45. Понятие функции двух переменных

Большинство величин, с которыми приходится иметь дело в практической дея -тельности, зависит не от одной переменной величины, а от двух или большего

числа переменных.

Например, объём пара в котле зависит от давления поршня на пар и от температуры пара.

Переменная величина, зависимая от двух других переменных, называется функцией от этих переменных.

Можно сказать и так: если изменение двух величин влечёт изменение третьей величины, то эта третья величина называется функцией от первых двух.

Переменные, от которых зависит функция, называются аргументами функции.

Все допустимые значения аргументов называются областью допустимых зна - чений аргументов (ОДЗА) или областью определения функции (ООФ).

Произвольную функцию зависимую от и обозначают или или

На плоскости пара переменных величин изображается переменной точкой (рис. 45.1), поэтому вместо можно писать и говорить, что есть функция точки

Рис. 45.1 Рис. 45.2

Задача 1. Найдите и изобразите ОДЗА функции

□ Должно быть отсюда круг радиуса с центром в начале координат (рис. 45.2). ■

46. Изображение функции двух переменных

В пространстве нарисуем какую-нибудь поверхность (рис. 44 1).

Рис. 46.1 Рис. 46.2

Если точку вы будете перемещать по плоскости то величина будет изменяться. Значит, зависит от переменных . Иными словами, поверхность изображает функцию : изменение величин приводит к изменению координаты . И наоборот, если дана функция , то она будет изображаться в виде поверхности. Итак, графиком функции является поверхность в пространстве (рис. 46 1).

З а д а ч а 1. Начертите график функции

□ Сразу отметим, что После возведения в квадрат получим или уравнение сферы, но поэтому остаётся верхняя половина сферы (рис 46.2). ■

47. Частные производные и дифференциал функции

Зафиксируем Тогда станет функцией одной переменной и эту функцию можно дифференцировать по .

Частной производной функции по переменной называется производная от этой функции, полученная при постоянном

Аналогично определяется частная производная по переменной

Частную производную по принято обозначать следующим образом:

З а д а ч а 1. Найдите частные производные функции

□

■

Величина определяемая по формуле называется дифференциалом функции .

З а д а ч а 2. Найдите дифференциал функции

□ Так как

то ■

Отметим, что

или, более точно,

где

48. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Если дана сложная функция , у которой

то её частные производные можно найти по формулам

З а д а ч а 1. Найдите частные производные функции где

□ Имеем

отсюда ■

49. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ

Если функция задана в неявном виде ,

то её частные производные можно найти по формулам

З а д а ч а 1. Найдите и если

□ Здесь ,

поэтому ,

,

,

отсюда ■

50. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Найденные частные производные и можно вновь дифференцировать по и и мы получим 4 частных производных 2-го порядка:

, , , .

Их обозначают ещё и так:

Функции , называют смешанными производными. Оказывается, что смешанные производные равны между собой:

З а д а ч а 1. Найдите частные производные 2-го порядка функции

□ Находим частные производные первого порядка

из них находим частные производные 2-го порядка

. ■