|
|
000010 |
|
|
|
|
110001 |
|
|
000000 |
|
|
22 |
100000 |
|
110001 |
|
100010 |
23 |
010000 |
|
110010 |
|
100000 |
24 |
100000 |
|
111000 |
|
100001 |
||||||
|
010000 |
|
001000 |
|
|
|
100010 |
|
101000 |
|
|
|
001000 |
|
000100 |
|
|
||||||
|
101001 |
|
000010 |
|
|
|
011000 |
|
000100 |
|
|
|
101000 |
|
000101 |
|
|
||||||
|
002100 |
|
000100 |
|
|
|
000201 |
|
000010 |
|
|
|
000202 |
|
000011 |
|
|
||||||
25 |
|
100000 |
|
|
111000 |
|
100100 |
26 |
|
100000 |
|
|
111000 |
|
100010 |
27 |
|
100000 |
|
|
111000 |
|
100000 |
|
|
101000 |
|
|
000002 |
|
|
|
|
110000 |
|
|
000011 |
|
|
|
|
110000 |
|
|
000001 |
|
|
|
|
000001 |
|
|
001110 |
|
|
|
|
001000 |
|
|
000101 |
|
|
|
|
100011 |
|
|
000010 |
|
|
|
|
100001 |
|
|
000000 |
|
|
|
|
000012 |
|
|
000010 |
|
|
|
|
000020 |
|
|
000110 |
|
|
28 |
21000 |
|
01000 |
|
100000 |
29 |
100000 |
|
100010 |
|
100100 |
30 |
100000 |
|
110000 |
|
100020 |
||||||
|
00011 |
|
00111 |
|
|
|
011000 |
|
100010 |
|
|
|
110000 |
|
001011 |
|
|
||||||
|
00100 |
|
10000 |
|
|
|
100010 |
|
001101 |
|
|
|
000010 |
|
000011 |
|
|
||||||
|
00011 |
|
11000 |
|
|
|
100101 |
|
000000 |
|
|
|
011200 |
|
000100 |
|
|
141
Упражнение 8
Для сети С=(Н, Т, D+, D-) требуется: а) найти составную матрицу изменений D;
б) определить = ( k; tj); k=0, 1, 2; j=1, 2, 3, 4;
в) выполнить преобразование Хэка; г) исследовать свойства (активность, сохранение, безопасность) как
исходной сети, так и сети, полученной в результате преобразования Хэка; д) установить, является ли сеть автоматной, синхрографом, сетью со
свободным выбором, ответ пояснить.
Информация о матрицах D— и D+ содержится в табл. 13, o маркировках – в табл. 14.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 13 |
|
|
|
|
Описание матриц D— и D+ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант |
D — |
|
D + |
Вариант |
D — |
D + |
Вариант |
D — |
D + |
|
1 |
00100 |
|
00110 |
2 |
00110 |
01100 |
3 |
10000 |
11000 |
|
|
10010 |
|
10001 |
|
10100 |
01100 |
|
00110 |
00101 |
|
|
01002 |
|
00100 |
|
02001 |
00100 |
|
01001 |
00020 |
|
|
00110 |
|
01100 |
|
00010 |
00020 |
|
20001 |
01010 |
|
4 |
10010 |
10001 |
5 |
10010 |
10001 |
6 |
00011 |
01001 |
|
|
|
10100 |
01020 |
|
01100 |
00021 |
|
00101 |
00101 |
|
|
|
10002 |
00100 |
|
00012 |
01000 |
|
01000 |
10020 |
|
|
|
01000 |
00110 |
|
10100 |
01100 |
|
20010 |
00100 |
|
|
7 |
01001 |
|
11000 |
8 |
01000 |
01010 |
9 |
01100 |
00010 |
|
|
10010 |
|
10011 |
|
10020 |
00100 |
|
01011 |
01100 |
|
|
00100 |
|
00200 |
|
00101 |
10000 |
|
10000 |
01001 |
|
|
01020 |
|
00010 |
|
10010 |
02101 |
|
00200 |
10002 |
|
10 |
01020 |
01001 |
11 |
00110 |
00200 |
12 |
10001 |
10010 |
|
|
|
10010 |
02001 |
|
01001 |
10110 |
|
01010 |
10000 |
|
|
|
00100 |
10010 |
|
10010 |
01001 |
|
00102 |
01001 |
|
|
|
10001 |
00100 |
|
10001 |
10010 |
|
10000 |
00210 |
|
|
13 |
00100 |
|
10102 |
14 |
10010 |
10010 |
15 |
