razdel1UMK

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

. Его столбцы

- 1-ый и 2-ой столбцы матрицы А – соответствуют

переменным x1 и

переменная x2 −это будут главные переменные, а

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

1.31 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

		3	−1	1	2	−8
		7	−1	2	1	−12
ПРИМЕР 1.14
	Найти ранг матрицы А =		−1	3	0	−16	.
	11
			− 2	3	3	− 20
	10

Решение. После вычитания первой строки из остальных получаем эквивалентную матрицу, а из последней умноженную на 2,

	3	−1	1	2	−8
А ≈	4	0	1	−1	− 4	3		−1 1	2	−8
А ≈						≈					.
	8	0	2	− 2	−8		4	0 1	−1	− 4
	8	0	2	− 2	−8		4	0 1	−1	− 4
	4	0	1	−1	− 4
	4	0	1	−1	− 4

Поскольку три строки промежуточной матрицы были пропорциональны, то из них можно получить две ненулевые строки, которые мы отбросили.

Ясно, что rang A = 2, т.к. M2 =	3	−1	= 4.
Ясно, что rang A = 2, т.к. M2 =	3	−1	= 4.
	4	0

1.5 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

1.5.1 Основные понятия

Определители и матрицы широко применяются при решении систем линейных уравнений, т.е. систем, содержащих m уравнений первой степени

относительно n неизвестных

x1 , x 2 ,K, x n .

В наиболее общем виде такие системы записываются в форме

a11x1 + a12 x 2 +K+ a1n x n = b1 ,

a 21x1 + a 22 x 2

+K+ a 2n x n

= b2,

(1.18)

KKKKKKKKKKKK

+ a

+K+ a

= b

Числа

a11 , a12 ,K, a mn называются коэффициентами системы или

коэффициентами при неизвестных.

Первый индекс у коэффициентов системы указывает на номер уравнения, второй на номер неизвестного, при котором записан этот коэффициент. Числа

b1 , b2 ,K, bm называются свободными членами. Если все свободные члены

равны нулю, то система называется однородной, если же, хотя бы одно из них отлично от нуля, то неоднородной.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.16 Решением системы (1.18) называется любая совокупность чисел x1 , x 2 ,K, x n , подстановка которой в (1.18) обращает

каждое уравнение этой системы в верное числовое равенство.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, имеющая только одно решение определенной, имеющая более одного решения

- неопределенной, не имеющая ни одного решения - несовместной.

Решить систему (1.18) - это значит указать все множество ее решений или доказать ее несовместность.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.17 Две системы линейных уравнений называются равносильными, если каждое решение второй системы является решением первой и наоборот.

Доказано, что если над системой (1.18) выполнить преобразования:

1)поменять местами уравнения;

2)умножить обе части любого уравнения системы на любое не равное нулю число;

3)прибавить к обеим частям одного из уравнений системы соответствующие части другого уравнения, умноженные на любое действительное число, то система (1.18) переходит в равносильную ей систему. Перечисленные выше преобразования называются элементарными преобразованиями системы. В результате элементарных преобразований может случиться, что в системе появится уравнение, все коэффициенты которого равны нулю. Тогда, если и свободный член этого уравнения равен

нулю, то уравнение справедливо при любых x1 , x 2 ,K, x n и, следовательно,

его можно отбросить. Если же свободный член не равен нулю, то этому уравнению не удовлетворяют никакие значения неизвестных, следовательно, полученная система является несовместной, а это означает, что несовместна и исходная система.

1.5.2 Решение систем линейных уравнений. Теорема Кронекера – Капелли

Пусть дана

произвольная

система

m линейных уравнений с

a11x1 + a12 x 2 +K+ a1n x n = b1 ,

a 21x1 + a 22 x 2 +K+ a 2n x n = b2,

n неизвестными

KKKKKKKKKKKK

+ a

+K+ a

= b

Расширенной

матрицей

системы

называется

матрица

	a	11	a	12	...	a	1n	b
								1
~	a	21	a22		...	a2n		b2
А =			...		... ...			...	.
	...
			am2		...	amn
	am1							bm

Исчерпывающий ответ на вопрос о совместности этой системы дает теорема Кронекера – Капели.

