TVPS_posobie_13_06_2013

Пример 1. На Рис. 1 изображены графы двух асинхронных процессов.

Рис. 1,а соответствует отношению F1:

s1F1s3; s1F1s4; s1F1s5; s3F1s5; s4F1s5.

Рис. 1,б соответствует отношению F2:

s1F2s3; s1F2s5; s2F2s4; s2F2s5; s3F2s5; s4F2s5.

траекторией.

Любую подпоследовательность траектории, не совпадающую с самой траекторией, будем называть отрезком траектории.

Траектории, которые не являются отрезками никаких других траекторий, называются максимальными.

По сути, траектории это пути в графе.

Примеры максимальных траекторий для АП представлены в примере 3.

АП, имеющие практический интерес, обладают следующими свойствами:

начальной ситуацией максимальной траектории может быть только инициатор, если множество инициаторов непустое;

11

конечной ситуацией максимальной траектории (если она существует) может быть только результант, если множество результантов непустое. В то же время, при построении теории могут встречаться АП, не обладающие этими свойствами.

АП обладает следующими свойствами, описанными выше:

недетерминированность – одной начальной ситуации может соответствовать множество последовательностей (возможно, что siFsj, siFsk при j≠k);

асинхронность – в данном случае это означает, что мы никак не учитываем время перехода из одной ситуации в другую;

параллелизм – не исключено, что одновременно реализуются разные последовательности ситуаций.

Замечания

1.У траектории всегда есть начальная ситуация, конечной может не быть (в АП могут быть циклы).

2.Инициаторами максимальной траектории могут быть только одна или несколько ситуаций в начальной части траектории.

3.Результантами максимальной траектории могут быть только одна или несколько ситуаций в конце траектории.

4.Отсюда следует, что циклические траектории могут быть или в множестве I, или в множестве R, или в множестве S\(I R), других циклических траекторий в АП быть не может.

5.Если в траектории sj не является конечной ситуацией и существует единственная ситуация sk, для которой sjFsk, то траектории принадлежит и ситуация sk.

6.В АП могут быть ситуации, которые не принадлежат какой-либо траектории.

12

1.3.Отношение М

Естественно, отношение непосредственного следования F не является транзитивным. Полезно ввести его транзитивное замыкание

– отношение M.

Определение. Ситуации si и sj находятся в отношении M, если существует траектория, в которую входят si и sj, причем si предшествует sj (длина траектории может быть любой).

Это отношение транзитивное, поскольку если siMsj и sjMsk, то siMsk.

Отношение sjMsk означает возможность перехода из sj в sk. В АП возможны случаи sjMsk и sjMsl, k l.

Заметим, что если для некоторого sj существует единственная ситуация, для которой sjMsk, то обязательно sjFsk.

Отношение непосредственного следования F не восстанавливается однозначно по отношению M. Проиллюстрируем это на примере.

Пример 2. Пусть sjMsk, sjMsl, slMsk. Оба следующих процесса соответствуют отношению M и при этом различные (Рис. 2).

Упражнение. Запишите для обоих процессов отношение F.

Рис. 2. Два фрагмента АП

Изучение семантики процесса может показать, что из ситуации sj в ситуацию sk процесс попадает только через ситуацию sl, хотя sj является причиной и sk, и sl.

13

Отношение М можно выразить через степени отношения F следующим образом. Запись sjFnsk означает наличие (n-1)

содержащая n+1 вершину и n дуг и ведущая из sj в sk.

Определение. Если ситуации si и sk некоторого асинхронного процесса связаны отношением siMsk (siFnsk при некотором n), то фрагмент процесса, содержащий все траектории, ведущие из si в sk,

назовем переходом si – sk.

Пример 3. На Рис. 3 представлен граф АП. Переходу s2 – s5 (s2Ms5) соответствуют три траектории:

1.(s2, s3, s5) (s2Fs3, s3Fs5),

2.(s2, s5) (s2Fs5),

3.(s2, s4, s5) (s2Fs4, s4Fs5).

Примерами максимальных траекторий являются (s1, s2, s3, s5, s6), (s1, s2, s5, s6).

s1

s2

s5

s6

Рис. 3. Переходу АП соответствуют отрезки трех траекторий (переход s2 – s5 выделен)

14

1.4. Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности.

Свойства классов эквивалентности

На множестве S введем бинарное отношение Е следующим образом:

а) если sjMsk и skMsj, то sjEsk; б) sj S sjEsj.

Как легко проверить, это отношение является рефлексивным, симметричным и транзитивным, т.е. является отношением эквивалентности на множестве ситуаций.

Известно, что отношение эквивалентности разбивает множество на классы эквивалентности, т.е. на такие подмножества, что любые состояния из одного класса эквивалентны, а из разных классов не эквивалентны. Из определения следует, что любой класс эквивалентности является подмножеством одного из множеств: I, R, S\(I R), поскольку отношение эквивалентности означает наличие цикла, содержащего соответствующие ситуации.

Если множество ситуаций АП разбить на классы эквивалентности e(1), e(2),..., e(р), то между ними естественным

образом возникает отношение непосредственного следования F .

Запись e(i) F e(j) означает, что из некоторой ситуации класса e(i) можно попасть непосредственно (т.е. применением отношения F) в какую-либо ситуацию класса e(j).

Определение. Рассмотрим последовательности классов эквивалентности вида:

П=(e(1), e(2),..., e(р)).

