книги2 / 441

Академик Петр Павлович Маслов (1867-1946 гг.)

революционный кружок и участвовал в выпуске журнала «Бродяга» ( [10]).

Таким образом, не смотря на то, что семья была зажиточной, юный Петр Маслов интересовался идеей социальной справедливости.

Поступив в Казанский университет (1887), П.П. Маслов продолжает заниматься революционной деятельностью и посещает марксистский кружок Н.Е. Федосеева. Надо сказать, что в это же время

вуниверситете обучался В.И. Ленин. Не исключено, что именно тогда произошли их первые встречи при участии в сходке студентов 4 декабря 1887, требовавших отмены реакционного университетского устава ([11], стр. 11), после которой уже 5 декабря Ленин с 1-го курса покинул университет, а Маслов был также исключен с 1-го курса и выслан из Казани.

В1889 году П.П. Маслов поступил на 2-й курс Харьковского ветеринарного института, но по доносу за «Казанское дело» был арестован и провел три года в заключении. В 1892 году был отправлен

вссылку на родину, откуда наладил связь с Лениным, обмениваясь с ним письмами, рецензиями на книги и статьи. Затем приезжает в Самару, где в 1893-1894 г. работал в «Самарской газете». Но уже в 1894 году выехал в Вену, где изучал политическую экономию в Венском университете. В 1896 году вернулся в Россию, редактировал легальную марксистскую газету «Самарский вестник» (1896-1897), затем переехал в Петербург, где сотрудничал с журналами «Научное обозрение», «Жизнь», «Начало». Был делегатом 2-го съезда РСДРП (1903) (Брюссель-Лондон). После съезда примкнул к меньшевикам, написал программу муниципализации земли, поддержанную ими. Как говорит Виктор Павлович: «Всего там было

31

четыре программы-Ленина, Шмидта, Ларина и Маслова. Все они по очереди голосовались. Ленин, когда его собственная программа провалилась, был сначала за программу Шмидта, потом за программу Ларина, а победила программа Маслова. После чего их отношения сильно обострились». Есть даже статья Ленина «Петр Маслов в истерике».

В1906-1907 гг. П.П. Маслов работал в петербургских журналах,

атакже преподавал в качестве доцента в Петербургском сельскохозяйственном институте. В 1908 г. он был вынужден эмигрировать за границу, где в том же году издал 2-й том своего труда «Аграрный вопрос в России». В 1910-1914 гг. Петр Павлович Маслов опубликовал ряд монографий и брошюр по теории развития народного хозяйства в России и Западной Европе на немецком, русском и французском языках (в частности, книгу «Теория развития народного хозяйства»). В 1913 г. вернувшись в Россию, работал сначала в Петербурге, а затем с 1914 г. в Москве. В 1914-1915 гг. он выпустил две книги «Капитализм, наемный труд и заработная плата» и «Курс истории народного хозяйства». В 1916-1917 гг. П.П. Маслов редактировал в Москве журналы «Экономическое обозрение» и «Дело».

В1918 г. Петр Павлович Маслов читал лекции по истории народного хозяйства в Омском сельскохозяйственном институте. В 19191920 гг. он занимал кафедру политэкономии в Иркутском государственном университете. С 1920 г. П.П. Маслов - профессор физикоматематического факультета, затем декан гуманитарного факультета Государственного института народного образования (ГИНО) в Чите. Он вел курсы «Наука о народном хозяйстве» и «Теория кооперации». В 1923 г. после реорганизации и перевода ГИНО во Владивосток, Маслов вернулся в Москву. В политической жизни Петр Павлович Маслов не участвовал, вел научную работу, занимаясь проблемами политэкономии социализма. В 1923-1925 гг. П.П. Маслов являлся профессором 1-го МГУ. В 1925-1929 гг. он был председателем теоретической секции Экономического института.

С 1929 г. П.П. Маслов действительный член АН СССР.

Заканчивая эту заметку, хочу напомнить слова, приписываемые А.Эйнштейну: «Если я и видел дальше всех, то только потому, что стоял на плечах гигантов». Как важно, чтобы эту истину знали, понимали и разделяли лидеры нашего общества. Но, разумеется, для этого они должны хотя бы знать об этих гигантах, одному из которых и посвящается эта публикация.

32

Литература

1.Маслов В.П. Математическое моделирование аварийного блока Чернобыльской АЭС / Маслов В.П., Мясников В.П., Данилов В.Г.

//М.: Наука, 1987, 143 с.

2.Маслов В.П. Асимптотические методы решения псевдодифференциальных уравнений / Маслов В.П. // М.: наука, 1987, 408 с.

3.Маслов В.П. Операторные методы / Маслов В.П. // М.: Наука, 1973, 543 с.

4.Маслов В.П. Квантовая экономика / Маслов В.П. // М.: Наука 2006, 92 с.