Теорема 1.4.. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы

Примем ее без доказательства.

Правила практического разыскивания всех решений совместной системы линейных уравнений вытекают из следующих теорем.

Теорема 1.5. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Теорема 1.6. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.

Правило решения произвольной системы линейных уравнений.

1. Найти ранг основной и расширенной матриц системы. Если

r A r A , то система несовместна.

( )≠ (~ )

( )= (~ )= , система совместна. Найти какой-либо базисный

2. Если r A

минор порядка r ( минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным). Взять r уравнений, из коэффициентов которых составлен базисный минор. Неизвестные, коэффициенты которых входят в базисный минор, называют главными и оставляют слева, а остальные n − r неизвестных называют свободными и переносят в правые части уравнений.

3.Найти выражения главных неизвестных через свободные. Получить общее решение системы.

4.Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим соответствующие значения главных неизвестных. Таким образом можно найти частные решения исходной системы уравнений.

ПРИМЕР 1.15 Исследовать систему линейных уравнений; если она совместна, то найти ее общее решение и одно частное решение:

x1 + x2 − x3 = −4,

x1 + 2x2 −3x3 = 0,

− 2x1 − 2x3 =16.

Решение. Привести к ступенчатому виду расширенную матрицу

	1	1	−1	− 4	1 1			−1	− 4		1 1			−1	− 4
	1	2	−3	0		0	1	− 2	4			0	1	− 2	− 4
системы:					≈						≈					.
	− 2 0		− 2	16		0 2		− 4	8			0 0 0			0

Так как				~	< 3 = n, то система совместна и неопределенна
		r(A)= r(A)= 2
(т.е. имеет бесконечно много решений).													r(A)= 2,		количество
	Количество			главных			переменных			равно

свободных переменных равно n − r(A)= 3 − 2 =1. Выберем какой-нибудь не

равный нулю минор 2-го порядка полученной матрицы А, например, минор

x3 −свободная переменная. Запишем систему уравнений, соответствующую полученной расширенной матрице:

x1 + x2 − x3 = −4,
	− 2x3 = 4.
x2	− 2x3 = 4.
Теперь для наглядности запишем эту систему в другом виде:
x1 + x2 = x3 − 4,
	= 2x3 + 4.
x2	= 2x3 + 4.
Подставляя выражение для		x2 в	первое уравнение,	получим
x1 = −x3 −8.Обозначая свободную		переменную через t , получим общее
решение	системы: (− t −8; 2t + 4; t).	Частное	решение системы	получим,

например, при t = 0 : (−8;4;0).

1.5.3 Формулы Крамера. Матричный способ решения систем линейных уравнений

Пусть задана система линейных уравнений, содержащая одинаковое
число уравнений и неизвестных (m = n)
a11x1 + a12 x 2 +K+ a1n x n = b1 ,
	+K+ a 2n x n = b2 ,
a 21x1 + a 22 x 2
	(1.19)
KKKKKKKKKKKK
	+K+ a nn x n = bn .
a n1x1 + a n2 x 2

Введем три матрицы

a11		a12	K a1n		x1	b1
		a 22	K a 2n
a 21		a 22	K a 2n		x 2	b2
A =	K K K K			, X = K , B = K

		a n2	K a nn
a n1		a n2	K a nn		x n	bn

Матрица A ,	составленная	из	коэффициентов		системы,	является
квадратной матрицей порядка n . Матрицы X				и B являются столбцовыми и
составлены соответственно из неизвестных и свободных членов системы.
Так как число столбцов матрицы			A равно числу строк матрицы X , то
существует произведение A X ,		являющееся		столбцовой матрицей		тех же
размеров, что и матрица B . Тогда систему уравнений (1.19) можно записать в
форме одного матричного уравнения.
A X = B					(1.20)
Для определения матрицы X из (1.20) допустим, что матрица A имеет
обратную матрицу A−1 определяемую формулой (1.17). Тогда, умножая обе
части (1.20) слева на	A−1 , получим
A−1 (A X)= A−1 B (A−1A) X = A−1 B					(1.21)
По определению обратной		матрицы A−1 A = E ,где E − единичная
матрица порядка n . Отсюда (A−1 A) X = E X = X.
Следовательно, уравнение (1.21) запишется в виде
X = A−1 B					(1.22)
Матричное равенство (1.22) определяет				решение	заданной	системы

