КИМ11

Задача: Найти вычеты функции

f (z)=

1

относительно

конечных

(z 2 +1)2

изолированных особых точек.

Ответы: 1). res f (i) =

1

i , res f (− i)= −

1

i

2

2

2). res f (i)= −

1

i , res f (− i) =

1

i

3). res f (i)= −

1

i , res f (− i) =

1

i

2

2

4

4

4). res f (i)= −2i , res f (−i)= 2i

5). res f (i)= 4i , res f (− i)= −4i

рему о вычетах, ∫

zdz

, где l - окружность

z − 2π

=

5π

.

l

sin z

2

Ответы: 1). 2πi

2). 2π2i

3). 4π2

4). 4π2i

5). 4πi

рему о вычетах,

∫

dz

.

z

=1 z(z +

2)3

1

π

1

πi

Ответы: 1). πi

2). − πi

3). 2πi

4).

5).

2

4

рему о вычетах,

∫

zdz

, где l - окружность

z − i

= 1.

(z 2 + 1)2

l

Ответы: 1). 0

2).

1

i

3).

1

i

4). 2πi

5). 4πi

2

4

∫

2z + 1

z − 3

= 3.

рему о вычетах,

dz , где l - окружность

l z 2

− 4z

+ 3

4). 3πi

5). − 3πi

Ответы: 1). 0

2). 2πi

3). − 2πi

рему о вычетах,

∫=2

e2z

dz .

z

z(z − 1)(z + 3)

1

πi(1 + e

2

)

2

πi(1 + e

2

)

2

9

2

Ответы: 1).

2).

3).

πi 1

+

e

16

3

π(1

)

3

3

1

2

2

3

2

4).

+ e

5).

πi 1 +

e

8

3

3

z dz

рему о вычетах,

∫

.

(z 2

+1)2

z

=2

1

πi

Ответы: 1). 1

2). 0

3). 2πi

4).

5). 4πi

2

рему о вычетах,

∫ z 2 sin

1

dz .

z

=

1

z

2

3). π i

4). − π i

Ответы: 1). 3πi

2). − 3πi

5). 1

3

3

рему о вычетах, ∫

cos z

dz , где l - прямоугольник, ограниченный прямыми:

π

l

z z −

2

x = − π, x = π, y = 1, y = −1

2

2

Ответы: 1). 0

2).

3). πi

4). 4i

5). − 4i

π

рему о вычетах,

∫

dz

.

1

z3

(z +1)

z

=

2

1

πi

1

πi

Ответы: 1). 0

2). 2πi

3). 4πi

4).

5).

4

2

рему о вычетах,

∫

e 2z dz

.

πi

z

=2

z 2

z −

2

Ответы: 1).

8i

(1 + 2π) 2).

8

(2 + πi) 3).

8i

(3 + πi)

4).

8i

(2 + πi)

5).

8i

(4 + πi)

π

π

π

π

π

рему о вычетах,

∫

cos z

dz .

z

=π (2z − π)2

Ответы: 1). 0

2). 2πi

3). πi

4). − πi

5). π i

2

2

4

dz

z −1

= 1.

l∫

, где l - окружность

(z +1)(z + 2)

2

πi

3). −

2

πi

1

πi

5). −

1

πi

Ответы: 1). 2πi

2).

4).

3

3

4

4

dz

рему о вычетах,

∫

.

z

=2 z 2

+1

Ответы: 1). 0

2). 2πi

3). 4πi

4). 8πi

5). 10πi

рему о вычетах, ∫

sin z

dz .

z

=2

z 2 − z

Ответы: 1). i sin1

2). πsin i

3). 2πi sin1

4). 4πi sin1

5). 2πsin1

рему о вычетах,

∫

2z +1

dz , где l - окружность

z − 3

= 1.

l z 2

− 4z + 3

Ответы: 1). 3πi

2). 4πi

3). 5πi

4). 6πi

5). 7πi

рему о вычетах, ∫

dz

, где l - окружность

z + 2

= 1.

