4

Глава XIV ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Раздел I

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

§ 1. Предмет теории вероятностей. Классическое и статистическое определение вероятности.

Наблюдаемые нами события (явления) можно подразделить на следующие три вида: достоверные, невозможные и случайные.

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность событий S .

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность событий S .

Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий S может либо произойти, либо нет.

Пример 1.

Совокупность условий S :

1)сосуд с водой;

2)p – нормальное;

3)to = 20oC .

Событие “вода в сосуде находится в жидком состоянии” – достоверное.

Событие “вода в сосуде находится в твердом состоянии” – невозмож-

ное.

Пример 2.

Событие “при подбрасывании может выпасть герб” – случайное.

Каждое случайное событие есть следствие действия очень многих случайных причин. Невозможно учесть влияние на результат всех этих причин, поскольку число их велико, а законы их действия неизвестны. Поэтому теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать, произойдет единичное событие или нет, – она просто не в силах это сделать.

Однако, оказывается, что достаточно большое число однородных случайных событий независимо от их конкретной природы подчиняется определенным закономерностям, а именно вероятностным закономерностям.

Итак, предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.

5

Например, как было уже сказано, нельзя наперед определить результат одного бросания монеты, но можно предсказать, причем с небольшой погрешностью, число появлений “герба”, если монета будет брошена достаточно большое число раз (при этом предполагается, конечно, что монету бросают в одних и тех же условиях).

Область применения – теория надежностей, теория массового обслуживания, теоретическая физика, геодезия, астрономия, баллистика и т.д.

Математическая статистика: планирование и организация производства, анализ технологических процессов, контроль качества и т.д.

Замечание. В дальнейшем, вместо того, чтобы говорить “совокупность условий S осуществлена”, будем говорить кратко “произведено испытание”. Таким образом, события будут рассматриваться как результат испытания.

Пример 3.

В урне имеются цветные шары. Из урны наудачу берут один шар. Извлечение шара из урны есть испытание. Появление шара определенного цвета – событие.

Виды случайных событий

Определение. События A и B называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании.

Определение. Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них.

Определение. События называются равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другие.

Пример 4.

Брошена монета. События “выпал герб” и “выпала решка” – несовме-

стные, причем равновозможные.

Пример 5.

Стрелок производит два выстрела по мишени. События: “0 попаданий в мишень”, “1 попадание” и “2 попадания” образуют полную группу.

6

Классическое определение вероятности

Пусть произведено некоторое испытание. Каждый из возможных результатов испытания назовем элементарным исходом (элементарным событием). Те элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовем благоприятными исходами. Предположим, что все элементарные исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу.

Определение. Вероятностью события A назовем отношение числа благоприятных этому событию исходов испытания к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных событий, образующих полную группу:

P( A) = mn ,

m– число благоприятных исходов,

n– общее число элементарных исходов.

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна 1. Доказательство. Если событие достоверно, то m = n и P( A) =1.

Итак, вероятность любого события удовлетворяет соотношению: 0 ≤ P( A) ≤1.

Основные формулы комбинаторики

Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов какого-либо конечного множества. При вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики. Приведем наиболее часто употребляемые из них.

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающихся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок равно:

P(n) = n!.

По определению 0!=1.

7

Пример 6.

Сколькими способами можно разместить на полке 5 книг?

Решение. P(5) = 5!= 5 4 3 2 1 =120 .

Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений равно:

Anm = n (n −1) (n − 2) ... (n − m +1) .

Пример 7.

Учащемуся необходимо сдать 4 экзамена на протяжении 8 дней. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. A84 = 8 7 6 5 =1680 .

Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний равно:

Пример 8.

Сколькими способами из 30 человек можно выбрать комиссию, состоящую из 3 человек?

Свойства:

1)Anm = P(m) Cnm ;

2)Cnk = Cnk−1 +Cnk−−11 ;

n

3) ∑Cnk = 2n (число всех подмножеств из n элементов равно 2n ).

k =0

При решении задач комбинаторики используют следующее основное правило комбинаторики (правило умножения):

Пусть требуется выполнить одно за другим k действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе – n2 способами и т.д., k -е

действие – nk способами, то все k действий вместе могут быть выполнены n1 n2 ... nk способами.

8

Пример 9.

Из Киева до Новгорода можно добраться 4 2 = 8 способами.

Пример 10.

Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если цифры не повторяются?

Решение. 6 цифр, 0 не может быть первой цифрой. Отсюда имеем: 5 5 4 3 = 300 чисел.

Пример 11.

Учащемуся необходимо сдать 4 экзамена за 8 дней. Сколькими способами это можно сделать, если известно, что последний экзамен будет сдаваться на восьмой день?

Решение.

4 A73 = 4 7 6 5 = 840 .

последний экзамен

Пример 12.

В некотором государстве нет двух одинаковых по количеству и расположению зубов жителей. Указать максимально возможное количество жителей этого государства.

Решение.