razdel1UMK

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

= 6 −4 −15 −20 −1−18 = −52 ≠ 0.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

1.31 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 128 9 10 11 12 > Следующая >>>

			Решение. Построим расширенную матрицу системы
		1			2	−1		1		2	Исключая с помощью первой строки
		1			2	−1		1		2
				2	−1	3		−1		3
				2	−1	3		−1		3	неизвестное				x1	из оставшихся строк,
B =					2	− 4		6		5	получим:
		−3			2	− 4		6		5	получим:
				1	−1	1		2		6
				1	−1	1		2		6
		1		2		−1		1	2		Исключая неизвестное							x 2 с помощью
		1		2		−1		1	2
			0	−5		5		−3
B~			0	−5		5		−3		−1	второй строки из последующих строк,
B~			0	8		− 7		9	11		второй строки из последующих строк,
			0	8		− 7		9	11		получим:
			0	−3		2		1	4
			0	−3		2		1	4
		1		2		−1		1	2			Исключая с помощью третьей строки
			0	− 5		5		− 3		−1		Исключая с помощью третьей строки
B~			0	− 5		5		− 3		−1		неизвестное				x3 из	четвертой строки,
B~			0	0		1		21 5	47 5			получим:
			0	0		1		21 5	47 5			получим:
			0	0		−1	14 5		23 5
			0	0		−1	14 5		23 5
		1		2		−1		1	2			Матрица, а следовательно, и система
			0	− 5		5		− 3		−1		Матрица, а следовательно, и система
B~			0	− 5		5		− 3		−1		уравнений, приведена к треугольному
B~			0	0		1		21 5	47 5			виду.
			0	0		1		21 5	47 5			виду.
			0	0		0		7	14
			0	0		0		7	14
					x1 + 2 x 2				− x3 + x 4			= 2,				x		=1,
							−5 x 2		+5 x3		−3 x 4 = −1,					x	1	=1,
							−5 x 2		+5 x3		−3 x 4 = −1,						1	= 0,
																x	2	= 0,
											21			47			3 =1,
										x3 +	21	x 4	=	47	,	x
										x3 +	5	x 4	=		,	x
											5		5					= 2.
																	4
											7 x 4		=14,			x	4
											7 x 4		=14,
					1 + 2 0 − 1 + 2 = 2,
					2	1 − 0 + 3			1 − 2 = 3,
					2	1 − 0 + 3			1 − 2 = 3,						Ответ {1;0;1; 2}.
Проверка															Ответ {1;0;1; 2}.
				− 3		1 + 2 0			− 4 1 + 6 2 = 5,
					1	− 0 + 1 + 2 2 = 6.
					1	− 0 + 1 + 2 2 = 6.
			ПРИМЕР 2.14 Решить систему уравнений методом Гаусса
− x1 + 2 x 2 − x3 + x 4 =1,
	x1			− x 2 + x3 −3 x 4 = −1,
2	x1			− x 2 + x3 −3 x 4 = −1,
	x1			+ 4 x 2		− 2 x3 = 4,
2	x1			+ 4 x 2		− 2 x3 = 4,
		+3 x 2 − 2 x3 + 2 x 4 = 4.
x1		+3 x 2 − 2 x3 + 2 x 4 = 4.

Решение. Вновь составим расширенную матрицу данной системы и выполняя элементарные преобразования над ней, получим

			−1 2 −1 1																					1				−1 2 −1 1											1
			−1 2 −1 1																					1				−1 2 −1 1											1
					2			−1 1 − 3																				0 3 −1 −1										1
B =					2			−1 1 − 3																−1				0 3 −1 −1										1
B =					2			4 − 2 0																	4		~	0 8 − 4 2										6				~
					2			4 − 2 0																	4			0 8 − 4 2										6
					1			3 − 2 2																	4			0 5 −3 3										5
					1			3 − 2 2																	4			0 5 −3 3										5
	−1 2							−1										1						1				−1 2 −1 1											1
	−1 2							−1										1						1				−1 2 −1 1											1
		0 3						−1									−1							1				0 3 −1 −1											1
		0 3						−1									−1							1				0 3 −1 −1											1
~		0 0						− 4 3 14 3 10 3																			~	0 0 − 4 14											10				~
		0 0						− 4 3 14 3 10 3																				0 0 − 4 14											10
		0 0						− 4 3 14 3 10 3																				0 0 0						0					0
		0 0						− 4 3 14 3 10 3																				0 0 0						0					0
	−1					2		−1						1					1
	−1					2		−1						1					1
		0 3						−1 −1											1
~		0 3						−1 −1											1			.
		0				0		− 2						7						5
		0				0		− 2						7						5
Матрица B, следовательно, и система уравнений, приведена к трапециевидной
форме.																															7 x				−		5								3	x		−1
− x				1	+ 2 x					2			− x				3		+ x				4	= 1,			Тогда x3			=	7 x		4		−		5		,	x			=		3	x	4	−1	,
																																	4									2					4
																																2										2				2
					3 x 2 − x 3 − x 4 = 1,																											2				x4			+1							2
						− 2 x 3 + 7 x 4 = 5.																										x1	=			x4			+1		.

