1.3.4.4 Поверхности вращения второго порядка

При вращении кривой второго порядка вокруг её оси образуется поверхность вращения второго порядка.

Рассматриваются следующие типы поверхностей второго порядка:

а) сфера, которая образуется вращением окружности вокруг собственной оси в соответствии с рисунком 1.3.41;

б) параболоид вращения, образуемый вращением параболы вокруг собственной оси в соответствии с рисунком 1.3.42;

в) эллипсоид вращения, который образуется вращением эллипса вокруг собственной оси. Принимая за ось вращения малую либо большую ось эллипса, получаем соответственно сжатый или вытянутый эллипсоиды вращения в соответствии с рисунком 1.3.43;

г) однополостный гиперболоид вращения, который образуется вращением гиперболы вокруг её мнимой оси в соответствии с рисунком 1.3.44, а;

д) двухполостный гиперболоид вращения, образуемый вращением гиперболы вокруг её действительной оси в соответствии с рисунком 1.3.44, б;

е) конус вращения, образуемый вращением прямой линии вокруг неподвижной оси, при этом образующая во всех своих положениях пересекает ось в некоторой точке, называемой вершиной конуса (рисунок 1.3.45);

ж) цилиндр вращения, образуемый вращением прямой линии вокруг неподвижной оси и расположенной параллельно этой оси (рисунок 1.3.45).

Положение точки на поверхности вращения второго порядка определяют при помощи параллели или (в случае конуса и цилиндра) прямолинейной образующей, проходящих через эту точку, в соответствии с рисунками 1.3.41, 1.3.42, 1.3.43, 1.3.44, 1.3.45.

В технических деталях часто встречается поверхность вращения, называемаятором. Эта поверхность получается при вращении окружности вокруг оси, расположенной в плоскости этой окружности, но не проходящей через её центр в соответствии с рисунком 1.3.46.

Рисунок 1.3.41 – Сфера Рисунок 1.3.42 – Параболоид вращения

Рисунок 1.3.43 – Эллипсоид вращения

В зависимости от соотношения величин радиуса образующей окружности r и расстояния от центра окружности до оси R, возможны три разновидности поверхности:

1) rR – окружность не пересекает ось – открытый тор (кольцо) в соответствии

с рисунком 1.3.46;

2) r=R – окружность касается оси – закрытый тор в соответствии с рисунком 1.3.47, а;

3) rR – окружность пересекает ось – закрытый тор в соответствии с рисунком 1.3.47, б.

Произвольная прямая пересекает тор в четырёх точках и, следовательно, это поверхность четвёртого порядка.

Рисунок 1.3.44 – Однополостный и двуполостный гиперболоиды вращения

Рисунок 1.3.45 – Конус вращения и цилиндр вращения

Рисунок 1.3.46 – Открытый тор

Рисунок 1.3.47 – Закрытый тор

1.3.4.5 Пересечение поверхности с плоскостью

Это есть позиционная задача на определение для данных геометрических объектов их общего элемента, которым является кривая линия.

Для её построения используются вспомогательные плоскости-посредники частного положения, одновременно пересекающие данные поверхность и плоскость.

Построение линии b пересечения фронтально проецирующей плоскости  с поверхностью закрытого тора выполнено в соответствии с рисунком 1.3.48. Для этого введён ряд вспомогательных горизонтальных плоскостей –посредников Г(Г₂), Г(Г₂), Г(Г₂) и т.д. Плоскость Г(Г₂) пересекает поверхность закрытого тора по окружностям l(l₁,l₂), а плоскость  она пересекает по фронтально проецирующей прямой (3-3). Проекции этой прямой на чертеже обозначены следующим образом: горизонтальная – (3₁-3₁) и фронтальная – (3₂3₂). Точки 3 и 3 в силу проецирующего положения плоскости  являются одновременно и точками линии b как линии пересечения плоскости  с данной поверхностью закрытого тора. Все другие точки линии b определяются аналогично точкам 3 и 3 при помощи плоскостей-посредников Г, Г и т.д. Проекции линии b на чертеже обозначены следующим образом: фронтальная – b₂₂ и горизонтальная – b₁, представляющая собой плавную кривую, соединяющую точки 3, 3 и т.д. Следует заметить, что при построении линии b в первую очередь надо отметить точки 1 и 2 как опорные. Положение этих точек при данном расположении на чертеже поверхности закрытого тора и плоскости  определяется наличием общей плоскости симметрии (₁), которая является плоскостью главного меридиана поверхности закрытого тора. Действительно, плоскостью симметрии плоскости (₂) будет вообще любая плоскость, к ней перпендикулярная, а плоскостью симметрии поверхности будет всякая плоскость, проходящая через её ось. Общая плоскость симметрии должна удовлетворять обоим указанным условиям и очевидно, что такой плоскостью будет (₁). В силу этого линия b тоже симметрична относительно плоскости , а её горизонтальная проекция симметрична относительно следа плоскости ₁. Точки 1 и 2 лежат на главном меридиане поверхности. Отметив их фронтальные проекции 1₂ и 2₂, найдём горизонтальные проекции этих точек (1₁ и 2₁) на горизонтальной проекции главного меридиана.

Построение линии пересечения гранной поверхности с плоскостью выполнено в соответствии с рисунком 1.3.49.

Сечение многогранника может быть ограничено только отрезками прямых. Число сторон такого многогранника равно числу граней многогранника, пересекаемых плоскостью. Вершинами многоугольника сечения являются точки пересечения рёбер многогранника с секущей плоскостью. Следовательно, число вершин многоугольника равно числу рёбер многогранника, пересекаемых плоскостью.

Рисунок 1.3.48 – Пересечение плоскости с поверхностью закрытого тора

Рисунок 1.3.49 – Пересечение гранной поверхности с плоскостью

Следует заметить, что вершинами многоугольника сечения являются точки пересечения секущей плоскости с рёбрами многогранника в собственном смысле. Это значит, что точки пересечения секущей плоскости с продолжением рёбер не могут являться вершинами многоугольника сечения как не принадлежащие поверхности многогранника, но могут быть использованы для удобства построения.

Аналогично, сторонами многоугольника сечения могут являться только те отрезки прямых, которые принадлежат граням в собственном смысле.

В данном примере пирамида пересекается с фронтально проецирующей плоскостью (₁). Решение получается простым, поскольку фронтальная проекция сечения вырождается в отрезок прямой линии, совпадающей с фронтальным следом плоскости . Горизонтальной проекцией сечения является пятиугольник с вершинами 1₁, 2₁, 4₁, 5₁, 3₁.