(z −1)(z + 2)

l

Ответы: 1).

2π

i

2). −

2π

i

3).

2

πi

4). −

2

πi

5). 2πi

9

9

3

3

рему о вычетах, ∫

sin 2z

dz .

π 3

z

=3

z −

4

Ответы: 1). − 2πi

2). − 4πi

3). − 8πi

4). 8πi

5). 4πi

ez

рему о вычетах, ∫

dz .

z

=1

πi 3

z −

4

2

(1 − i)

2

(1 + i)

3).

π(i −1)

Ответы: 1).

2).

2

2

2

π(i −1)

π(i +1)

2

4).

2

5).

2

рему о вычетах,

∫

dz

, где l - окружность

z +1

= 1.

l

(z +1)(z

−1)3

Ответы: 1).

3

π

2).

3

πi

3).

3

π

4).

3

πi

5).

3

πi

4

4

8

8

2

рему о вычетах,

∫

dz

.

(z +1)2 (z + 2)

z

=1,5

Ответы: 1). 0

2). 2πi

3). − 2πi

4). 4πi

5). − 4πi

рему о вычетах,

∫

eiz

dz .

(z − π)3

z

=4

3). πiei

4). 2πiei

5). 2πei

Ответы: 1). πi

2). 2πi

рему о вычетах, ∫

z dz

, где l - окружность

z − 2

=

1

.

(z −1)(z − 2)2

l

2

Ответы: 1). 2πi

2). − 2πi

3). 4πi

4). − 4πi

5). 0

рему о вычетах,

∫

dz

.

(z −1)(z −

2)

z

=3

Ответы: 1). 0

2). 2πi

3).

2

πi

4). −

2

πi

5). 3πi

3

3

ez

рему о вычетах,

z

∫=1

z 2 (z 2 − 9)dz .

Ответы: 1). 0

2).

2

πi

3). −

2

πi

4).

2

πi

5). −

2

πi

3

3

9

9

рему о вычетах,

∫

z dz

, где l - окружность

z − 2

= 2 .

(z −1)(z

− 2)

l

Ответы: 1). 0

2). 2πi

3). − 2πi

4). π i

5). − π i

2

2

рему о вычетах,

∫

z dz

, где l - окружность

z −1

=

3

.

l z 4 −1

2

Ответы: 1). π i

2). − π i

3).

3

πi

4). −

3

πi

5). − 2πi

2

2

2

2

рему о вычетах, ∫

z dz

, где l - окружность

z − 2

=

1

.

(z −1)(z − 2)

l

2

Ответы: 1). 2πi

2). − 2πi

3). 4πi

4). − 4πi

5). π i

2

рему о вычетах, ∫

dz

, где l - окружность

z −1

= 1.

(z +1)3 (z −

1)2

l

Ответы: 1).

3

πi

2). −

3

πi

3).

3

πi

4). −

3

πi

5).

3

πi

4

4

8

8

2

sin z

рему о вычетах,

∫

dz .

z

=2

π 2

z z −

Ответы: 1). π i

2

5). π i

2).

8

i

3). −

8

i

4).

8

i

8

π

π

π

4

рему о вычетах,

∫

dz

.

z(z + 2)3

z

=3

2

πi

3

π

3

πi

Ответы: 1). 0

2). 2πi

3).

4).

5).

3

2

2

Номер: 8.31.В

Задача: Вычислить с

помощью вычетов интеграл ∫

cos zdz

по замкнутому

z 2 (z +1)

контуру

z

=1 2 , считая направление обхода положительным.

Ответы: 1). 2πi

2). − 2πi

3). πi

4). − πi

5). нет правильных ответов

Номер: 8.32.В

(x +1)dz

Задача: Вычислить с помощью вычетов

интеграл ∫

по замкну-

z(z + 3)(z −

1)2

тому контуру

z

= 2 , считая направление обхода положительным.