уравнений в матричной форме. Для определения конкретных значений неизвестных x1 , x 2 ,K, x n перепишем (1.22) в виде

A11

A 21

K A n1

A 22

K An2

x 2

1 A12

K K

(1.23)

A2n

x n

A1n

K A nn

где ≠ 0 − определитель, соответствующий матрице A ;

Aij − алгебраические дополнения элементов aij этой матрицы. Перемножив матрицы в правой части (1.23), найдем

x1				A11b1 + A 21b2		+K+ A n1bn
					A12 b1 + A 22 b
x 2		=	1			2	+KA n2 bn
	K				KKKKKKKKKK




x n				A1n b1 + A 2n b2			+K+ A nn bn

Отсюда, согласно условию равенства двух матриц, получим

x1 = A11b1 + A21b2 +K+ An1bn , x 2 = A12 b1 + A22 b2 +K+ An2 bn ,K,

K, x n

A1n b1 + A2n b2 +K+ Ann bn

(1.24)

Формулы

(1.24)

определяют

матричный способ решения системы

a11x1 + a12 x 2 +K+ a1n x n = b1 ,

+ a 22 x 2

+K+ a 2n x n = b2,

a 21x1

KKKKKKKKKKKK

+ a

n 2

+K+ a

= b

Для запоминания этих формул и последующего их применения на

практике введем группу определителей:

a11

a12

K a1n

a12

K a12

a 21

a 22

K a 2n

a 22

K a 2n

K K K

a n1

a n2 K a nn

a11

b1 K a1n

a11

a12

K b1

a 21

b2 K a 2n

,K,

a 21

a 22

K b2

K K K

a n1

bn K a nn

a n1

a n2 K bn

Заметим, что определитель

получен из

заменой его первого

столбца на столбец свободных членов,

определитель

X2 получен из

заменой его

второго столбца на столбец

свободных членов и т.д.. Разложим

каждый из определителей

, X

,K,

по столбцу из свободных членов

b1 , b2 ,K, bn . Тогда

X = b1A11 + b2 A 21 +K+ bn A n1 , X

= b1A12 + b2 A 22 +K+ bn A n2 ,

= b1A1n + b2 A 2n

+K+ bn A nn

(1.25)

Из сравнения полученных результатов (1.25) с числителями равенств

(1.24) следует, что решение системы (1.19) можно записать в виде

x1 =

x 2 =

,K,

x n =

(1.26)

Формулы (1.26) называются формулами Крамера.

ПРИМЕР 1.16 Решить по формулам Крамера систему уравнений

x1 + 4x 2 = 9,5x1 − x 2 = 3.

Решение. Система содержит одинаковое число уравнений и неизвестных. Вычислим определитель этой системы.

= −21.

−1

≠ 0,то решение можно найти по формулам Крамера:

Так как

= −21,

= −42. Тогда

−1

x1 =

= (

− 21)

=1,

x 2 =

= (− 42) = 2. Ответ: {1;2}.

(− 21)

ПРИМЕР 1.17 Решить матричным способом систему уравнений

x + 2y + z = 4,2x − y + 2z = 3,

3x + y − 2z = 2.

Решение.

Система содержит одинаковое число уравнений и неизвестных.

Вычислим определитель						этой системы:
	1	2	1			1	2	1		= (−5)	1 1


=	2	−1 2		=		0	−5 0						= 25 ≠ 0
	3	1	− 2			3	1	− 2			3 − 2
Так как	3	1	− 2			3	1	− 2
Так как	≠ 0, то система может быть решена матричным способом.
					1		2	1		x				4
Составим матрицы			A =		2		−1	2						3
Составим матрицы			A =		2		−1	2	, X = y , B			=		3	.
					3		1 −2							2
					3		1 −2			z				2

Так как определитель системы					≠ 0, то матрица A имеет обратную
	1	A11		A 21		A31
матрицу A−1 , где A −1 =		A	12	A	22	A	32	.


