TVPS_posobie_13_06_2013

Каждый символ входного алфавита ai (i , k ) имеет свою матрицу вероятностей переходов Ai=(ajs), где ajs – вероятность перехода автомата из состояния qj в состояние qs при поступлении на вход сигнала ai.

Также для каждого символа входного алфавита ai определена матрица вероятностей выходов Bi=(bjl), где bjl – вероятность выработки на выходе автомата, находящегося в состоянии qj, сигнала bl.

Таким образом, если k=|А|, r=|Q|, p=|B|, то для задания автомата потребуется k матриц Ai и Bi. Сумма элементов каждой строки матриц равна 1.

Помимо указанных матриц описание автомата должно быть дополнено вектором вероятностей начальных состояний автомата C, элемент cj которого – вероятность того, что в начале работы автомат будет находится в состоянии j. Сумма элементов вектора равна 1.

Пример 65. Имеется вероятностный автомат. k=2, r=3, p=2. A={a1, a2}, Q={q1, q2, q3}, B={b1, b2}. Тогда для задания автомата потребуются две матрицы вероятностей переходов и две матрицы вероятностей выходов, а также вектор вероятностей начальных состояний.

Для определения нового состояния и выходного символа также необходимо разыграть значения двух случайных величин R1 и R2.

Пусть в начальный момент времени автомат находится в состоянии q3 и на вход поступает символ a1. Для вычисления нового состояния автомата выбирается 3-я строка в матрице A1 (на вход поступил a1), в нашем примере это (0.3 0.3 0.4):

если случайное число R1 ≤ a31, то новым состоянием будет q1, 181

если случайное число a31 < R1 ≤ a31+a32, то новым состоянием будет q2,

если случайное число R1 > a31+a32, то новым состоянием будет q3.

Например, если R1=0.64, то новым состоянием будет q3. Аналогично определяются выходные сигналы.

Приведенный выше автомат является полным вероятностным автоматом. Существуют другие разновидности вероятностных автоматов, у которых либо переход в новое состояние, либо выходной сигнал определяются детерминировано.

Если выходной сигнал автомата определяется детерминировано, то такой автомат называется B-детерминированным вероятностным автоматом. Аналогично, Q-детерминированным вероятностным автоматом называется вероятностный автомат, у которого выбор нового состояния является детерминированным.

B-детерминированные вероятностные автоматы по аналогии с детерминированными автоматами делятся на автоматы Мили и Мура.

Задание. Требуется заполнить табл. 25, иллюстрирующую работу полного вероятностного автомата автомата из примера 65. a, b

– символы входного и выходного слов, q_old и q_new – текущее и будущее состояние автомата, R1 и R2 – случайные числа из диапазона [0, 1], используемые для определения перехода q_new и выходного сигнала b.

Пусть на вход автомата поступили символы, полученные случайным образом, a1a1a2a1a2. А генератор случайных чисел выдал следующую последовательность (значения округлены): 0.23, 0.46,

0.08, 0.79, 0.48, 0.94, 0.73, 0.37, 0.48, 0.91, 0.57. Первое случайное число используется для определения начального состояния автомата

(c1 <0.23≤ c1+c2, то q_old=q2).

182

Автоматы 3 группы

Определение. Под термом понимается конечное ориентированное дерево, каждой вершине которого приписана некоторая буква а алфавита А, причем число выходящих из вершины дуг равно (а), выходящие из каждой вершины дуги пронумерованы.

Автоматы над термами используются для распознавания множеств термов.

Определение. Конечные автоматы над термами представляют собой систему

(A, Q, В, , , ),

где A, Q, В – конечные множества входных символов, состояний и выходных символов;

– функция, сопоставляющая каждому элементу а A некоторое целое число, причем так, что существует хотя бы один элемент а A:

(а)=0;

, – функции, сопоставляющие каждому символу а A отображения следующего вида:

а: Q Q … Q Q, (а)

а: Q Q … Q B. (а)

183

Функционирование автомата заключается в сопоставлении каждой вершине терма некоторого состояния из Q и выходного символа из B.

В начальный момент времени каждой концевой вершине

ведут стрелки. Если вершинам уже сопоставлены состояния q1, q2, …, qm, то вершине v сопоставляется состояние а(q1, q2, …, qm) и выходной символ а(q1, q2, …, qm).

