43. Асимптоты

Асимптота – это прямая, к которой приближается график при неограничен - ном удалении от начала координат (рис. 43.1).

Рис. 43.1 Рис. 43.2

График функции может иметь как вертикальные, так и невертикальные

асимптоты (рис. 43.2).

Прямая является вертикальной асимптотой, если хотя бы один из двух пре – делов равен Обычно вертикальная асимптота имеется в точках оси не входящих в ОДЗ, и на границе ОДЗ.

Вертикальных асимптот может быть сколь угодно. Количество невертикальных асимптот может быть только не больше 2: одна при вторая при

О том, как ищется невертикальная асимптота, говорится в следующем утверждении:

Если имеется функция и найдено, что - числа,

то прямая является невертикальной асимптотой графика функции

З а д а ч а 1. Найдите асимптоты графика функции

□ а) Сначала найдём вертикальные асимптоты. Наша функция не существует, когда знаменатель Проверим, является ли вертикаль асимптотой, для чего найдём предел:

Следовательно, прямая - вертикальная асимптота.

б) Ищем невертикальные асимптоты :

Следовательно, прямая - невертикальная асимптота. ■

44. ОБЩИЙ ПЛАН ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ

И ПОСТРОЕНИЯ ЕЁ ГРАФИКА

План исследования функции и построения её графика заключается в выполнении следующих шагов:

1. Находим возможные вертикальные асимптоты и ОДЗА.

2. Определяем чётность, нечётность, периодичность.

3. Находим точки пересечения с осями координат.

4. Находим асимптоты вертикальные и невертикальные.

5. Находим производную, интервалы возрастания, убывания и точки экстремума.

6. Находим вторую производную, интервалы выпуклости, вогнутости и точки пере -гиба.

7. При необходимости находим дополнительные точки графика.

З а д а ч а 1. Проведите полное исследование функции и постройте её график.

□ 1. Из «запрещённого» условия получаем - уравнение возможной вертикальной асимптоты. Нарисуем её на плоскости (рис. 44.1). Итак,

2. Функция не периодична, потому что не содержит тригонометрических функций.

Проверим её чётность:

следовательно, относительно системы координат график не симметричен.

3. а) Ищем вертикальные асимптоты. Для этого найдём односторонние пределы функции в «запрещённой» точке .

Находим правый предел:

Значит, прямая есть вертикальная асимптота: при происходит .

На рис 44.2 этот процесс показан куском графика.

Находим левый предел:

Таким образом, при происходит .

На рис 44.2 этот процесс показан куском графика.

б) Ищем невертикальные асимптоты .

Рассмотрим первый случай, когда :

Рис. 44.1

.

Вывод: при невертикальной асимптоты не существует (т. к. не число).

Рассмотрим второй случай, когда :

,

Следовательно, .

Итак, при имеем невертикальную асимптоту Это – ось (рис. 44.3).

Рис. 44.2 Рис. 44.3

4. При получаем , поэтому - точка пересечения с осью (рис. 44.4).

При получаем отсюда

Это уравнение не имеет решений, поэтому с осью график не пересекается.

5. Находим производную

Приравниваем числитель и знаменатель к нулю и получаем значения Рисуем ось наносим на неё точки и определяем знак функции в трёх интервалах (рис. 44.5). Этот знак указывает, где функция растёт и где убывает. Рис. 44.4

При переходе через точку непрерывности

функция меняет знак с – на +, поэтому есть точка минимума. Минимальное значение функции равно

В точке рисуем «ямку» (рис.

44.6). Рис. 44.5

6. Находим вторую производную

Приравниваем числитель и знаменатель к нулю и получаем значение Рисуем ось , наносим точку и определяем знак

функции в двух интервалах (рис. 44.7). Этот знак показывает, где функция выпукла и где вогнута. График на рис. 44.6 согласуется с этими результатами.

Исследование функции и построение её графика на этом завершается.

Рис. 44.6 Рис. 44.7