																																					2
																																					2
Следовательно, общее решение системы запишется в виде
x		4	+		1		3	x	4		−1					7 x					4	−		5
		4				,			4					,							4				, x	4	R
		2				,		2						,						2					, x	4	R
		2						2												2
Полагая, например,															x 4 =1, найдем одно из частных решений {1;1;1;1}.
				ПРИМЕР 2.15 Методом Гаусса решить систему уравнений
x		1 + 2 x 2 − x 3 = 7,
		x1 − 3						x 2 + x 3 = 3, .
2		x1 − 3						x 2 + x 3 = 3, .
		x1 + x 2 − x 3 =16
4		x1 + x 2 − x 3 =16
				Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы
1 2 −1												7							1 2 −1										7		1 2 −1													7
1 2 −1												7							1 2 −1										7		1 2 −1													7
	2			− 3 1									3							0				− 7 3					−11			0	− 7 3
	2			− 3 1									3				~			0				− 7 3					−11	~		0	− 7 3												−11 .
	4 1							−1				16								0				− 7 3					−12			0 0								0					−1
	4 1							−1				16								0				− 7 3					−12			0 0								0					−1

Итак, уравнение, соответствующее третьей строке последней матрицы, противоречиво – оно привелось к неверному равенству 0 = −1, следовательно, данная система несовместна.

2.6 ВЕКТОРЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

ПРИМЕР 2.16 Доказать, что OA + OB + OC = O , если точка O есть центр тяжести ABC (рис. 2.3).

Решение. Центр тяжести т.O ABC находится в точке пересечения его

медиан. Пусть точка	P есть середина отрезка AC.
Тогда по свойству	медианы		=	1		= −	1		.
		OP			BP			OB
				3			2

Построим на векторах OA и OC параллелограмм

AOCД.

Тогда OД = OА + OC и ОР = 12 ОД. Следовательно,

OA + OB + OC = ОД + ОВ = 2 ОР+ОВ = −ОВ+ОВ = O

Что и требовалось доказать.

ПРИМЕР 2.17 Вектора a и b

образуют угол

Рис. 2.3

ϕ = 60o, причем

= 5,

=8. Определить

ar + b

ar −b

ar + b

ar −b

Решение.

Вектора

совпадают с диагоналями AC и ВД

параллелограмма (рис. 2.4). Тогда по теореме

косинусов

ВД2 = АВ2 + АД2 −2 АВ АД cos ϕ

−2

cos ϕ

= 52

−b

Рис. 2.4

=89 −

80 2

a −b

= 7.

AC2 + ВД2 = 2 (АВ2 + АД2 ),

Так

как

параллелограмме

то

ar + br

2 = 2 (82 + 52 )− 49 =129 ar + br =

129.

= 7 .

Ответ.

129 и

+ b

a − b

ПРИМЕР

2.18

Доказать, что

вектора a1 ={1; 2;5}, a2 ={3; 2; −1},

3 ={2; −1;3}образуют базис в пространстве R3 .

Решение.

Вектора

a1,a2 ,a3

образуют

базис,

если определитель

третьего порядка, составленный из координат данных векторов, отличен от нуля.

ПРИМЕР	2.19 Найти	координаты	вектора a4 ={3;1;8} в	базисе
a1 ={1; 2;5}, a2 ={3; 2; −1}, a2 ={2; −1;3}.			что a1,a2 ,a3 образуют
Решение.	Из примера	2.16 следует,	что a1,a2 ,a3 образуют	базис в

пространстве R3 . Тогда вектор a4 является линейной комбинацией базисных векторов, т.е.

