3. Использование принципа суперпозиции в расчетах внедрения краевой воды в газовую залежь круговой формы.

Имеется залежь радиусом R_з, заданы Q_доб^ст(t), _н, k, k_в – фазовая проницаемость воды в газонасыщ-й области, h, m, _в, Р_н, Т_пл, z(P,T_пл).

Требуется рассчитать q_в(t), Q_в(t), (t), R(t).

²Р/r² +( Р/r)/r =1/Р/t - линейное уравнение.

Воспользуемся принципом суперпозиции для решения линейного уравнения

Q_в(t_n)=(1)

Предположим, что на укрупненной скважине наложены n одинаковых скважин, работающие с своим дебитом q_вj, но разные промежутки времени. Т.о. мы можем использовать принцип наложения скважин, у каждой которой постоянный дебит, но разные по значению. Т.е. в пространстве мы имеем несколько скважин, но совмещенных вместе

P_н-Р(R_з,t)=P_j; j=1,n (2)

P_н-Р(R_з,t)=P_н-(_в/(2kh))[q_вj(fo_n-fo_j-1)]; j =1,n (3)

fo_n-fo_j-1=χ(t_n-t_j-1)/R²_З

t_j-1= t_j=(j-1) t (4)

Принимаем при t₀=0 =>q_в0=0 (5)

Выделим из (3) последние слагаемое:

P_н-Р(R_з,t_n)=P_н-(_в/(2kh))[q_вj(fo_n-fo_j-1)]-q_вn_в (t_n)(fo_n-fo_n-1)) /(2kh) (6)

q_вj=q_вj-1+q_вj

Теперь предположим, что все показатели процесса поступления воды ч/з стенку укрупненной скважины нам известны на момент времени t_n-1.

Требуется определить показатели на момент времени t_n-?

Q_в(t_n)=Q_в(t_n-1)+[q_в(n-1)+q_вn]t (7)

Запишем уравнение материального баланса для ВНР с учетом (7)

(8)

Ур. (6) описывает потери давления в области м/у контуром водонапорной системы и контуром начальной газоносности.

(t)=P[R(t)] (9) – пологаем, если пласт горизонтальный. Если пласт не горизонтальный, т.е. с уклоном, то следует учитывать противодавление создаваемое поднимающейся в плате водой. При расчете потерь давления м/у контуром укрупненной скв и текущим контуром газоносности по шагам времени t можно воспользоваться МПССС. Для этого воспользуемся формулой Дюпюи.

Р(R_з,t)-[(t)+_вgy(t)]= (_в/(2k_вh))

ln[R_з/R(t)][q_вn-1+q_вn] (10)

Контур укруп.скв. не изменен во времени, контур газоносности изменяется. Приравниваем (6) и (10) уравнения и подставляем ур.(8), получим

Исключая Р из (12) с учетом (9) и (5) получим:

Р_н-(_в/(2kh))([q_вj(fo_n-fo_j-1)] -q_вn(fo_n-fo_n-1))=

+

+_вgy(t)+(_в/(2kh))ln(R_з/R(t_n))[q_вn-1+q_вn] (11)

(11) квадратное отн-но q_вn

q_в(t_n)=b/(2a)-[(b²/(4a²)-c/a]^0.5 (12)

а=_вt(fo_n-fo_n-1) /(2kh)+(_вt/

(2k_Вh))ln[R_з/R(t_n)])

b=Р_нt-(tq_в(t_n-1)_в/(2k_Bh))

ln[R_з/R(t_n)]+L_в(fo_n-fo_n-1)

/(2kh)-

-(t_в/(2kh))[q_вj(fo_n-fo_j-1)]+

+(L_в/(2k_Bh))ln[R_з/R(t_n)]- _вgy(t) t

c=Р_нL-(L_в/(2kh))[q_вj(fo_n-fo_j-1)]-(Lq_в_в/(2k_Bh))ln[R_з/R(t_n)]-d-_вgy(t_n)L

L=_н-Q_в(t_n-1)-q_вn-1t

d=(Р_н_н/z_н-Р_атТ_плQ_доб^ст(t_n)/Т_ст)

В (12) входят параметры на момент времени t_n: R(t_n), y(t_n), z(t_n). Поэтому решение производят методом последовательных итераций. В 1-м приближении:

R⁽¹⁾(t_n)=R(t_n-1); y⁽¹⁾(t_n)=y(t_n-1);

z⁽¹⁾(t_n)=z(t_n-1)

Далее вычисляют коэф-ты а, b, с, но предварительно d и L и находят ⁽¹⁾(t). Поэтому давлению находят z⁽¹⁾(⁽¹⁾) – промежуточное значение.

Чтобы уточнить R(t_n), используют соотношение

Q_B(t_n)=π[R²_з-R²(t_n)]mh(-α_ост) (13)

Из (13)определяют R⁽¹⁾(t_n).

Чтобы уточнить у⁽¹⁾(t_n) надо с помощью структурной карты и карты емкостного параметра (αmh) устанавливают зависимость у=f(Ω)

y_max=H-этаж газонос-и

Итерации ведутся до сходимости Р. Рез-ты расчетов сравнивают по давлениям:Р⁽²⁾(t_n)-Р⁽¹⁾(t_n)