После того, как найдено состояние и выходной символ, соответствующий корню терма, выходной символ анализируется. Если b B' (B' – выделенное заранее подмножество), то говорят, что автомат принимает терм, в противном случае – отвергает терм.

Автоматы над термами используются в математической логике для доказательства разрешимости некоторых математических теорий.

184

3.12.Упражнения

Упражнение 10

Конечный автомат (КА) как распознаватель. Построить КА, распознающий во входной последовательности подслова одного из видов a1, a2, а3 и выдающий на выходе единицу в точности в те моменты, когда на входе появляется последняя буква одного из этих подслов (Таблица 26).

Таблица 26

Слова для распознавания

185

Упражнение 11

КА как преобразователь. Построить КA с наименьшим числом состояний, удовлетворяющий условиям Ф(q,ai)=bi, где q – начальное состояние автомата. Информация о входных словах ai содержится в

Упражнение 12

Для данного конечного автомата построить диаграмму Мура и канонические уравнения. Информацию о конечном автомате следует взять из задания 11.

186

Упражнение 13

КА как перечислитель. Определить множество тех слов, которые могут быть получены на выходе неинициального КА при его различных начальных состояниях. Информация о КА есть результат выполнения задания 12.

Упражнение 14

Придумать КА, моделирующий работу светофора.

Придумать КА, являющийся лексическим анализатором некоторого языка программирования (количество команд языка ограничить для уменьшения размеров КА).

Упражнение 15

Диагностика КА. Задан инициальный КА, имеющий начальное состояние q1. Возможные неисправности этого автомата заключаются в изменении его начального состояния. Требуется указать такое входное слово а наименьшей длины, чтобы по реакции автомата на слово а можно было определить неизвестное начальное состояние. Информация о КА содержится в табл. 28.

Таблица 28

КА для упражнения 14

0q1, 0 q3, 0 q1, 1

1q2, 0 q1, 1 q2, 0

Упражнение 16

Автомат М имеет входной алфавит А={0, 1, 2}, В={0, 1} и задан в табл. 29, в которой запись i, j соответствует qi, j. Найти для автомата М минимальный автомат М'.

187

Таблица 29

КА для упражнения 15

188

Вопросы для самоконтроля

1.Дайте определение понятия «конечный автомат».

2.Чем отличаются автоматы Мили и Мура?

3.Какие способы задания КА Вы знаете?

4.Назовите основные этапы синтеза КА.

5.Какие состояния двух автоматов называются эквивалентными?

6.Какие автоматы называются эквивалентными?

7.Назовите основные этапы минимизации КА.

8.Какие специальные классы КА Вы знаете?

9.Дайте определение автомата без памяти, автомат без потери информации, связного КА, сильно связного КА.

10.Какие обобщения КА Вы знаете?

11.Расскажите, что представляет собой автомат Тьюринга.

12.Опишите работу вероятностного автомата и его отличия от детерминированного автомата.

189

Экзаменационные вопросы к дисциплине

Раздел 1. Асинхронные процессы (АП)

1.Понятие дискретной динамической системы.

2.Дискретное время. Дискретная информация.

3.Понятие асинхронного процесса. Траектория АП. Максимальная траектория.

4.Отношение F. Отношение М.

5.Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности. Свойства классов эквивалентности.

6.Эффективный асинхронный процесс.

7.Управляемый асинхронный процесс.

8.Простой асинхронный процесс. Протокол простого АП.

9.Репозиция АП. Автономный асинхронный процесс.

10.Конвейерный принцип обработки информации.

11.Редукция асинхронного процесса. Свойства редукции.

12.Структурирование ситуаций АП.

13.Диаграмма переходов (ДП). Конфликтная ситуация. Полумодулярная ДП.

14.Редукция диаграммы переходов.

Раздел 2: Сети Петри (СП)

15.Основная идея теории комплектов, сравнение с теорией множеств. Свойства комплектов.

16.Операции над комплектами. Пространство комплектов.

17.Структура сетей Петри. Граф сети Петри.

18.Маркировка СП. Маркированная СП. Расширенная входная функция. Расширенная выходная функция.

19.Двойственная сеть Петри. Пример. Инверсная сеть Петри. Пример.

20.Функционирование сетей Петри. Схема изменения маркировки позиции pi в результате запуска перехода tj.

21.Правила выполнения сети Петри. Пример выполнения сети Петри.

22.Пространство состояний сети Петри. Функция следующего состояния.

190