01001 |
11000 |
|
|
10010 |
|
02100 |
|
01200 |
00010 |
|
10010 |
01001 |
|
|
01100 |
|
00010 |
|
00001 |
01100 |
|
20000 |
10100 |
|
|
10002 |
|
01000 |
|
11010 |
20001 |
|
00101 |
00020 |
|
16 |
10011 |
00020 |
17 |
01001 |
11000 |
18 |
01100 |
00101 |
|
|
|
20000 |
01010 |
|
00100 |
00101 |
|
20000 |
01000 |
|
|
|
00100 |
00101 |
|
20000 |
01010 |
|
10001 |
00110 |
|
|
|
01001 |
11000 |
|
10011 |
00020 |
|
00011 |
12000 |
|
|
19 |
01011 |
|
01100 |
20 |
00110 |
01100 |
21 |
20100 |
00100 |
|
|
00200 |
|
10002 |
|
10100 |
10011 |
|
01000 |
10020 |
|
|
00001 |
|
01001 |
|
02001 |
00100 |
|
00101 |
01001 |
|
|
01100 |
|
00010 |
|
00010 |
00020 |
|
01001 |
01002 |
|
142
Окончание табл. 13
22 |
01001 |
01002 |
23 |
00100 |
10101 |
24 |
10010 |
10001 |
|
|
10100 |
10010 |
|
10001 |
02000 |
|
01000 |
00110 |
|
|
10100 |
00100 |
|
01001 |
00010 |
|
10001 |
00012 |
|
|
00020 |
10001 |
|
10020 |
01001 |
|
20010 |
10000 |
|
25 |
10100 |
|
00100 |
26 |
00100 |
00110 |
27 |
01100 |
00010 |
|
01001 |
|
00012 |
|
10011 |
02100 |
|
00010 |
01001 |
|
20010 |
|
10000 |
|
10010 |
10001 |
|
10200 |
10002 |
|
01000 |
|
11010 |
|
01002 |
00100 |
|
01011 |
01100 |
28 |
00100 |
00110 |
29 |
00110 |
01100 |
30 |
10000 |
11000 |
|
|
10010 |
10001 |
|
10100 |
01100 |
|
00110 |
00101 |
|
|
01002 |
00100 |
|
02001 |
00100 |
|
01001 |
00020 |
|
|
00110 |
01100 |
|
00010 |
00020 |
|
20001 |
01010 |
Таблица 14
Описание матриц D— и D+
Вариант |
0 |
|
1 |
|
2 |
|
Вариант |
0 |
|
1 |
|
2 |
|
Вариант |
0 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
01102 |
|
01012 |
|
11110 |
|
11 |
11001 |
|
10102 |
|
11110 |
|
21 |
01021 |
|
11020 |
|
11101 |
|
2 |
02110 |
|
01011 |
|
10111 |
|
12 |
10012 |
|
10102 |
|
11110 |
|
22 |
11020 |
|
00121 |
|
11101 |
|
3 |
21001 |
|
20101 |
|
01111 |
|
13 |
21100 |
|
90101 |
|
01111 |
|
23 |
11201 |
|
01210 |
|
11011 |
|
4 |
11020 |
|
10021 |
|
11101 |
|
14 |
01102 |
|
11002 |
|
11110 |
|
24 |
20101 |
|
20011 |
|
01111 |
|
5 |
11020 |
|
10120 |
|
11101 |
|
15 |
01201 |
|
01210 |
|
11011 |
|
25 |
20011 |
|
01111 |
|
21012 |
|
6 |
10102 |
|
11002 |
|
11110 |
|
16 |
21001 |
|
20101 |
|
01111 |
|
26 |
21100 |
|
20011 |
|
01111 |
|
7 |
01211 |
|
11200 |
|
11011 |
|
17 |
10120 |
|
01021 |
|
11101 |
|
27 |
21010 |
|
20110 |
|
01111 |
|
8 |
02110 |
|
02011 |
|
10111 |
|
18 |
10021 |
|
10120 |
|
11101 |
|
28 |
01102 |
|
01012 |
|
11110 |
|
9 |
21100 |
|
20101 |
|
01111 |
|
19 |
21010 |
|
20011 |
|
01111 |
|
29 |
11200 |
|
10210 |
|
11011 |
|
10 |
11020 |
|
00121 |
|
11101 |
|
20 |
11020 |
|
10120 |
|
11101 |
|
30 |
01201 |
|
01210 |
|
11011 |
|
Упражнение 9
Для сети Петри, полученной в упражнении 8:
1)установить, является ли сеть: общей без петель, ординарной, бесконфликтной, сетью со свободным выбором, автоматной, маркированным графом, устойчивой;
2)проверить, является ли сеть живой;
3)удалить петли;
4)удалить кратные дуги.
