Доказательство.

F(t1, t2 ) = F1 (t1 ) F2 (t2 ) .

а)

Необходимость.

Пусть X и Y

– независимы. Тогда события X < t1 и

Y < t2 независимы.

Следовательно,

вероятность совмещения этих событий

равна произведению вероятностей, т.е.

P( X < t1, Y < t2 ) = P( X < t1 ) P(Y < t2 )

F (t1, t2 ) = F1 (t1 ) F2 (t2 ) .

б)

Достаточность.

Пусть F(t1, t2 ) = F1(t1 ) F2 (t2 )

P( X < t1, Y < t2 ) = P( X < t1 ) P(Y < t2 )

( X < t1 ) и (Y < t2 ) – незави-

симые события, следовательно, X и Y – независимые величины.

Y

Следствие.

Для того, чтобы непрерывные случайные величины X и

были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы плотность распре-

Определение. Пусть X , Y – случайные величины,

X Y – их произ-

ведение, M ( X ) , M (Y ) , M ( X Y ) – математические ожидания этих величин,

σ( X ) , σ (Y ) – средние квадратические отклонения величин X и Y .

Число k , определяемое формулой

k( X , Y ) = M ( X Y ) − M ( X ) M (Y ) ,

(1)

называется коэффициентом ковариации величин X и Y ,

а число

r( X , Y ) ,

определяемое формулой

r( X , Y ) =

k( X , Y )

= M ( X Y ) − M ( X ) M (Y ) ,

(2)

σ( X ) σ(Y )

σ( X ) σ(Y )