razdel1UMK

Определитель обладает свойствами:

1)При замене строк соответствующими столбцами величина определителя не изменяется.

2)При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный.

3)Определитель, у которого элементы строк (столбцов) пропорциональны (или равны), равен нулю.

4)Общий множитель строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

5)Определитель не изменится, если к элементам его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на любое число.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2 Определителем третьего порядка, соответствующим квадратной матрице третьего порядка, называется число

= a11 a 22 a 33 −a11 a 23 a 32 −a12 a 21 a 33 +a12 a 23 a 31 +

+a13 a 21 a 32 −a13 a 22 a 31.

Определитель третьего порядка обладает всеми свойствами определителя второго порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.3 Минором Mij элемента aij , где i, j =1, 2,3

определителя третьего порядка, называется определитель второго порядка, полученный из данного вычеркиванием его i -й строки и j- го столбца.

Например, вычеркивая вторую строку и первый столбец, найдем минор

т.е.

Aij = (−1)i+ j Mij , где i, j =1, 2,3.

Теорема 2.1 (теорема разложения). Определитель третьего порядка равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е.

= a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 = a 21 A21 + a 22 A 22 + a 23 A 23 =... = = a13 A13 + a 23 A 23 + a 33 A33 .

61

Решение. Рассмотрим различные схемы вычисления данного определителя.

1) Метод треугольников. Согласно этому методу необходимо найти суммы произведений элементов, записанных на главной диагонали, и двух равнобедренных треугольников (рис. 2.1) со стороной основания, параллельной этой диагонали, и вычесть сумму произведения элементов, записанных на побочной диагонали, и двух равнобедренных треугольников со стороной основания, параллельной побочной диагонали (рис. 2.2).

Тогда

=1 5 2 +(−3) 3 3 +(−4) 2 1−(−3) (−4) 5 −2 3 2 −1 1 3 =

=10 −27 −8 −60 −12 −3 = −100.

2)Метод разложения. По теореме 2.1, раскладывая определитель по элементам, например, первой строки, получим

=1 (10 −3)−3 (4 +9)−4 (2 +15)= 7 −39 −68 = −100.

Аналогично, если определитель разложить по элементам, например, второго столбца, получим тот же результат:

3) Метод предварительного получения нулей.. Теорема разложения наиболее

62

Решение. Перед использованием теоремы 2.1 наиболее целесообразно преобразовать определитель так, чтобы все элементы какой–либо строки (или столбца), кроме одного, обратились в 0. Например, сделаем так, чтобы в 1-м столбце все элементы, кроме первого, были равны нулю. Для этого: 1) к элементам первой строки прибавим соответствующие элементы третьей строки; 2) умножив элементы первой строки на (–2), прибавим их к соответствующим элементам четвертой строки. Раскладывая далее полученный определитель по элементам первого столбца, найдем

Решение. Вычитая из второго столбца первый, а из четвертого столбца третий, получим

2.3 ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. РАНГ МАТРИЦЫ

Пусть есть определитель этой матрицы.

64

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.7 Квадратная матрица A порядка n называется неособенной (невырожденной) матрицей, если ее определитель отличен от нуля. Если = 0, то – особенной (вырожденной) матрицей.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.8 Квадратная матрица A−1 порядка n называется обратной матрицей для данной матрицы A, если A A−1 = A−1 A = E , где

Вычислим обратную матрицу:

65

Ранг матрицы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.9 Минором k -го порядка произвольной матрицы А называется определитель, составленный из элементов матрицы, расположенных на пересечении каких-либо k строк и k столбцов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.10 Рангом матрицы А называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю.

Обозначается: r(A), rang(A). Базисным минором называется любой из миноров матрицы А, порядок которого равен

Для следующей матрицы А ее ранг равен 1:

66

Любой из миноров 2-го порядка матрицы А равен нулю, и существует хотя бы один минор 1-го порядка, не равный нулю, например, 3 = 3.

Теорема 2.2 При элементарных преобразованиях ранг матрицы не изменяется.

Теорема 2.3 Ранг ступенчатой матрицы равен количеству ее ненулевых строк.

Метод элементарных преобразований нахождения ранга матрицы заключается в том, что матрицу А приводят к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований; количество ненулевых строк полученной ступенчатой матрицы есть искомый ранг матрицы А.

Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы А состоит в следующем. Необходимо:

1)Найти какой-нибудь минор M1 первого порядка, отличный от нуля. Если такого минора нет, то матрица нулевая и r(A)= 0.

2)вычислить миноры 2-го порядка, содержащие M1 (окаймляющие M1 )

до тех пор, пока не найдется минор М2 , отличный от нуля. Если такого минора нет, то r(A)=1, если есть, то r(A)≥ 2. И т.д.

…

При нахождении ранга матрицы таким способом достаточно на каждом шаге найти всего один ненулевой минор k-го порядка, причем искать его только среди миноров, содержащих минорMk−1 ≠ 0.

запишем третьей строкой преобразованной матрицы.

67

Прибавляя к третьей строке вторую умноженную на 3, мы получим нулевую строку.

Полученная ступенчатая матрица содержит две ненулевые строки, значит ее ранг равен 2. Следовательно, ранг исходной матрицы также равен 2.

ПРИМЕР 2.10 Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров и

Решение. Так как у матрицы А есть ненулевые элементы, то r(A)≥1.

Найдем какой-либо ненулевой минор 2-го порядка (если он существует). Таким

2.4 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПО ФОРМУЛАМ КРАМЕРА И МАТРИЧНЫМ СПОСОБОМ

Решение. Система содержит одинаковое количество уравнений и неизвестных. Вычислим определитель этой системы.

68