33

Решение.

β − a

α − a

7 −5

4 −5

P(4 ≤ X ≤ 7) = P(4 ≤ X < 7) = Ф

−Ф

= Ф

−Ф

=

σ

σ

1

1

= Ф(2) −Ф(−1) = Ф(2) +Ф(1) = 0,4775 + 0,3413 = 0,8185.

т.к. Ф(t) нечетная

функция

Функция f (t)

быстро убывает при t → ±∞. Площадь под всей кривой

равна 1. Площади криволинейных трапеций над интервалами

[a −σ ; a +σ ],

[a − 2σ ; a + 2σ ] и

[a −3σ ; a + 3σ ]

равны

соответственно

0,6827 ,

0,9545 ,

1

,

при

a ≤ t ≤ b,

f (t) = b

− a

(6)

при

t < a

или t > b,

0,

называется равномерным распределением на отрезке [a ; b ].

График функции (6) изображен на рис. 14.2.

Интегральный закон равномерного распределения имеет следующий

вид:

0,

при

t < a,

t − a

при

a ≤ t ≤ b,

F(t) =

,

(2)

b

− a

1,

при

t > b.

34

f (t)

F(t)

1

1

b − a

b

t

0

a

b

t

0

a

Рис. 14.2

Рис. 14.3

Найдем P(α ≤ X < β) , где X – равномерно распределенная случайная

величина.

Имеют место следующие случаи:

а)

a <α < β < b

(рис. 14.4),

f (t)

1

P(α ≤ X < β) =

β −α

;

b −a

b − a

0

a

α

β

b

t

Рис. 14.4

f (t)

б)

α ≤ a < β < b

(рис. 14.5),

1

β − a

b −a

P(α ≤ X < β) =

;

b − a

0

α

a

β

b

t

Рис. 14.5

в)

a <α < b ≤ β

(рис. 14.6),

f (t)

1

P(α ≤ X < β) = b −α .

b −a

b − a

0

a

t

α

b

β

Если

α = a ,

β = b ,

то

Рис. 14.6

P(α ≤ X < β) =1.

Моделью равномерного распределения может служить пример с рулет-

кой (см. выше).

Теорема.

Если

X

– равномерно распределенная непрерывная слу-

чайная величина на отрезке [a ; b ]

, то