34. Понятие случайного события и вероятности

Основными понятиями в теории вероятностей являются случайное событие и вероятность.

Случайное событие – это такое событие, которое может произойти или не произойти при осуществлении определённой совокупности условий. Каждое осуществление совокупности условий, которые могут вызвать совершение случайного события, называют испытанием (опытом).

Несколько событий образуют полную группу, если в результате каждого испытания обязательно должно произойти одно из них.

События называют совместимыми (совместными), если они могут произойти одновременно.

Несколько событий называются попарно несовместимыми, если никакие два из них не могут произойти одновременно.

Противоположными называются два несовместимых события, образующих полную группу. Событие, противоположное событию А, обозначается(т. е. «неА»).

Несколько событий называются равновозможными, если по условиям симметрии есть основания считать, что ни одно из этих событий не является более возможным, чем другое.

Если полная группа состоит из N равновозможных попарно несовместимых случайных событий, то каждому из событий приписывают вероятность, равную 1/N.

Классическое определение вероятности формулируется в следующем виде: Если результаты испытания можно представить в виде полной группы N равновозможных попарно несовместимых событий, и если некоторое событие А появляется в M случаях, то вероятность события А равна

P(A)=M/N.

Вероятность достоверного события A (т. е. события, которое в результате любого испытания должно произойти обязательно) равна 1: P(A)=1. Можно сказать, что вероятность достоверного события A принимается за единицу измерения вероятности. Если P(A)=0 , то событие наверняка не произойдет.

Следовательно, если все события выборочного пространства объединены в одно событие, обозначенное S, с помощью операции ИЛИ, то его появление становится достоверным, т. е. P(S) = 1.

Таким образом, из классического определения, следует, что вероятность любого случайного события всегда заключена между 0 и 1:

О ≤Р(А) ≤ 1.

35. Теоремы сложения вероятностей

Суммой нескольких случайных событий называется событие, состоящее в совершении хотя бы одного из этих событий. Для обозначения суммы случайных событий чаще всего используют обозначение (А+В), а также (А или В) и (АÈВ).

Тогда суммаслучайных несовместимых событий может быть определена как:Р(А+В) = Р(А)+Р(В).

Сумма случайных совместимых событий А и В определяется формулой Р(А+В) = Р(А) + Р(B) – Р(АВ).

Из теоремы сложения вытекают два следствия.

Следствие 1: Если несовместимые события образуют полную группу, то суммавероятностей этих событий равна единице:

Р(А+В+C+…) = Р(А)+Р(В)+P(C)+… = 1.

Следствие 2: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: Р(А)+Р() = 1.

Таким образом, мы получаем возможностьиспользовать три эквивалентные формы для вычисления вероятностей:

Возможность использования эквивалентных выражений предоставляет большие удобствапри анализе деревьев отказов.

36. Теорема умножения вероятностей

Произведением нескольких случайных событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Помимо обозначения (А*В) или просто (АВ), используют обозначения (А и В) и (АÇВ).

При рассмотрении вопроса об умножении вероятностей необходимо принимать во внимание являются ли рассматриваемые события независимыми или зависимыми.

Событие А называется независимым от события В, если вероятность события не меняется от того, произошло ли событие В, или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло ли событие В, или нет.

Для анализа таких событий используется понятиеусловной вероятности.

Условной вероятностью события А называется вероятность, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, и обозначается Р(А/В).

По определению события А и В независимы, если появление события А не влияет на В и появление события В не влияет на появление события А. Математически это выражается следующим образом

Р(А/В) = Р(А),

Р(В/А) = Р(В).

Теоремаумножения вероятностей формулируется следующим образом:

Вероятность произведения двух событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие произошло:

P(АВ) = P(B/A) P(A). 

и P(АВ) = P(A/В) P(B). 

Теорема умножения вероятностей может быть обобщена для любого числа событий.