TVPS_posobie_13_06_2013

Пример 36. Построим усеченное ДД для сети Петри (Рис. 64).

Рис. 64. Сеть Петри и ограниченное ДД для нее

Замечание 1. Важным свойством алгоритма построения усеченного дерева достижимости является то, что он позволяет установить в сети наличие пассивных переходов и позиций. Если ни одна из дуг дерева достижимости не помечена названием данного перехода, то он пассивный. Если некоторая позиция во всех вершинах дерева достижимости имеет ноль фишек, то позиция – пассивная.

Замечание 2. В процессе построения усеченного ДД использование символа приводит к потере информации о том, какие именно значения может принимать количество фишек в

91

позиции, известно лишь, что это число потенциально сколь угодно большое. Следствием этого является невозможность применения усеченного ДД для решения задач достижимости и покрываемости, если маркировки его вершин содержат символ .

Замечание 3. Еще одним важным свойством алгоритма построения усеченного ДД является то, что он заканчивает работу за конечное число шагов. Доказательство этого свойства алгоритма основано на трех леммах.

Лемма 1. Во всяком корневом ориентированном бесконечном дереве, в котором каждая вершина имеет конечное число непосредственно последующих вершин, существует бесконечный путь, исходящий из корня.

Доказательство. Начнем с корня х0. Поскольку эта вершина имеет конечное число непосредственно последующих вершин, то найдется одна или более вершин, непосредственно следующих за х0 и являющаяся корнем бесконечного поддерева. Пусть это будет вершина x1. Повторяя рассуждения, получим х2 и т.д. Получим х0, х1, x2, x3, ... – бесконечный путь, исходящий из корня.

Определение. Расширенным множеством натуральных чисел

будем называть множество натуральных чисел, дополненное символом .

Лемма 2. Всякая бесконечная последовательность из расширенного множества натуральных чисел содержит бесконечную неубывающую подпоследовательность.

Доказательство. Возможны два случая:

Если какой-либо элемент последовательности х0 встречается бесконечно часто, то последовательность х0, x0, x0, ... является бесконечной неубывающей подпоследовательностью.

Пусть любой элемент последовательности встречается конечное число раз и х0 – произвольный элемент последовательности, отличный от . Очевидно, что в последовательности имеется не более чем х0 различных элементов, меньших чем х0. Каждый из указанных элементов встречается конечное число раз. Тогда общее число элементов, меньших х0, конечно, а последовательность бесконечна.

92

Следовательно, в последовательности существует элемент x1, отличный от , такой, что x1 x0.

Аналогично должен существовать в последовательности элемент x2 x1 и т.д.

Получаем бесконечную неубывающую последовательность x0≤х1≤x2≤x3≤..., что и требовалось доказать.

Лемма 3. Всякая бесконечная последовательность n-мерных векторов над расширенным множеством натуральных чисел содержит бесконечную неубывающую подпоследовательность.

Доказательство. Доказываем индукцией по п, где п – размерность векторного пространства.

1.Случай п=1 это лемма 2.

2.Допустим, что лемма верна для размерности n, докажем ее справедливость для n+1.

Сопоставим каждому (n+1)-мерному вектору из последовательности n-мерный вектор, полученный удалением последней координаты. По предположению индукции, из полученной последовательности n-мерных векторов можно извлечь неубывающую подпоследовательность. Добавим теперь к элементам этой подпоследовательности (n+1)-ю координату из исходной последовательности. Выбрав из полученной последовательности (n+1)-х координат неубывающую последовательность в соответствии с леммой 2, получим «под-подпоследовательность» исходной последовательности с нужными свойствами.

Докажем теорему о конечности дерева достижимости сети Петри.

Терема о конечности усеченного дерева достижимости сети Петри. Усеченное дерево достижимости сети Петри конечно.

Доказательство. Доказательство проводим от противного. Допустим, что существует бесконечное усеченное дерево достижимости.

93

Число дуг, исходящих из каждой вершины дерева, ограничено количеством переходов, то есть конечно. Все условия леммы 1 выполняются и в дереве существует бесконечный путь, исходящий из корня: х0, x1, x2, ....

Каждой вершине соответствует маркировка, являющаяся n-мерным вектором над расширенным множеством натуральных чисел. По лемме 3 бесконечная последовательность [x0], [x1], [x2], … имеет бесконечную неубывающую последовательность:

[xi0][xi1][xi2] …

Обратимся к алгоритму построения усеченного ДД. В

соответствии с пунктом 2: если [xij]= [xij+1], то ij+1 – дублирующая и из соответствующей вершины дуги не строятся. Это позволяет

исключить знак равенства. Тогда

[xi0][xi1][xi2] …

В соответствии с пунктом 3б алгоритма построения усеченного ДД, если [x] [y] и x и y находятся на одном и том же пути от корня, то в маркировке [y] по меньшей мере одна компонента равна .

Но это противоречит тому, что последовательность является бесконечной. Противоречие доказывает справедливость теоремы.

94

Анализ свойств сетей Петри на основе усеченного дерева достижимости

Решение задачи безопасности и ограниченности

Сеть Петри ограничена тогда и только тогда, когда символ отсутствует в ее дереве достижимости.

В этом случае покомпонентное исследование вершин усеченного ДД позволяет установить безопасность или ограниченность для каждой отдельной позиции, после чего сделать вывод о сети в целом. Наибольшее значение компоненты маркировки, соответствующей некоторой позиции есть граница числа фишек этой позиции. Если граница для всех позиций не превышает 1, сеть безопасна.