				A 23		A33
		A13
Вычислим алгебраические дополнения						Aij всех элементов

A11	=	−1 2					= 0,	A21	= −		2	1		= 5, A31	=	2 1			= 5,

			1		− 2						1	− 2				−1		2
A12	= −			2	2	=10,		A22	=	1		1	= −5, A32		=	−	1	1		= 0,

				3	− 2					3		− 2					2	2

A13		=		2 −1			= 5,			A23 = −			1 2				= 5, A33=			1 2	= −5.
A13		=		2 −1			= 5,			A23 = −			1 2				= 5, A33=			1 2	= −5.
				3	1								3			1				2 −1
								0		5	5
Тогда			A −1 =			1		10	−5		0	.
Тогда			A −1 =					10	−5		0	.
					25
					25					5
								5		5	−5
Так как решением является X = A−1 B , то
x		1			0 5				5		4				1		25		1
		1													1
y	=				10			−5 0			3	=						25	= 1
y	=	25			10			−5 0			3	=		25				25	= 1
		25						5						25				25
z					5			5	−5		2							25	1
Или	x =1, y =1, z =1.									Ответ: {1,1,1}

1.5.4 Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Пусть задана система из m линейных уравнений с n неизвестными:

a11x1 + a12 x 2 +K+ a1n x n = b1,
	+ a 22 x 2	+K+ a 2n x n = b2	,
a 21x1
			(1.27)
KKKKKKKKKKKK
	+ a m2 x 2	+K+ a mn x n = bm
a m1x1
Допустим, что в системе коэффициент			при x1 в первом уравнении

a11 ≠ 0. Разделив обе части этого уравнения на a11, получим равносильную данной систему:

x1 + a12(1)x 2 +K+ a1n(1)x n = b1(1),

+ a 22 x 2 +K+ a 2n x n

= b2

a 21x1

(1.28)

KKKKKKKKKKKK

a m1x1 + a m2 x 2 +K+ a mn x n = bm

(1)

a12

(1)

a1n

(1)

где a12

,K, a1n

, b1

a11

Исключим с помощью первого уравнения системы (1.28) неизвестное x1

из всех оставшихся уравнений этой системы. Для этого умножим первое уравнение этой системы последовательно на a 21 , a 31 ,K, a m1 и в том же

порядке вычтем полученное из второго, третьего и последующих уравнений системы (1.28). В результате получим равносильную систему вида

x1 + a12(1)x 2 +K+ a1n(1)x n = b1(1),
	a (221)x 2	+K+ a (2n1)x n = b	(21),
				(1.29)
	KKKKKKKKKKK

	(1)	(1)	(1)
	a m2 x 2	+K+ a mn x n = bm

где a (221) = a 22 −a12(1) a 21,K, a (2n1) = a 2n −a1n(1) a 21 ,K,

a (m21) = a m2 −a12(1) a m1 ,K, a (mn1) = a mn −a1n(1) a m1,K, b(21) = b2 − b1(1) a 21 ,K, b(m1) = bm − b1(1) a m1.

Допустим, что коэффициент a (221) при x 2 во втором уравнении системы (1.29)

отличен от нуля. В противном случае переставим местами уравнения этой системы, записав вторым другое уравнение с подходящим вторым коэффициентом.

Исключим

неизвестное

x 2 с

помощью

второго уравнения из

всех

последующих уравнений. Для этого разделим второе уравнение на a (221)

≠ 0 .

Затем

умножим

последовательно

полученное второе уравнение

на

a 32(1)

, a (421)

,K, a (m1)2

и вычтем эти результаты из третьего, четвертого и всех

оставшихся уравнений.

