4. Теория укрупненной скважины Ван-Эвердингена и Херста для расчета внедрения воды в газовую залежь (случаи постоянного дебита и постоянной депрессии).

При иссл-и проявления ВНР ГЗ часто аппроксимируется укрупненной скв-ной. На теории укрупненной скв-ны основаны методики прогнозирования показателей разр-и при водонапорном режиме. В уравнении материального баланса для ВНР при изв-й динамике отбора г неизвестными явл-ся Р_пл.

(t)/z()=1/[_н-Q_в(t)][P_н/z_н_н-Р_атТ_плQ_доб^ст(t)/Т_ст] (1)

где Q_в(t) – объем добытой скв-й воды.

 необходимо располагать динамикой внедрения пластовой воды, чтобы опр-ть динамику падения Р. В 1949 г. Ван-Эвердинген и Херст разработали теорию укрупненной скв-ны. Они решили уравнение пьезопроводности для радиального пласта о притоке воды к скв-е конечного радиуса.

²Р/r²+1/rP/r=1/P/t (2)

где  - коэф-нт пьезопроводности;

=kK/(m_в)

где К – объемный модуль упругости

Размером укрупненной скв-ы по сравнению с пластом пренебречь нельзя.

Р(r,t=0)=P_н=const – начальные условия(3). Граничные условия

Внешние границы: а) P(R_к,t)=P_н – открытая система (4); б) (Р/r)_r=Rк=0 – замкнутый водоносный пласт (5).

Внутренние границы (контур): а) P(R_к,t)- P(R_з,t)= P= const (6);

б) (rР/r)_r=Rз= const (7)

q_в=2R_зkh(P/r)_r=Rз/_в =const

(rР/r)_r=Rз=_в q_в/2kh= const^*

Интегрирования уравнения 2 при 3,5,6, дает решение

Q_в(t)=2khR_з²P(fo) /(_в) (8)

где fo – пар-р Фурье (время Фурье, безразмерное время); fo=t/R_з²; (fo) – безразмерная функция пар-ра Фурье при R_к:

где I₀, Y₀ – функция Бесселя 1-го и 2-го рода, 0-го порядка.

Р_н-Р(R_з,t)=_вQ_в(fo) /(2kh) (9)

где (fo) - безразмерная функция пар-ра Фурье при R_к:

(fo)=

где I₁, Y₁ – функция Бесселя 1-го и 2-го рода, 1-го порядка.

F=R_з²R_з=(F/)^0,5

5.Соотношение контурного и средневзвешенного пластового давления в газовой залежи круговой формы (вывод).

Найдем среднее давление в области установившейся радиальной фильтрации газа: 2Пrdrhm-элементарный поровый объем кольцевого элемента высотой h.

П(R_к²-r²_c)mh- поровый объем пласта.

=(P_c/P_k;R_k/r_c) Для многих практических случаев 0,9<Е<1 (Е=0,97).

=Р_к- формула Лапука. Расчеты показывают, что при расстоянии м/у скв-нами от 600 м до 4400 м и Рзаб до 0,1 Рпл (в условиях стационарной фил-и) среднее Р в удельном объеме дренирования отличается от контурного на 0,5%. При расстоянии м/у скв-нами до 1000 м и при почти свободном дебите г-й скв-ны среднее Р отличается от контурного не более чем на 3%. Это объясняется значительной крутизной депрессионной воронки при притоке г к скв-не. Это позволило в уравнении притока к скв-не неизвестное контурное давление Pк (пластовое P в районе данной скв-ны) в момент t заменить средним Р в удельном объеме дренирования, а при равномерном размещении скв-н - приближенно средним Р в залежи.

6.Конечно-разностный аналог дифференциального уравнения неустановившейся одномерной фильтрации жидкости с единичными коэффициентами (вывод).

Рассмотрим однородный пласт, в к-м происходит одномерная фильтрация несжимаемой жидкости. Для этого случая ур-е нестац. Фильтрации имеет вид: 2Р/х2=(1/)Р/t +q (1)

=kK/(m) где К – объемный модуль упругости

Введем безразмерные величины:

=х/L;=P/Pн;=t/L2; (2)

x=L;Р=Pн; t=L2/; (3)

Подставим (3) в (1):

2Р/х2=((Pн)/x)=(Pн/L2)* 2/ 2 (4)

Р/t=(Pн/L2)/ (5)

(Рн/L2)2/2=(Рн/L2)/+ Рнf/L2; f=qL2/Pн; q=Pнf/L2. (6)

2/2=/+f (7).

В дальнейшем знак «» уберем, но будем иметь ввиду, что это те же безразмерные величины.

2Р/х2=Р/+f (7')

Разложение в ряд Тейлора:

Р(х)=Р(а)+Р'(а)(х-а)+Р''(а)(х-а)2/2!+…(8)

Мы рассматриваем точку i, в которой давление известно Рi. Нас интересует Рi+1 или Рi-1

Рi+1=Pi+Pi'x+Pi''(x)2/2!+Pi'''(x)3/3!+… (9)

Рi-1=Pi-Pi'x+Pi''(x)2/2!-Pi'''(x)3/3!+… (10). Из (9) найдем первую производную:

Рi'=(Рi+1-Рi)/x-Pi''x/2!+Pi'''(x)2/3!-… (11)

Рi'=(Рi+1-Рi)/x-0(x) (12)

где 0(x) – остаточный член первого порядка малости относительно x. Из (10)-аналогично:

Рi'=(Рi-Рi-1)/x+0(x) (13)

Складывая (12) и (13): Рi'=(Рi+1-Рi-1)/(2x)+0(x)2 (14) где 0(x)2 - остаточный член второго порядка малости относительно x.

Сложим (9) и(10):

Рi+1+ Рi-1=2Рi+2 Pi''(x)2/2!+4 PiIV(x)4/4!+… (15)

Рi''=(Рi-1-2Рi+Рi+1)/(x)2+0(x)2 (16)

По времени введем шаг t= τ. k – номер временного узла.

P/ Рk'= (Pk-Pk-1)/+0(); = (17) Явная и неявная конечно-разностная схема.

Р(к-1)-распределение Р на момент времени (к-1).

Внутренних узлов всего (n-1) и 2 граничных узла 0 и n. Производная в выражении (16) может быть записана для (к-1) временного слоя:

(Рi-1,k-1-2Pi,k-1+Pi+1,k-1)/(x)2=(Pi,k-Pi,k-1) /  + fi,k (18) – конечно-разностное уравнение.

Известны: Рi-1,k-1; Рi,k-1; Рi+1,k-1. fi,k – плотность стока (источника) задана.

(18) соответствует явной конечно-разностной схеме, поскольку каждое уравнение содержит одно неизвестное давление Pi,k. Если записать (18) для k-го временного слоя:

(Рi-1,k-2Pi,k+Pi+1,k)/(x)2=(Pi,k-Pi,k-1)/+fi,k (19) - соответствует неявной конечно-разностной схеме, в к-й (n-1)+2=n+1 уравнений с n+1 неизвестных Р. В каждом уравнении (19) содержится 3 неизвестных.

Для решения ур-й типа (19) составляется система уравнений из n+1 ур-й с n+1 неизвестными. Решается такая система на каждом временном уровне методом Гаусса или методом прогонки. Применение явной схемы возможно при (х)2/2 – усл-е обеспечивающее сходимость. Неявная схема не требует таких ограничений.