Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

razdel1UMK

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

1.31 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 129 10 11 12 > Следующая >>>

где

= {2;−2;−3},

= {4;0;6},

= {− 7;−7;7}.

Следовательно,

АД

− 2

−3

(

)

= 308 .

Тогда, V =

308

154

AД

− 7

Для вычисления высоты h д

пирамиды воспользуемся формулой

V =

h S,

где S - площадь треугольника ABC. Имеем S =

. Тогда

= −12 ri − 24 rj +8 kr = {−12; − 24;8}.

− 2

−3

(−12)2

+ (− 24)2 +82 = 28 и S =

28 =14.

Следовательно,

154

h д 14

h д =11.

=11 ед.

Итак,

Ответ: V =154 3 куб.ед., h д

УЧЕБНО - МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

РАЗДЕЛ 1 «ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА»

3. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

3.1КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Матрицы. Виды матриц. Действия над матрицами.

2.Определители. Свойства определителей.

3.Алгебраические дополнения и миноры.

4.Вычисление определителей.

5.Невырожденная матрица. Обратная матрица. Нахождение обратной матрицы. Ранг матрицы.

6.Матричный метод решения систем линейных уравнений. Формулы Крамера.

7.Метод Гаусса решения систем алгебраических линейных уравнений.

8.Скалярные и векторные величины.

9.Действия над векторами.

10.Угол между векторами. Проекция вектора на ось.

11.Линейные комбинации векторов. Базис.

12.Прямоугольная декартова система координат.

13.Линейные операции над векторами, заданными в координатной форме.

14.Скалярное произведение векторов и его свойства. Приложения скалярного произведения.

15.Векторное произведение векторов и его свойства. Приложения векторного произведения.

16.Смешанное произведение векторов и его свойства. Приложения смешанного произведения.

3.2 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

	1	2			4	− 2
3.2.1. Даны матрицы A =			,	B =			, C = (1 5 6),
	3	5			1	0
	3	5			1	0

	2 1 0					3 5 1				2	1 3 4
D =											1 3 4
D =	3 4 1 , M =						4 0 2 , N =			4 , P =		,
											− 2 1 3
	−1 2 5						3	− 2 1		3	− 2 1 3
	−1 2 5						3	− 2 1		3
	3	1			1	0		0
	2	4			0 1 0
K =	2	4	, E	=	0 1 0				.
	0	5			0	0		1
	0	5			0	0		1

Найти
1) A + B;		7) D M;					13) P N;				19) MT ;					25) M ET ;
2) 2 A −3B;		8) M N;					14) C N;				20) DT + MT ;					26) E K;
3) A + M;		9) N D;					15) A2 ;				21) (D + M)T ;					27) C E.
4) A B;		10) C D;					16) (A + B)2 ;				22) D E;
5) B A;		11) D C;					17) A2 + 2 AB + B2 ;				23) E D;
6) 3D;		12) P K;					18) DT ;				24) ET ;
Ответы:								29
		5	0					29					7	12
1)		5	0				8)				15)		7	12			22) D;
1)				;			8)	14 ;			15)				;		22) D;
		4	5
		4	5					1				18		31
								1
2)		−10		10			9) ;				16)		25	0			23) D;
2)						;	9) ;				16)				;		23) D;
		3		10									40
		3		10									40	25
3) ;							10) (11 33			35);	17)		33	0			24) E;
3) ;							10) (11 33			35);	17)				;		24) E;
													56
													56	17
		6	− 2										2	3	−1
4)		6	− 2				11) ;				18)		5	0			25) M;
4)					;		11) ;				18)		5	0	− 2 ;		25) M;
			− 6
	17		− 6										1	2	1
													1	2	1
		− 2		− 2				9 33					3	4	3
5)		− 2		− 2			12)	9 33			19)		5	0			26) K;
5)						;	12)			;	19)		5	0	− 2 ;		26) K;
		1		2					5 17
		1		2				−	5 17				1	2	1
													1	2	1