В итоге получим очередную систему уравнений:

x1 + a12(1)x 2 + a13(1)x 3 +K+ a1n(1)x n = b1(1),

(2)

x 2 + a 23 x 3

+K+ a 2n x n = b

a 33(2)x3 +K+ a 3(2n)x n = b3(2)

KKKKKKKKKKKKKKK

a (2)x

+K+ a (2)x

= b

(2)

(231)

(2)

a (21n)

(2)

b(21)

где

,K, a

, b

(1)

a 22

a33(2) = a33(1) −a (232) a32(1),K, a (mn2) = a (mn1)

−a (2n2) a (m1)2 ,

b3(2) = b3(1) − b(22) a 32(1),K, b(m2) = b(m1) − b(22) a (m1)2

Продолжая этот процесс исключения неизвестных, получим либо несовместную, либо совместную систему уравнений. В первом случае в

системе будет содержаться уравнение, в котором все коэффициенты левой части равны нулю, а свободный член отличен от нуля, т.е. уравнение вида

0 x k + 0 x k+1 +K+ 0 x n = ck		, где	ck ≠ 0 . Во втором случае получим
либо систему треугольной формы		(m = n)
x1 + a12(1)x 2 +K+ a1n(1)x n = b1(1),

	(2)		(2)		(1.30)
	x 2 +K+ a 2n x n = b		2		(1.30)
	KKKKKKKKKKK
	x n = b(nn )
	x n = b(nn )
либо систему трапециевидной (ступенчатой) формы
x1 + a12(1)x 2 +K+ a1k(1)x k +K+ a1n(1)x n = b1(1),

	(2)		(2)	(2)	(1.31)
	x 2 +K+ a 2k x k + a 2n x n			= b2	(1.31)
	KKKKKKKKKKKKKKK
	x k +K+ a (knk )x n = b(kk )
	x k +K+ a (knk )x n = b(kk )

В случае треугольной системы из последнего уравнения (1.30) следует, что x n = b(nn ). Подставляя это значение в предпоследнее уравнение системы

(1.30), найдем неизвестное x n−1 . Подставляя значения	x n и x n−1 в
предыдущее уравнение, найдем значение неизвестного x n−2	и т.д.

Таким образам, если данная система (1.27) с помощью элементарных преобразований приводится к системе треугольной формы, то система имеет единственное решение (т.е. система совместна и определенна).

В случае системы ступенчатой формы (1.31), перенося все слагаемые,

содержащие неизвестные

x k+1 ,K, x n

в правую часть уравнений, получим

систему вида

+ a (1)x

+K+ a (1)x

= b(1) − a (1)

k+1

−K− a (1) x

+K+ a (2)x

= b(2) − a (2)

−K− a (2)x

(1.32)

k+1

KKKKKKKKKKKKKKKKKKK

x k

= b(kk ) − a (kkk )+1x k+1 −K− a (knk )x n

Из (1.32) следует, что значения неизвестных x1 , x 2 ,K, x k выражаются

через

значения неизвестных x k+1 ,K, x n . Так как последним неизвестным,

называемым свободными неизвестными, можно придавать любые произвольные значения, то система (1.32), а вместе с ней и данная система (1.27), имеет бесконечное множество решений.

Итак, если данная система приводится к трапециевидной форме, то она имеет бесконечное множество решений (т.е. система совместна и неопределенна). Найденные решения, записанные в форме

<<< < Предыдущая 1 23 / 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.201518.75 Кб7Ramka_Kletki_Chernaya (2).docx
#
17.03.2015299.52 Кб11ramka_kletki_chernaya.doc
#
17.03.201523.86 Mб94Raschet_tsepey_postoyannogo_toka_2.doc
#
06.03.20163.73 Mб247ravich_b_m_okladnikov_v_p_i_dr_kompleksnoe_ispolzovanie_syry.doc
#
17.03.20151.15 Mб48razdel1kim.pdf
#
17.03.20151.31 Mб24razdel1UMK.pdf
#
17.03.20151 Mб59razdel2kim.pdf
#
17.03.20151.08 Mб32razdel2UMK.pdf
#
17.03.2015780.33 Кб33razdel3kim.pdf
#
17.03.20151.22 Mб88razdel3UMK.pdf
#
17.03.2015768.02 Кб25razdel4kim.pdf