143
Вопросы для самоконтроля
1.В чем разница между множеством и комплектом?
2.Как интерпретируются переходы и позиции в сетях Петри?
3.Как можно задать сеть Петри?
4.Какими свойствами обладает граф сети Петри?
5.Что такое «маркировка» сети Петри?
6.При каких условиях переход в сети Петри может быть запущен?
7.Как изменится маркировка сети Петри в результате запуска разрешѐнного перехода?
8.Как описывается состояние сети Петри? Что такое пространство состояний сети Петри?
9.Какие две последовательности, описывают выполнение сети Петри?
10.Дайте определение термину «Непосредственно достижимая маркировка». Сравните его с определением достижимой маркировки.
11.Что такое множество достижимости сети Петри?
12.Какая сеть Петри называется безопасной?
13.Какая сеть Петри называется ограниченной?
14.Какая сеть Петри называется строго сохраняющей, а какая сохраняющей по отношению к вектору взвешивания?
15.Какие уровни активности перехода вы знаете? Какой переход называют пассивным?
16.Какой переход имеет уровень активности 1, 2, 3 и 4?
17.Как определяется уровень активности сети Петри?
18.Какой переход называется устойчивым? Какая сеть Петри называется устойчивой?
19.В каком случае сеть Петри обладает свойством параллелизма?
20.В каком случае сеть Петри обладает свойством конфликтности?
21.Какие задачи анализа сетей Петри Вы знаете?
22.Сформулируйте задачу достижимости для сети Петри.
23.Сформулируйте задачу покрываемости для сети Петри.
24.Какие методы анализа сетей Петри Вы знаете?
25.Что такое дерево достижимости?
144
26.Дайте определения терминов «граничная маркировка», «терминальная маркировка».
27.Назовите средства ограничения дерева достижимости до конечных размеров.
28.Опишите основные шаги алгоритма построения усечѐнного дерева достижимости.
29.Сформулируйте леммы 1, 2 и 3 для доказательства теоремы о конечности дерева достижимости сети Петри.
30.Сформулируйте теорему о конечности усеченного дерева достижимости сети Петри.
31.Как проверить свойства безопасности и ограниченности сети Петри на основе дерева достижимости?
32.Как решается задача сохранения для сети Петри на основе дерева достижимости?
33.Как решаются задача покрываемости и достижимости сети Петри на основе дерева достижимости?
34.Для каких сетей Петри нельзя в общем случае решить задачу покрываемости и достижимости на основе дерева достижимости?
35.Напишите фундаментально уравнение сетей Петри.
36.В чем состоит роль фундаментального уравнения?
37.Как решить задачу достижимости с помощью матричного подхода?
38.Как решить задачу сохранения с помощью матричного подхода?
39.Какое преобразование сети Петри называется LB-эквивалентным?
40.Как исключить петлю из сети Петри?
41.Какие сети Петри называются ординарными?
42.Какими свойствами обладают ординарные сети Петри?
43.Какая сеть Петри называется персистентной?
44.Сформулируйте теорему о тупиковой маркировке персистентной сети.
45.Дайте определение автоматных сетей Петри.
46.Какими свойствами обладают автоматные сети Петри?
47.Дайте определение сети Петри со свободным выбором.
48.Какие сети Петри называются маркированными графами?
145
49.Для чего используются модификации и расширения сетей Петри?
50.Какие модификации сетей Петри Вы знаете?
51.Какие расширения сетей Пери Вы знаете?
146
3.Конечные автоматы
В основу данного раздела положены материалы из книг В. Б. Кудрявцева «Введение в теорию автоматов» [4] и В. Е. Котова «Сети Петри» [3], дополненные и переработанные авторами.
3.1.Основные понятия теории конечных автоматов
Главной особенностью дискретных динамических систем является то, что они работают в дискретном времени и осуществляют переработку дискретной информации. Это означает, что при решении задач достаточно принять во внимание конечное число значений конечного числа параметров системы в отдельные, хотя может быть и следующие друг за другом очень быстро, моменты времени. В качестве дискретных динамических систем могут рассматриваться промышленные объекты, технологические установки, компьютеры, устройства управления, САПР, локальные вычислительные сети, гибкое автоматизированное производство, интеллектуальные системы знаний.