					6		3			0										26								5	7		2
		6)			9	12				3						13)				26					20)			6	4
		6)			9	12				3		;				13)					;				20)			6	4		0 ;						27) C.
																				9																	27) C.
				−3 6 15																9								1 3 6
				−3 6 15																								1 3 6
				10		10					4																	5	6		1
		7)			28	13					12					14) (40);									21)			7	4		3
		7)			28	13					12		;			14) (40);									21)			7	4		3			;
				20 −15 8																								2 0 6
				20 −15 8																								2 0 6
	3.2.2. Умножить матрицы
				0		0	1					−1			−1									5 0 2 3												6
				1 1 2								−1			−1					4				5 0 2 3
		1)		1 1 2								2			2					4			2)		4 1 5 3										− 2
		1)										2			2					;			2)		4 1 5 3												;
				2 2 3																																7
				2 2 3								1			1					1					3 1			−1 2								7
				3		3	4					1			1										3 1			−1 2								4
				3		3	4																													4
			1 −3 2 2 5 6																					5 8 − 4 3 2 5
		3)		3 − 4 1										1 2 5									4)		6 9			−	5			4				−1 3
		3)		3 − 4 1										1 2 5					;				4)		6 9			−	5			4				−1 3		.
														1 3 2											4 7			−	3			9 6 5
				2 −5 3										1 3 2											4 7			−	3			9 6 5
	Ответы:							5
								5								56						1 5 −5								11 − 22 29
																56						1 5 −5								11 − 22 29
						1)		15		;					2)		69	;			3)		3 10			0	;		4)			9				− 27		32	.
								25
								25									17						2 9													−17 26
								35									17						2 9		− 7					13						−17 26
								35
	3.2.3.				Найти					значения									многочлена						2 A2 + 3 A + 5 E													при
	1	1	2						1			0			0
	1 3		1						0 1 0
A =	1 3		1		и E =				0 1 0							.
	4	1	1						0			0			1
	4	1	1						0			0			1												28		15				16
																											28		15				16
																							Ответ:				19		36				15
																							Ответ:				19		36				15			.
																											30		19				28
																											30		19				28

3.2.4. Вычислить определители методами:

1) треугольников; 2) по теореме разложения; 3) по теореме разложения с предварительным получением нулей

				1		3		5						2	4		−1							2	1	1
				1		3		5						2	4		−1							2	1	1
		1)		0	2		1			;			2)	7	3	2				;			3)	3	2 1			;
				4	1		2							3	1	− 2								1	4 −3
				2			4			−1				4	7		1
				2			4			−1				4	7		1
		4)		− 4 2 1								;	5)	2	3	− 4				.
				3			1				5			8	1		3
			Ответы:									1) – 25;		2) 66;							3) 0;				4) 120;				5) – 236.
												1) – 25;		2) 66;							3) 0;				4) 120;				5) – 236.
		3.2.5. Вычислить определители
1)		−1 1						2)					−3 4				3)									4)
	2		0						2		3							8	7			2	0				1 2 3 4
	2		0						2		3							8	7			2	0				1 2 3 4
	0	1 2	−1		;				2		1		−1 2		;			−8 2				7	10		;		5 6 7 8			.
	3	−1 2	3						6		2		1	0				4	4			4	5				9 10 11 12
	3	1 6	1						2		3		0 −5					0	4			−3 2					13 14 15 16

Ответы: 1) 0;

2) 48;

3) 1800;

4) 0.

3.2.6. Решить уравнения

− 4

4 5 −1

= 0;

−1 3

= 0;

−1

x +10

3 x

−1

;

x +1 −5

= 0;

2 x −3

x −1

4sin x

cos8 x

−sin 5 x

= 0.

cos x

sin 8 x

cos 5 x

Ответы:

= −10;

1) x = −3;

3) x =12;

= 2;

πn

x = (−1)n

5) x ;

6) x = 2;

n Z;

3)	2	x − 4
3)	2	x − 4	= 0;
	1	4

6)	x 2	− 4	−1	= 0;
	x	− 2	x + 2

4) x1 = − 16 , x 2 = 32 ;