Ответы: 1). 2πi

2). − 2πi

3). πi

4). − πi

5). нет правильных ответов

3

области

z −1 − i

< 2 .

3). πi

4). − πi

Ответы: 1). 2πi

2). − 2πi

5). нет правильных ответов

2

2

Номер: 8.35.В

Задача: Вычислить с помощью вычетов интеграл ∫

dz

по замкнутому кон-

ez +

1

туру

z − 2i

= 2 , считая направление обхода положительным.

Ответы: 1). 2πi

2). − 2πi sin1 3). πi cos1

4). πi sin1

5). нет правильных ответов

2

Номер: 8.36.В

Задача: Вычислить с помощью вычетов

интеграл ∫

cos zdz

по границе облас-

z2 (z +1)

ти 2 <

z

< 4

3πi

πi

3πi

Ответы: 1). −

2). −

3).

4). − 64πi

5). нет правильных ответов

64

64

64

Ответы: 1). πi

2). − 2πi 3). −

2πi

4). − 9πi 5). нет правильных ответов

9

9

Задача: Вычислить с помощью вычетов интеграл ∫

dz

по замкну-

(z2 −1)2 (z − 3)2

тому контуру

z

= 4 , считая направление обхода положительным.

Ответы: 1). 0

2). − 2πi

3). πi

4). − πi

5). нет правильных ответов

Номер: 8.39.В

1

e z 2 dz

Задача: Вычислить с помощью вычетов интеграл ∫

по замкнутому кон-

z2

+1

туру

z − i

= 3 2 , считая направление обхода положительным.

Ответы: 1). 2eπi

2).

2π

3). π

4). πi

5). нет правильных ответов

e

e

2

Номер: 8.40.В

Задача: Вычислить с помощью вычетов интеграл ∫

zdz

по замкну-

sin z(1 − cos z)

тому контуру

z

= 5 , считая направление обхода положительным.

Ответы: 1).

2πi

2). − 2πi

3). πi

4). 0

5). нет правильных ответов

17

контуру

z

= 2 , считая направление обхода положительным.

Ответы: 1). 2πi(1 − 2e−1 )

2). − 2πi

3). πi(1 − 2e−1 )

4). πi(1 − 2e)

5). нет правильных ответов

Номер: 8.42.В

(ez 2

− z)dz

Задача: Вычислить с помощью вычетов интеграл ∫

по замкнутому

z3

−iz2

контуру

z − i

= 3 , считая направление обхода положительным.

Ответы: 1). 2πi(1 − e−1 )

2). 2πi(1 + 2e−2 )

3). πi(1 − 2e−1 )

4). πi(1 − e−1 )

5). нет правильных ответов

Номер: 8.43.В

Задача: Вычислить с помощью вычетов интеграл ∫

dz

по замкнутому конту-

z −3i

ру

z

= 5 , считая направление обхода положительным.

Ответы: 1). πi

2). − 2πi

3). πi

4). −

πi

5). нет правильных ответов

2

14

Номер: 8.44.В

Задача: Вычислить с помощью вычетов интеграл

∫

cos zdz

по замкнутому кон-

z3

туру

z

= 2 , считая направление обхода положительным.

Ответы: 1). 2πi

2). − 2πi

3). πi

4). − πi

5). нет правильных ответов

Номер: 8.45.В

Задача: Вычислить с помощью вычетов интеграл ∫

cos zdz

по замкнутому

z2 (z +1)

контуру

z

=1 2 , считая направление обхода положительным.

Ответы: 1). 2πi

2). − 2πi

3). πi

4). − πi

5). нет правильных ответов

Номер: 8.46.В

ez

−1

Задача: Вычислить с помощью вычетов интеграл

∫

dz

по замкнутому

z 2

+ z

контуру

z

= 4 , считая направление обхода положительным.

Ответы: 1). 2πi(1 − e−1 )

2). πi(1 − 2e−1 )

3). πi(1 + 2e−1 )

4). − πie−1

5). нет правильных ответов