Наиболее простой и тщательно разработанной моделью для таких систем и устройств является конечные автоматы. Теория конечных автоматов (КА) возникла в середине 20-х годов XX века. Сам термин «конечный автомат» был предложен Клини в 1951 году.
Автомат является математической абстракцией системы (машины, устройства) переработки информации или процесса переработки. Автомат имеет конечное число входов, воспринимающих дискретную информацию, т.е. информацию, изображаемую конечным числом символов из некоторого алфавита, и конечное число выходов для выдачи информации. Переработка информации осуществляется в дискретном времени, т.е. во времени, представленном в квантованной шкале. Процесс переработки может быть разбит на этапы, каждый из которых характеризуется некоторым состоянием, в котором находится автомат. Конечный автомат имеет конечное число состояний. Если автомат моделирует систему сложной структуры, то он может быть представлен как
147
совокупность взаимодействующих автоматов, моделирующих ее подсистемы (компоненты системы).
3.2.Различные подходы к определению понятия
«конечный автомат»
Макроподход. В этом случае не интересуются внутренним строением автомата, а интересуются его внешним поведением, т.е. тем, как он осуществляет переработку входной информации в выходную информацию и последовательность состояний. Эта модель называется абстрактный конечный автомат.
Микроподход. В данном случае учитывается структура устройств, составляющих автомат, их функционирование, и связи между ними. Это модель структурного конечного автомата.
Структурный КА задается конечным множеством абстрактных КА, конечной схемой их соединения и описанием влияния частей схемы друг на друга.
Определение. КА есть пятерка М=(А, Q, B, , ), где
А={а1, …, аk} – конечное множество возможных входных сигналов (входной алфавит);
Q={q1,...,qr} – конечное множество возможных внутренних состояний (внутренний алфавит или алфавит состояний);
В={b1, …, bp} – конечное множество возможных выходных сигналов (выходной алфавит);
:Q А Q – функция переходов (следующего состояния);
:Q А В – функция выходов.
Определение. КА называется инициальным, если в нем выделено начальное состояние q Q, в противном случае КА называется неинициальным.
148
Закон функционирования автомата, описываемого моделью Мили (автомат первого рода или R-автомат) имеет вид:
q(t+1)= (q(t), a(t)); b(t)= (q(t), a(t)).
В случае, когда функция выходов не зависит от второго аргумента (от входного сигнала), автомат М называется
абстрактным конечным автоматом Мура.
Закон функционирования автомата Мура (автомат второго рода или S-автомат) имеет вид:
q(t+1)= (q(t), a(t)); b(t)= (q(t))).
3.3.Способы задания конечных автоматов
Матричный способ. Функции и задаются матрицами Cи С размерности k r, k=|А|, r=|Q|:
(c )ij= (qj, ai), (c )ij= (qj, ai).
Пример 54. Пусть А={0, 1, 2}; В={0, 1, 2}; |Q|=4.
Например, (c )24=1. Это означает, что при поступлении входного сигнала «1» (a2=1), автомат перейдет в состояние q1, при условии, что он находился до этого момента в состоянии q4.
Табличный способ. Строится таблица из k строк и r столбцов. На пересечении i-той строки и j-го столбца помещаются значения
(qj, ai), (qj, ai) (табл. 15).
149
Таблица 15
КА задан в виде таблицы
a |
q |
q1 |
q2 |
q3 q4 |
|
0q1, 0 q3, 1 q1, 0 q2, 1
1q2, 1 q1, 0 q3, 1 q1, 0
2q1, 2 q2, 2 q1, 2 q1, 2
Графический способ. Еще один способ задания КА – это конечный ориентированный мультипсевдограф (Рис. 94). Вершины графа соответствуют состояниям. Количество вершин в графе r=|Q|. Дуги имеют двойную пометку (ai, bj), где ai А, bj В. Такой граф называют диаграммой переходов, диаграммой состояний, диаграммой Мура, графом поведения автомата.
Для диаграммы переходов должны выполняться следующие условия корректности.
Условие полноты. Для каждой буквы из алфавита А существует дуга, выходящая из любой вершины qj, которая помечена этой буквой.
Условие непротиворечивости. Каждая буква из А встречается в качестве пометки только на одной дуге, выходящей из вершины qj
(Рис. 94).
|
00 |
|
21 |
|
|
|
q1 |
11 |
q2 |
|
|
|
|
|
|
||
10 |
21 |
01 |
10 |
11 |
|
|
|
|
01 |
||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
q3 |
01 |
q4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
20 |
|
|
Рис. 94. Пример КА в виде диаграммы состояний
Замечание. В диаграмме Мура начальную вершину обозначают символом «*» или « ».
150