							a		4 = λ1 a1 +λ2 a2 +λ3 a3
λ1 {1; 2;5}+ λ2 {3; 2; −1}+ λ3 {2; −1;3}= {3;1;8}.																	Приравнивая								одноименные
координаты			векторов,					получим систему трех линейных														уравнений с тремя
									λ +3 λ			2	+ 2 λ		3	= 3,
										1		2			3
неизвестными λ1,λ2 ,λ3 : 2										λ1 + 2 λ2 −λ3 =1,
										λ1 −λ2 +3 λ3 =8.
									5	λ1 −λ2 +3 λ3 =8.
Решим эту систему методом Гаусса																	1 3 2					3
	1 3 2				3 1					3		2		3
	1 3 2				3 1					3		2		3
	2 2 −1				1				0	−4 −			5	−5			0 4 5					5
B =	2 2 −1				1		~		0	−4 −			5	−5		~	0 4 5					5
	5 −1 3				8				0	−16 −			7	−7			0 0 13
	5 −1 3				8				0	−16 −			7	−7			0 0 13					13
λ1 +3 λ2 + 2 λ3 = 3,										λ1 =1														={1;0;1}.
	4 λ	2	+5 λ	3		= 5,				λ	= 0,			Ответ. a				4	= a	1	+a		3	={1;0;1}.
		2		3						2								4		1			3
			λ3 =1.								=1.
			λ3 =1.							λ3	=1.

ПРИМЕР 2.20 Дан прямоугольный треугольник ABC, у которого длина катета AB = 3, длина катета

AC = 4. На стороне AB взят вектор i , на стороне AC r- вектор j . Выразить вектор MC через векторы i и j , если точка M - середина стороны BC.

Рис. 2.5

Решение.

MC = 12 BC = 12 (AC −AB)= 12 (4 rj −3 ri )= − 32 ri + 2 rj

		Прямоугольная декартова система координат
Если ar	=		= x ri + y j + z k , то
Если ar	=	OM	= x ri + y j + z k , то
			ar = x2 + y2 + z2 .	(2.1)

Если α,β, γ - углы между вектором a и осями координат, то направляющие косинусы радиуса-вектора a точки M(x; y; z) вычисляются по формулам

cos α =

x2 + y2 + z2 , cosβ =

x2 + y2 + z2 , cos γ =

x2 + y2 + z2

(2.2)

Расстояние d между двумя точками M1(x1; y1; z1 ) и M2 (x2 ; y2 ; z2 )

находится по формуле

(x2 − x1 )2 +(y2 − y1 )2 +(z2 −z1 )2 .

d =

(2.3)

M1M2

Если точка M

0 (x0 ; y

0 ; z0 )

делит

отрезок

[M1M2 ],

где M1(x1; y1; z1 ),

M2 (x2 ; y2 ; z2 ) в отношении

λ,

т.е.

= λ

, то ее координаты

M1M0

M0M2

находятся по формулам

x1 +λ x2

, y0

y1 +λ y2

, z0 =

z1 +λ z2

(2.4)

1+λ

В частности, при λ =1 точка M0

делит отрезок пополам, а

x0 =

x1 + x2

, y0 =

y1 + y2

z0 =

z1 + z2

(2.5)

ПРИМЕР 2.21 Найти длину медианы AD треугольника ABC с

вершинами A(2;1;4), B(1;7;6), C(5;3;2).(рис. 2.5)

Решение. Точка D делит отрезок BC пополам, тогда

xB + xC

1+5

= 3, yD =

yB + yC

7 +3

= 5,

zB + zC

6 + 2

= 4 . Следовательно, D(3;5;4). Согласно формуле (2.3)

d =

= (xD − xA )2 +(yD − yA )2 +(zD −zA )2 =

M1M2

(3 −2)2 +(5 −1)2 +(4 −4)2

17 .

Ответ:

17 .

ПРИМЕР

2.22 Вектор

ar =

задан

координатами своих

концов:

A(2;1;−4) и B(1;3;2). Найти проекции вектора ar =

на координатные оси и

его направляющие косинусы.

ar =

Решение. Находим проекции вектора

на

координатные оси:

ax = xB − xA =1−2 = −1,

ay = yB − yA = 3 −1 = 2,

az = zB −zA =

= 2 −(−4)= 6 , а модуль вектора в этом случае определяется по формуле (2.3)

ar = (−1)2 + 22 +62 = 41. Направляющие косинусы вычислим, используя

формулы (2.2) cos α =	−1	; cosβ =	2	; cos γ =	6 .
	41		41		41

2.7 СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.11 Скалярным произведением ar b векторов ar и b

называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними, т.е. ar b = ar b cos ϕ, где 0 ≤ ϕ≤ π.

Так как

cos ϕ = прarb ,

cos ϕ = прbrar

(см.

рис.2.6), то

ar b =

прarb =

прbrar.

