19. Экспонента и натуральный логарифм

Среди показательных функций выберем такую, график которой пересекает ось под углом (рис. 19.1). Основание такой функции обозначают

буквой и пишут

или .

Эту функцию и её график называют экспонентой.

Равенства

равносильны. Логарифм , имеющий основание , принято обозначать и называть

натуральным логарифмом.

Итак,

поэтому Рис. 19.1

Переставив буквы и вы получаете обратную функцию

График логарифмической функции с основанием показан на рис. 19.1. Отметим, что .

Возьмём наши равносильные равенства

Подставив первое равенство во второе, будете иметь

А если подставить второе равенство в первое, вы получите

Следовательно,

,	,
здесь любое.	здесь

(19.2)

20. Вторая замечательная эквивалентность

Второй замечательной эквивалентностью называется следующее выражение

(20.1)

Докажем его.

♥ На рис. 20.1 вы видите, что вблизи точки

обе линии и сливаются, совпадают,

поэтому где бесконечно малая

переменная. Получилась формула (20.1). ■

Эта формула позволяет раскрывать

неопределённости вида

З а д а ч а 1. Найдите Рис. 20.1

□

■

Итак, получилось

Давайте сделаем в этой формуле замену

Тогда и при будет теперь формула запишется так

Эта формула называется вторым замечательным пределом.

З а д а ч а 2. Найдите

□ ■

З а д а ч а 3. Найдите

□

■

Из (20.1) получаются полезные формулы

♥ отсюда получилась первая формула;

получилась вторая формула. ■

21. Сводка формул для раскрытия неопределённостей

Соберём вместе формулы, применяемые для раскрытия неопределённостей.

1.
2.
3.
4.
5.
6. или
7.
8.
9.

22. Непрерывная функция

На рис. 22.1 график непрерывен, его можно нарисовать, не отрывая ручки от бу -маги. Когда график функции непрерывен, то и саму функцию будем называть непрерывной.

Но как выяснить, непрерывна ли функция,

не рисуя её график?

Пусть имеется функция Если вы дадите переменной приращение то зависящая от неё функция тоже получит приращение

На рис. 22.1 вы видите, что при уменьшении будет уменьшаться т. е. при будет . Поэтому можно ввести следующее определение: Рис. 22.1

Если при получается во всех точках внутри какого-либо интервала оси

то функция называется непрерывной в этом интервале.

Иначе говоря, функция непрерывна, если при бесконечно малых получаются бесконечно малые .

Бесконечно малое приращение переменной принято обозначать .

Можно доказать, что

каждая простейшая функция непрерывна в своей области определения. (22.1)