8) x = π(2 n +1), n Z. 6

3.2.7. Решить неравенства
	3		− 2		1							2		x + 2				−1								1		sin x				2
	3		− 2		1							2		x + 2				−1								1		sin x				2
1)	1			x − 2		< 0;					2)	1			1		− 2		> 0; 3)							0			1			− 2		≥ 0.
	−1 2 −1											5 −3						x								−1			0			− 2
Ответы:
1) x (4;+∞); 2) x (− 6;−4); 3) x [2 πk;(2 k +1)π], k Z
3.2.8. Найти обратные матрицы
			2	2 −			3						1 2 −3												1 0 0
			1 −1 0						2) B =				0 1 2														0 1 0
1) A =			1 −1 0					;	2) B =				0 1 2					; 3)			E =						0 1 0				;
		−1 2			1								0 0 1														0 0 1
		−1 2			1								0 0 1							6)							0 0 1
																				6)	1 3								−5 7
	2			3									1 2								1 3								−5 7
	2			3					5) D =
4) C =				;					5) D =				3 4 ;										0 1 2 −3
	1 4																			K =													.
	1 4												5							K =			0				0		1			2	.
													5		6								0				0		1			2
																					0						0		0			1
Ответы:
			1 7 8 7 3 7										1 −			2 7						1 0 0
1)				1 7 1 7 3 7										0 1				− 2			3)			0 1 0
1)				1 7 1 7 3 7							; 2)			0 1				− 2		;	3)			0 1 0						;
				−1 7 6 7 4 7										0 0				1						0 0 1
				−1 7 6 7 4 7										0 0				1						0 0 1
																								1			−3			11			−38
4)			4 5		−3 5						5)		;								6)			0 1						− 2			7
4)									;		5)		;								6)	0 0													.
			−1 5 2 5																			0 0								1			− 2
3.2.9. Решить матричные уравнения																						0					0			0			1
3.2.9. Решить матричные уравнения
		1 2					3 5								2)		2 1				2 1
1)				Χ =						;					2)				Χ =								;
		3 4					5 9										2 1				2 1
3) Χ				2 1	1 0										4)		3 −			1		5 6 14 16
3) Χ					=					;					4)		5 −			Χ									=					.
				1 2			0 1										5 −			2		7 8								9 10
Ответы:										a			b
		−1 −1								a			b					3)													1 2
		−1 −1													,			3)			−1 3								4)		1 2
1)				; 2)					2	− 2a 1 − 2b								2 3			−1 3								4)					.
			2																								;
			2	3					a, b R;																						3		4
									a, b R;									−1 3 2 3

3.2.10. Решить системы уравнений по формулам Крамера и матричным способом

−+ 5 z = −7,

1)x + y + z = −4,

5 x + 3 y − 4 z =11.2 x + 3 y − 4 z = −4,

2)3 x + 2 y + 5 z = 22,

x − y + z = 2.

x + 3 y −3z =13,

3)2 x −3 y + 3z = −10,x + z = 0.2 x 3 y

2 x − y + z = −4,

4)3 x + y − z = −1,

4 x − 2 y + 3z = −7.2 x + z = 6,

5)2 y − z = 2,3 x − 4 y = −2.

2 x1 + 3 x 2 +11x3 + 5 x 4 = 2,x1 + x 2 + 5 x3 + 2 x 4 =1,

6)2 x1 + x 2 + 3 x3 + 2 x 4 = −3,x1 + x 2 + 3 x3 + 4 x 4 = −3.

Ответы:
1)	x =1, y = −2, z = −3;	3)	x =1, y = 3, z = −1;
2)	x =1, y = 2, z = 3;	4)	x = −1, y = 3, z =1;
5) x = y = z = 2;		6) x1 = −2, x 2 = 0, x3 =1, x 4 = −1.

3.2.11. Решить системы уравнений методом Гаусса

2 x −5 y + 4 z		= 11,
	−3 y − z = 17,
1) 7x

16 x −11 y + 2 z = 20.
2 x + y − z =11,
		=15,
3) 3 x + 2 y − 4 z

4 x + 3y − 7z =19.
x + 3 y − 4 z = 5,
		=11, .
5) 2 x −3 y + 6 z

8 x −3 y +10 z = 21
2 x1 + x 2 + x3 = 2,
	+ 3 x 2 + x3	= 5,
x1
7)	+ x 2 + 5 x3	= −7,
x1

2 x1 + 3 x 2 −3 x3 =14.

2 x −3 y + 5 z = −7,

2) x + y + z = −4,

5 x + 3 y − 4 z =11.2 x + 3 y −5 z = 4, 4) 4 x + 6 y −10 z = 8,

8 x +12 y − 20 z = 16.3 x + 2 y + z = 5,

6) 2 x + 3 y + z =1,2 x + y + 3z =11.

x1 + x 2 −3 x3 = −1,

2 x1 +x 2 − 2 x3 =1,

8) x1 + x 2 +x3 = 3,

x1 + 2 x 2 −3 x3 =1.

x1 − 2 x 2 + 3 x3 − 4 x 4 = 4,

x1 + 3 x 2 + 2 x3 = 0,

− x3 + x 4 = −3,

− x 2 + 3 x3 = 0,

x 2

10)

2 x1

+ 3 x 2

−3 x 4 =17,

−5 x 2

+ 4 x3 = 0,

3 x1

+ 4 x3 = 0.