(2.6)

Свойства скалярного произведения:

Рис.2.6

: a b = b a ;

нулевой вектор;

20 .

ar b = 0, если ar b или хотя бы один из векторов есть

;

. a

40 . (λ ar) b = ar (λ b)= λ (ar b)для λ R ;

50 . ar (b + cr)= ar b +ar

cr.

Если a = (x

; y ; z ),

= (x

; y

; z

), то

ar b = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 .

(2.7)

Если ar b, то ar b = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 0 .

(2.8)

Угол между векторами a и b вычисляется по формуле

cos ϕ =

ar b

x1 x2

+ y1 y2 + z1 z2

(2.9)

x12 + y12

+ z12

x22 + y22 + z22

A(5;6;5),

B(2;6;1),

ПРИМЕР

2.23

Даны

вершины

C(9;6; 2)треугольника ABC. Определить внутренний угол треугольника при

вершине B.

выходящие из вершины B

Решение. Построим вектора

треугольника

ABC.

Имеем

={3;0; 4},

={7;0;1}.

Тогда по формуле

(2.9), получим

BA BC

3 7 +0 0 + 4 1

cos(

BA,

BA BC

32 +02 + 42 72 +02 +12

внутренний угол треугольника при вершине B равен	π.
	4
ПРИМЕР 2.24 Вычислить работу по перемещению материальной точки
вдоль отрезка ВC из точки B(2; 4;3) в точку	C(6;5;8) под действием
постоянной по величине и направлению силы F ={3; 4; −2}.
Решение. Так как rработа A вычисляется	по формуле	A = F S и
S = BC ={4;1;5}, то A = F S = 3 4 +1 4 −2 5 = 6.
Ответ: A = 6.	b ={1;−3;2},	c ={3;2;−4}.
ПРИМЕР 2.25 Даны три вектора a ={2;−1;3},

Найти вектор xr ={x1; x2 ; x3}, удовлетворяющий условиям: ar xr = 9, b xr = 3

и c x .

Решение. Из условия векторов (2.8) и формулы (2.7) имеем

a x = 9,

2 x1 − x2 +

3 x3 = 9,

= 3,

x1 −3 x2 + 2 x3

+ 2 x2

−4 x3 = 0.

3 x1

Решая систему уравнений методом Гаусса, получим

2 −1 3

9 1 −3 2

3 1 −3 2

B =

1 −3 2

3 ~ 0 5

−1

3 ~

0 5 −1

3 ~

3 2 −4

0 0 11 −10

−9 0 1 −8

−15

1 −3 2

−

3 x

+ 2 x

= 3,

−8

−15

. Тогда, получим систему

x2 −8 x3 = −15,

39 x3 = 78.

x1 = 3 x2 −2 x3 +3,

x1 = 2,

x2 =8 x3 −15,

=1,

Ответ: x ={2;1;2}.

x3 = 2.

= 2.

ПРИМЕР 2.26 Вычислить проекцию вектора a ={5;2;5} на направление

вектора br

={2;−1;2}.

arrb

Решение. Согласно формуле (2.6)

прrar =

. Воспользуемся (2.7) и

(2.1): ar br = 5 2 + 2 (−1)+5 2 =10 −2 +10 =18 , br = 22 +(−1)2 + 22 = 3

10 .

Следовательно, прrar	=	ar	r	b	=18 = 6.	Ответ: прra = 6 .

b			b		3	b

2.8 ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.12

Векторным произведением ar×b вектора a на

вектор

br называетсяrвектор

, удовлетворяющий условиям:

1) длина вектора c численно равна площади параллелограмма построенного

на векторах a и b как на сторонах, т.е.

sin ϕ, где ϕ - угол

между векторами a и br;

2)c a , cr b ;

3)вектор c направлен в ту сторону, что, если смотреть из его конца вдоль

вектора c , то кратчайший поворот вектора a к вектору b виден совершающимся против движения часовой стрелки.

Векторноеr произведениеr обладает свойствами: ar×b = −(b ×ar).

20 . ar×ar = 0 .

. a ×b

= 0, если a = λ b или хотя бы один из векторов есть нулевой вектор.

40 . λ (ar

×br)= (λ ar)

×br = ar

×(λ br)для λ R .

50 . ar×(b + cr)= ar×b +ar×cr.

Если a = (x1; y1; z1 ),

b = (x2 ; y2 ; z2 ) заданы своими координатами, то

(2.10)

×b

ПРИМЕР

2.27

Сила

F =

{1;5;2}

приложена к точке M(3;1;−4).

Определить момент этой силы относительно точки N(5;2;−1).

Решение. Моментом силы F, приложенной к точке M , относительно

точки N называется вектор

×F.

