1.4.2 Основные задачи, решаемые способом замены плоскостей проекций

Применение способа замены плоскостей проекций для решения различных задач (позиционных и метрических) основывается на четырёх основных задач.

Задача 1. Сделать прямую l(l₁,l₂) общего положения прямой уровня в новой системе плоскостей проекций.

Зададим на чертеже прямуюl общего положения отрезком АВ(А₁В₁, А₂В₂) в соответствии с рисунком 1.4.6.

Рисунок 1.4.6 – Решение первой и второй основных задач

способом замены плоскостей проекций

Используя возможность свободного выбора положения оси проекций, т.е. базы отсчёта, проведём эту ось через точку А_2. Тогда высота точки А равна нулю. Чтобы прямая l стала линией уровня относительно новой плоскости проекций, плоскость П₄ должна быть параллельна l. Перейдём от системы (П₁, П₂) к системе (П₁, П₄). Новую ось х₁₄ надо провести параллельно l₁. Для построения новой проекции прямой l проведём новые линии связи, перпендикулярные оси х₁₄, и отметим на них проекции точек А и В: А₄ на оси х₁₄, поскольку h^А=0, и В₄ на высоте h^В=В₁₄В₄=В₁₂В₂. Соединив найденные точки, получим новую проекцию прямой l: l₄(А₄В₄).

Таким образом, прямая l(l₁,l₄) в новой системе плоскостей проекций (П₁, П₄) является линией уровня, поэтому отрезок А₄В₄ равен натуральному отрезку АВ, а угол , образованный проекцией А₄В₄ с осью х₁₄ равен натуральной величине угла наклона прямой l(АВ) к горизонтальной плоскости проекций П₁.

Задача 2. Сделать прямую l общего положения в новой системе плоскостей проекций проецирующей прямой в соответствии с рисунком 1.4.6.

Для преобразования прямой l в проецирующую прямую надо сначала решить первую задачу, рассмотренную выше, затем заменить ещё одну плоскость проекций, перейдя от системы (П₁, П₄) к системе (П₄, П₅).

Новую плоскость проекций П₅ выбираем перпендикулярно к плоскости проекций П₄ и одновременно перпендикулярно к прямой АВ (это возможно, поскольку АВ||П₄), добиваясь этим, что прямая АВ становится проецирующей

линией (АВП₅).

На чертеже новую ось проекций надо провести перпендикулярно к А₄В₄ (х₄₅А₄В₄). Следовательно, линии связи А₄А₅ и В₄В₅ будут в данном случае совпадать с прямой А₄В₄. Откладывая на линии связи от новой оси х₄₅ отрезок v^l, равный глубине точек прямой l относительно плоскости П₄, получим проекцию заданной прямой на плоскость П₅ в виде точки l₅А₅В₅.

Задача 3. Сделать плоскость  общего положения проецирующей плоскостью в новой системе плоскостей проекций в соответствии с рисунком 1.4.7.

Зададим на чертеже плоскость общего положения  треугольником АВС(А₁В₁С₁, А₂В₂С₂). Чтобы сделать плоскость  проецирующей, надо заменить плоскость П₂ новой плоскостью П₄, выбрав её перпендикулярной к .

Для этого проведём в плоскости  горизонталь h(h₁, h₂) и новую плоскость проекций П₄ выберем перпендикулярной к этой горизонтали, а, значит, перпендикулярной и к незаменяемой плоскости проекций П₁. Тогда горизонталь h, а вместе с ней и данная плоскость , станут проецирующими относительно плоскости П₄.

На комплексном чертеже проводим новую ось х₁₄ перпендикулярно к горизонтальной проекции горизонтали: х₁₄h₁. Для удобства старую ось выбираем проходящей через самую низкую точку С₂ (при этом х₁₂С₁С₂). Строим на соответствующих новых линиях связи новые проекции точек А₄, В₄, С₄, которые располагаются на одной прямой – новой проекции плоскости (₄)

Итак, плоскость (АВС) стала проецирующей. Угол , образованный проекцией плоскости А₄В₄С₄ с осью х₁₄ равен натуральной величине угла наклона плоскости  к горизонтальной плоскости проекций П₁.

Задача 4. Сделать плоскость  общего положения плоскостью уровня в новой системе плоскостей проекций в соответствии с рисунком 1.4.7.

Для преобразования плоскости  в плоскость уровня надо сначала решить третью задачу, рассмотренную выше. Затем надо перейти от системы плоскостей проекций (П₁, П₄) к новой системе (П₄, П₅), т.е. заменить плоскость П₁ новой плоскостью П₅, параллельной плоскости . Для этого на чертеже нужно провести новую ось х₄₅, параллельную ₄ или совпадающую с ней. Выберем второй вариант. На линиях связи А₄А₅ и С₄С₅ (эти линии перпендикулярны х₄₅) откладываем отрезки А₄А₅=А₁₄А₁ и С₄С₅=С₁₄С₁; точка В₅ совпадает с В₄. Соединив точки, получаем новую проекцию А₅В₅С₅ плоскости АВС.

Рисунок 1.4.7 – Решение третьей и четвёртой основных задач

способом замены плоскостей проекций

Итак, плоскость АВС(А₄В₄С₄,, А₅В₅С₅) стала плоскостью уровня относительно плоскости П₅, а проекция А₅В₅С₅ равна натуральной величине треугольника АВС.