Последовательность называется допустимой, если e(i) F e(i+1)

при i , p . Допустимая последовательность называется максимальной, если она не является отрезком никакой допустимой последовательности.

15

Пример 4. Для АП (Рис. 4) I={s1, s9}, R={s5, s6, s7, s8, s11}. Тогда классы эквивалентности ситуаций имеют

вид: e(1)={s1}, e(2)={s2, s3, s4}, e(3)={s5, s6, s7}, e(4)={s8}, e(5)={s9}, e(6)={s10}, e(7)={s11}. Примерами максимальных

последовательностей классов эквивалентности являются: (e(1), e(2), e(3), e(4)),

(e(5), e(6), e(3), e(4)), (e(5), e(6), e(3), e(7)).

s4

s5 s6

s7

Рис. 4. АП, содержащий семь классов эквивалентности

По определению отношения допустимые последовательности классов эквивалентности не содержат циклов, откуда следует конечность любой допустимой последовательности. В максимальных допустимых последовательностях классов можно выделить начальные и конечные элементы, которые будем называть соответственно начальными и заключительными классами

16

эквивалентности АП. Начальных и заключительных классов эквивалентности может быть несколько. Если множество инициаторов непустое, то любой начальный класс является его подмножеством. Аналогичное утверждение справедливо для множества результантов.

В примере 4 начальными классами эквивалентности являются классы e(1) и e(5), а заключительными e(3), e(4) и e(7).

Из предыдущего вытекают следующие утверждения:

1)если некоторая ситуация s является инициатором и s e(j), где e(j) – класс эквивалентности, стоящий на j-м месте в некоторой

допустимой последовательности, то все ситуации классов e(1), e(2), ..., e(j) в этой последовательности являются инициаторами;

2)если некоторая ситуация s является результантом и s e(j), то все ситуации из классов e(j), e(j+1),..., e(t), где e(t) – заключительный класс, являются результантами.

1.5.Классы асинхронных процессов

Эффективный асинхронный процесс

Определение. Эффективным называется асинхронный процесс <S, F, I, R>, удовлетворяющий следующим условиям:

1)I≠ , R≠ ;

2)каждая ситуация принадлежит некоторой максимальной траектории;

3) множества ситуаций I и S\(I R) не содержат циклов.

Отсюда следует, что максимальная траектория либо завершается результантом, либо содержит цикл из результантов.

Как и в общем случае, эффективные АП могут быть недетерминированными, т.е. из некоторого инициатора траектория может попасть в разные результанты. При этом траектория не содержит циклов, не входящих в множество R.

17

Пример 5. Рассмотрим АП Р=<S, F, I, R>, S={s1, s2, s3, s4, s5, s6},

для которого отношение F задается орграфом, представленном на Рис. 5.

s6 s3

Рис. 5. Пример АП для исследования эффективности

Рассмотрим различные варианты назначения множеств I и R и исследуем каждый вариант полученного АП на эффективность.

Если для этого АП I={s1, s4}; R={s5}, то АП не является эффективным, так как не выполняется условие 3.

Если I={s1, s4}; R={s5, s6}, то не выполняется условие 3.

Если I={s1, s4}; R={s3, s5, s6}, то получаем цикл из ситуаций s2 (S\(I R)) и s3 R, но тогда это вообще не АП по определению.

Если I={s1, s4}; R={s2, s3, s5, s6}, то АП является эффективным.

Замечание 1. В эффективном АП любой начальный класс состоит из инициаторов, а любой заключительный класс – из результантов.

Замечание 2. В эффективном АП любой класс эквивалентности ситуаций, не принадлежащих к результантам, состоит только из одной ситуации.

18

Управляемый асинхронный процесс

Определение. Эффективный АП называется управляемым, если все траектории из любого инициатора ведут в один заключительный класс эквивалентности.

В управляемом АП, таким образом, вводится ограничение на степень недетерминизма.

Пример 6. Рассмотрим, как для АП, граф которого приведен на Рис. 6,а, производится разбиение ситуаций на классы эквивалентности. Установим, является ли данный процесс эффективным и управляемым.

j=1, 2, …, 7; e(8)={s8, s9, s10}. Если I={s1, s2, s3, s4}, R={s7, s8, s9, s10}, то процесс является управляемым. Отметим, что если отношение F

дополнить парой s2Fs4, то полученный АП не будет управляемым, но останется эффективным.

19

Простой АП. Протокол простого АП

Определение. Простым называется эффективный АП, удовлетворяющий следующему условию:

если si F sj, то sj I и si R.

Таким образом, каждая максимальная траектория простого АП начинается единственным инициатором и заканчивается единственным результантом.

АП на Рис. 1,б, у которого I={s1, s2} и R={s5}, является простым.

АП, представленный на Рис. 5 (I={s1, s4}, R={s2, s3, s5, s6}), простым не является.

Протокол простого АП удобно использовать для «входноговыходного» описания процесса.

Определение. Протоколом простого АП <S, F, I, R> будем называть простой АП вида <I R, FП, I, R>, где

si FП sj, если si M sj.

Протокол простого АП можно рассматривать как простой АП, в котором каждая траектория состоит из одного инициатора и одного результанта (за каждым инициатором непосредственно следует результант).

При переходе от простого АП к его протоколу для каждого перехода i – r пучок траекторий, ведущих из i в r, заменяется одной дугой, соединяющей i с r.

s5

Рис. 7. Протокол АП

20