− 7 x 2 + 3 x3 + x 4 = −3.

x1 +17 x 2

3 x1 + x

2 − 2 x3 + x 4 − x5 =1,

=1,

+ 7 x3 −3 x 4 +

5 x5 = 2,

λx + y + z

2 x1 −x

12)

+ λ y + z

= λ,

11)

− 2 x3 + 5 x 4 −

7 x5 = 3,

x1 + 3 x 2

+ y + λz

= λ2 .

+8 x5 = 3.

3 x1 − 2 x 2 + 7 x3 −5 x 4

Ответы:

2) x =1, y = −2, z = −3;

1) Система несовместна;

3) x = 7 − 2 z, y = −3 + 5 z, z R;

4) x = 2 −

y +

z, y R, z R;

z = 3;

5) Система несовместна;

6) x = 2,

y = −2,

7) x1 =1, x 2 = 2,

x3 = −2;

8) Система несовместна;

x1 = −8, x 2 = 3 + x 4 ,

x3 = 6 + 2 x 4 ,

x 4 R;

10) x1

= −

x3 , x 2

= −

x3 , x3 R;

11) Система несовместна;

(λ +1)2

12)

Если

(λ −1) (λ + 2)≠ 0 , то

x = −

λ +1

;

y =

z =

. Если

λ + 2

λ +

λ + 2

λ =1, то система имеет решения зависящие от двух параметров. Если λ = −2, то система несовместна.

3.2.12. Даны

=13,

=19,

= 24 . Вычислить

−

Ответ:

−

= 22.

3.2.13. Даны

=11,

= 23,

−

= 30. Вычислить

Ответ:

= 20.

3.2.14. Векторы

взаимно перпендикулярны. Вычислить

−

, если

= 5,

=12.

Ответ:

−

=13.

3.2.15. Векторы

образуют угол

ϕ = 600 .

Вычислить

−

, если

= 5,

= 8.

Ответ:

a + b =

129, a − b = 7 .

3.2.16.

Векторы

и b неколлинеарны. Найти

числа x

y ,

если

+ y

= (y +1)

+ (2 − x)

Ответ: x = 3 2,

y =1 2.

3.2.17.

Векторы

неколлинеарны.

Найти

числа x

y ,

если

(2 − x)

= y

+ (x −3)

Ответ: x = 4, y = −2.

3.2.18. Векторы

неколлинеарны. Найти число x , если векторы

(x −1)

и 3

+ x

коллинеарны.

Ответ: x = −2.

3.2.19. Определить при каких

x и y вектор

= {− 2;3; y} коллинеарен

вектору

= {x; − 6; 2}.

Ответ: x = 4, y = −1.

3.2.20.

Найти

единичный

вектор,

сонаправленный

вектору

= −6

+ 3

j − 2 k .

a 0 = − 6 ; 3 ; − 2

Ответ: 7 7 7

3.2.21. Найти координаты вектора b, коллинеарного вектору a = {−1; 2}, если b = 10 .

Ответ: b = {−

2; 2

2}.

3.2.22. Точка O является центром тяжести треугольника ABC. Доказать,

что

ABC,

3.2.23.

Найти

длину

медианы

треугольника

если

A (2;3 2;−4), B(3; − 4; 2), C (1;3; − 7).

Ответ:

3.2.24.

Найти

угол

ϕ между

векторами

если

A (−5; 1), B(−1; 4), C (1; − 4), D (2;3).

ϕ = π.

Ответ:

3.2.25. Дан треугольник ABC с вершинами

A (−1; − 2; 4), B(3; 2; − 2),

C (3; − 2;1).

Найти

длину стороны AB

угол

при вершине

этого

треугольника.

Ответ:

= 2

17; arccos −

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 129 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.201518.75 Кб7Ramka_Kletki_Chernaya (2).docx
#
17.03.2015299.52 Кб11ramka_kletki_chernaya.doc
#
17.03.201523.86 Mб94Raschet_tsepey_postoyannogo_toka_2.doc
#
06.03.20163.73 Mб247ravich_b_m_okladnikov_v_p_i_dr_kompleksnoe_ispolzovanie_syry.doc
#
17.03.20151.15 Mб48razdel1kim.pdf
#
17.03.20151.31 Mб24razdel1UMK.pdf
#
17.03.20151 Mб59razdel2kim.pdf
#
17.03.20151.08 Mб32razdel2UMK.pdf
#
17.03.2015780.33 Кб33razdel3kim.pdf
#
17.03.20151.22 Mб88razdel3UMK.pdf
#
17.03.2015768.02 Кб25razdel4kim.pdf