По условию

={−2;−1;−3}. Тогда

согласно формуле (2.10)

Ответ: {13;1; −9}.

NM ×F

−2

−1

−3

=13 i

+ j −9 k .

ПРИМЕР

2.28

Даны

вершины

A(2;3;1),

B(4;1;−2), C(6;3;7) треугольника ABC (рис. 2.7).

Вычислить площадь S этого треугольника.

Решение. Найдем векторы

(рис.2.7).

Имеем

={2;−2;−3},

={4;0;6}. Тогда

Рис. 2.7

= −12 ri −24 rj +8 kr.

2 −2 −3

Так как площадь параллелограмма ABCД равна

, то

AB×AC

=14.

S = 2

(−12)

+(−24)

2 874

ПРИМЕР 2.29 Вычислить площадь параллелограмма S, построенного на векторах mr +3 nr и 2 n + m , если mr =1, nr = 2 , (mr, nr)= 45o .

Решение Найдем векторное произведение данных векторов, используя его

свойства: (m +3 n)×(2 n + m)= 2 m ×n +6 n ×n + m ×m +

+3 nr×mr = −2 n ×m +3 n ×m = n ×m.

Вычислим модуль полученного вектора:

r r r r	o			2		Итак, S =1 кв.ед.
n ×m = n m sin 45		=	2 1	2	=1.	Итак, S =1 кв.ед.

2.9 СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.13 Смешанным (ar×b) cr или векторно-скалярным

произведением	трех векторов ar, b, cr называется число, равное					векторному
произведению векторов ar×b умноженному скалярно на вектор cr.
Свойства:	10 . (ar×b) cr = 0 , если векторы компланарны.
20 . (ar×br) cr = (b ×cr) ar = (cr×ar) b = −(ar×cr) b = −(cr×br) ar = −(br×ar) cr.
Если a = (x1; y1; z1 ), b = (x2 ; y2 ; z2 ),			c = (x3; y3; z3 ), то
	(ar×br) cr =	x1	y1	z1
		x1	y1	z1
		x2	y2	z2	.	(2.11)
		x3	y3	z3

С геометрической позиции, модуль смешанного произведения численно равен объему V (рис. 2.8) параллелепипеда построенного на векторах ar, b, cr как на ребрах, т.е.

V =

(ar×b) cr

(2.12)

ПРИМЕР

2.30

Даны

векторы

a ={1;2;−1},

={2;2;3}, c ={0;1;4}.

Вычислить (ar×b) cr.

Решение. По формуле (2.11), имеем

(ar×br) cr =

−1

=8 −2 −16 −3 = −13.

Рис. 2.8

Ответ:

(ar×br) cr = −13.

значении x R

векторы a ={1;3;0},

ПРИМЕР

2.31 При

каком

b ={2;0;6},

c ={x;0;3} компланарны?

Решение. Векторы ar, b, cr компланарны, если (ar×b) cr = 0 . Тогда

6 = 0 18 x −18 = 0 x =1.

Ответ: 1.

x 0 3

ПРИМЕР 2.32 Вычислить V параллелепипеда построенного на векторах a ={1; 4;3}, b ={0; 2;5}, c ={2;3;1}.

Решение Согласно формуле (2.12) V = (ar×b) cr =

1	4	3
0	2	5	=	2 + 40 −12 −15	=15.	Ответ: V =15 куб.ед.

2 3 1

ПРИМЕР 2.33 Вычислить объем пирамиды ABCД и длину высоты, проведенной из вершины Д, если A(2;3;1), B(4;1; −2), C(6;3;7),

Д(−5; −4;8).

Решение. Так как объем пирамиды V составляет шестую часть объема параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC, АД, то

V = 16 (AB×AC) АД ,

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 128 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.201518.75 Кб7Ramka_Kletki_Chernaya (2).docx
#
17.03.2015299.52 Кб11ramka_kletki_chernaya.doc
#
17.03.201523.86 Mб94Raschet_tsepey_postoyannogo_toka_2.doc
#
06.03.20163.73 Mб247ravich_b_m_okladnikov_v_p_i_dr_kompleksnoe_ispolzovanie_syry.doc
#
17.03.20151.15 Mб48razdel1kim.pdf
#
17.03.20151.31 Mб24razdel1UMK.pdf
#
17.03.20151 Mб59razdel2kim.pdf
#
17.03.20151.08 Mб32razdel2UMK.pdf
#
17.03.2015780.33 Кб33razdel3kim.pdf
#
17.03.20151.22 Mб88razdel3UMK.pdf
#
17.03.2015768.02 Кб25razdel4kim.pdf