51. Экстремум функции двух переменных

Дана функция .

Если при приближении к точке
значение функции растёт,	значение функции убывает,
то называется точкой максимума.	то называется точкой минимума.

(См. рис. 51.1).

Если частные производные в точке

равны нулю:

(51.1)

то называется стационарной точкой. Рис. 51.1

Докажем следующее утверждение:

Если - дифференцируемая функция и точка экстремума,

то - стационарная точка.

♥ Дано: точка экстремума для функции .

Подставим в значение получим функцию от переменной . Её производная при должна равняться нулю, потому что

точка экстремума:

Если же в подставить значение то такие же рассуждения приведут к равенству

Условия (51.1) выполняются, поэтому - стационарная точка. ■

Обратное утверждение не всегда верно: не всякая стационарная точка есть точка экстремума. В каком же случае стационарная точка будет точкой экстремума?

Если - стационарная точка и
то - точка экстремума, причём
если то - точка минимума.	если то - точка максимума.

З а д а ч а 1. Найдите точки экстремума функции в области

□ Находим частные производные первого порядка:

Составляем систему вида (51.1): и из неё получаем

Итак, - стационарная точка. Теперь находим частные производные 2-го порядка:

Подставим координаты точки :

Тогда

поэтому - точка экстремума, а именно, точка минимума, потому что ■

Содержание

1. Базовые понятия……………………………………………………………………………1

2. Изображение чисел……………………………………………………………………… 2

3. Понятие функции……………………………………………………………………………3

4. Изображение функции……………………………………………………………………..5

5. Прямо пропорциональная зависимость и обратно пропорциональная зависимость…………………………………………………………………………………….5

6. Сложная функция…………………………………………………………………………...6

7. Неявная функция……………………………………………………………………………7

8. Обратная функция………………………………………………………………………….8

9. Функция, заданная параметрическими уравнениями………………………………...8

10. Простейшие функции. Элементарные функции……………………………………..9

11. Линейная функция. Уравнения прямой линии……………………………………...10

12. Квадратичная функция………………………………………………………………….13

13. Предел функции………………………………………………………………………….14

14. Бесконечно малые и бесконечно большие переменные………………………….15

15. Основные правила обращения с пределами……………………………………….17

16. Раскрытие неопределённостей………………………………………………………..19

17. Эквивалентные переменные…………………………………………………………..21

18. Первая замечательная эквивалентность……………………………………………22

19. Экспонента и натуральный логарифм………………………………………………..23

20. Вторая замечательная эквивалентность…………………………………………….24

21. Сводка формул для раскрытия неопределённостей………………………………25

22. Непрерывная функция………………………………………………………………….26

23. Свойства непрерывных функций……………………………………………………..27

24. Метод половинного деления…………………………………………………………..27

25. Гиперболические функции……………………………………………………………..28

26. Понятие производной…………………………………………………………………...29

27. Непрерывность дифференцируемой функции……………………………………..30

29. Производные простейших функций…………………………………………………..33

30. Таблица формул дифференцирования……………………………………………...37

31. Механический смысл производной…………………………………………………...39

32. Дифференциал…………………………………………………………………………..39

33. Геометрический смысл производной…………………………………………………40

34. Применение дифференциала в приближённых вычислениях…………………..41

35. Производная от функции, заданной параметрически……………………………..42

36. Производные высших порядков……………………………………………………….42

37. Дифференциалы высших порядков…………………………………………………..43

38. Механический смысл второй производной………………………………………….44

39. Правило Лопиталя……………………………………………………………………….45

40. Возрастание и убывание функции. Максимум и минимум………………………..46

41. Наименьшее и наибольшее значения функции…………………………………….48

42. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба…………………………………………….49

43. Асимптоты…………………………………………………………………………………50

44. Общий план исследования функции и построения её графика…………………51

45. Понятие функции двух переменных………………………………………………….54

46. Изображение функции двух переменных……………………………………………55

47. Частные производные и дифференциал функции…………………………………55

48. Частные производные сложной функции……………………………………………56

49. Частные производные неявной функции…………………………………………….57

50. Частные производные высших порядков……………………………………………58

51. Экстремум функции двух переменных……………………………………………….58

1 Считать (здесь): определять количество кого или чего-нибудь; вычислять чего-нибудь.

2 Декартов: по имени основателя системы координат Рене Декарта (1596-1650), французского математика, философа.

3 Сложная (здесь): состоящая, образованная из нескольких частей.

62