Пример 37. Проведем анализ безопасности и ограниченности сети Петри (Рис. 65). Для этого построим усеченное ДД.

Рис. 65. Сеть Петри и ее дерево достижимости

95

На представленном рисунке – сеть ограниченная, но не является безопасной.

Строго сохраняющая сеть Петри является сохраняющей по отношению к вектору взвешивания (1, 1, ..., 1).

Рассмотрим задачу нахождения вектора взвешивания, по отношению к которому сеть будет сохраняющей, используя усеченное ДД. Естественно, что данная задача решается только для деревьев, в которых отсутствует символ .

Пусть усеченное ДД имеет k вершин: x1, x2, …, xk. Для набора

wi>0, i , n , j , k .

Система (4) есть задача линейного программирования, имеющая k равенств, n неравенств и n+1 неизвестных (w1, w2, …, wn, С).

Здесь вектор взвешивания (w1, w2, …, wn) определяется с точностью до общего множителя. Задача может быть решена методами линейного программирования. Также можно решить систему уравнений и проверить выполнение неравенств wi>0. При этом следует иметь в виду, что решение системы заведомо не единственное.

Пример 38. Пусть для некоторой сети Петри R(C, )={(11001), (01100), (10010)}. Вычислим вектор взвешивания w=(w1, w2, ..., w5):

96

w1 w2 w5 C,

w1 w4 C

где C – свободная переменная.

Система содержит 6 неизвестных и 3 уравнения, поэтому будет иметь множество решений. Пусть w1= w2= w5=1, тогда C=3, w3=2, w4=2. Следовательно, w=(1, 1, 2, 2, 1).

Сеть Петри является сохраняющей по отношению к вектору

(1,1,2, 2, 1).

Решение задачи покрываемости и достижимости

Усеченное ДД не всегда можно использовать для решения задач покрываемости и достижимости. Ранее уже обсуждалось, что решение указанных задач затруднено в случае, когда ДД содержит символ . Если дерево не содержит символ , то эти задачи успешно решаются. Рассмотрим алгоритм решения этих задач для дерева, не содержащего символ .

В задаче покрываемости мы хотим для данной маркировки ' определить, достижима ли маркировка '''. Строим для начальной маркировки усеченное ДД. Затем ищем любую вершину х с [x]'. Если такой вершины не существует, маркировка ' не покрывается никакой достижимой маркировкой; если она найдена, [х] дает достижимую маркировку, покрывающую '.

Задача достижимости маркировки '' из начальной маркировки ' решается поиском вершины усеченного ДД с маркировкой ''.

Пример 39. Рассмотрим усеченное ДД из примера 37.

Решим задачу достижимости: достижима ли из начальной маркировки маркировка =(0001).

Ответ: достижима, последовательность запусков =t2t4t5(t6t2t4t5)*.

Решим задачу покрываемости: покрывается ли маркировка

'=(0020).

Ответ: покрывается, ''=(0020), =t5t6t2t4. 97

Пример 40. Этот пример иллюстрирует невозможность применения усеченного ДД, содержащего символ , для решения задач покрываемости и достижимости. Рассмотрим СП (Рис. 66). Требуется узнать, достижима ли из начальной маркировки

0=(1,0,0,0) маркировка =(0, 14, 1, 7) и покрываема ли она.

Рис. 66. Сеть Петри и усеченное дерево достижимости для нее

98

Если проанализировать функционирование сети Петри, то можно увидеть, что для получения маркировки (0, 14, 1, 7), необходимо выполнить следующую последовательность запусков:

=(t1t1…t1) t2 (t3t3…t3).

Таким образом =(0, 14, 1, 7) достижима из начальной маркировки, однако она не покрывается, так как после получения переход t1 запустить уже нельзя и фишки после дальнейшего запуска t3 лишь перераспределяются между p2 и p4.

Обе задачи решить по усеченному ДД затруднительно, так как оно не дает информации о соотношении фишек в p2 и p4.

2.14.Методы анализа сетей Петри: матричный подход

Один из подходов к анализу свойств сетей Петри основан на матричном представлении сетей, в соответствии с которым сеть представляется четверкой:

С=(P, T, D–, D+),

где Р – множество позиций , |P| = п; T – множество переходов, |T|=т;

D– – матрица, описывающая входную функцию, D–[j,i]=#(pi, I(tj)); D+ – матрица, описывающая выходную функцию, D+[j,i]=#(pi, O(tj)).

Пример 41. Для сети Петри (Рис. 67) построить матрицы D–, D+.

Рис. 67. Сеть Петри

99

Рассмотрим процесс построения матриц на примере D–. Первая строка отвечает за переход t1. Первые три элемента в строке равны 1, так как из позиций p1, p2, p3 идут дуги к переходу t1. Аналогично заполняются и все остальные строки матрицы. Размерность матриц т n, где т – количество переходов, n – количество позиций.

Составная матрица изменений (матрица инцидентности)

Введем в рассмотрение m-мерный булев вектор е[j], содержащий 0 везде, кроме j-той компоненты и представляющий переход tj. Например, для перехода t2, если m=5, то e[j]=(0, 1, 0, 0, 0).

Нетрудно видеть, что переход tj в маркировке разрешен, т.е. ( , tj) определена, если

е[j]D–.

Пример 42. Построить составную матрицу изменений для сети Петри из примера 41:

100