5.Маслов В.П. Эксперты и экспертизы Новый мир / Маслов В.П.

//1991, №1, — с. — 243-252

6.Маслов В.П. Квазистабильная экономика и ее связь с термодинамикой сверхтекучей жидкости. Дефолт как фазовый переход нулевого рода I. ОП и Пм / Маслов В.П. // М.:2005, Т.12, — вып. 1, — с. timeHour3Minute403-40

7.Маслов В.П. «Ошибка Нобеля» интервью газете <Московский комсомолец»

8.БСЭ статья Маслов П.П.

9.Титов В.Т., Маслов В.П., Фоменко А.Т., Костин В.А., Овчинников В.И., Сапронов Ю.И., Семенов Е.М. Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна - 2008 Вестник РФФИ, №2(58) апрель-май 2008

10.БЭС, МАТЕМАТИКА, М: 2000, 847с

ОСУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

ДЛЯ ОДНОГО НЕЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛЬНО – ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЧЕТНОГО

ПОРЯДКА Г.Э. Абдурагимов (Махачкала, ДГУ)

gusen_e@mail.ru

В последнее время вышло немало работ, посвященных вопросам существования и единственности положительных решений краевых задач для дифференциальных уравнений четного порядка, поскольку оно естественным образом возникают во многих различных областях прикладной математики и физики (см. [1-3]). Однако, несмотря

© Г.Э. Абдурагимов, 2024

33

на достаточно бурное развитие теории дифференциальных уравнений, следует отметить, что статей в которых рассматривались бы вопросы существования и единственности положительного решения краевой задачи для нелинейных функционально - дифференциальных уравнений четного порядка немного.

В данной публикации в некоторой мере предпринята попытка устранить этот пробел. С помощью известной теоремы Го - Красносельского о неподвижной точке положительного оператора получены достаточные условия существования хотя бы одного положительного решения краевой задачи для одного нелинейного функционально – дифференциального уравнения порядка. Далее доказывается единственность такого решения.

Рассматривается краевая задача

где n N, T : C → Lp (1 < p < ∞) – линейный непрерывный оператор, функция f(t, u) неотрицательна, удовлетворяет условию Каратеодори и f(·, 0) ≡ 0.

Теорема. Пусть p ̸= q и при п.в. t [0, 1] и u 0 a(t)up/q f(t, u) bup/q,

где b > 0, a(t) Lq – неотрицательная и не равная тождественно нулю функция.

Кроме того, допустим

Z 1

p

a(s) (T γ) q (s) ds > 0,

0

где γ(s) = sn(1−s)n .

[(n−1)!]2

Тогда существует единственное положительное решение краевой задачи (1)–(3).

Литература

1. Zhang S.Q. A Class Nonlinear Boundary Value Problem for Thirdorder Differential Equation with Singular Perturbation / S.Q. Zhang // Journal of Sanming University. — 2010. — Vol. 27. — P. 106–108.

34

2.Liu Y. Two-point Boundary Value Problems for n-Order Nonlinear Differential Equation / Y. Liu // Journal of Shenyang Institute of Aeronautical Engineering. — 2007. — Vol. 24. — P. 95–96.

3.He J.H. Positive Solutions of BVPs for a System of Even-Order ODEs / J.H. He, L. Hu, L.L. Wang // Journal of Anhui University Natural Science Edition. — 2007. — Vol. 31. — P. 1–4.

РАЗДЕЛЯЮЩЕЕ МНОЖЕСТВО ПСЕВДОЕВКЛИДОВА АНАЛОГА

ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ СИСТЕМЫ ЖУКОВСКОГО1 Е.С. Агуреева (Москва, МГУ)

Agureevamath@yandex.ru

В работе [1] А.В. Борисов и И.С. Мамаев рассмотрели следующее преобразование координат J1, J2, J3, x1, x2, x3 пространства C6

В результате замены многие известные классические вещественные интегрируемые системы переходят в соответствующие псевдоевклидовы аналоги, также интегрируемые и вещественные. Их интегралами являются функции Казимира полученной скобки:

f1 = x21 + x22 − x23 = a, f2 = x1J1 + x2J2 − x3J3 = b,

При описанном выше преобразовании энергия и дополнительный интеграл переходят в функции H, K. Отметим, что вид K совпадает с таковым для псевдоевклидова аналога волчка Эйлера:

K = J12 + J22 − J32 = k.

Образ множества критических точек функции H на квадриках K = k составляет параметрическую кривую k(t), h(t):

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ (проект № 22-71-00111)

вМГУ имени М.В.Ломоносова. Автор является стипендиатом Фонда «БАЗИС» © Агуреева Е.С., 2024

35

В работе [2] автора и В.А.Кибкало изучался осесимметричный случай этой системы, т.е. A1 = A2 ̸= A3. Применялся топологический подход к изучению топологии слоения фазового пространства системы, развитый в работах А.Т.Фоменко и его научной школы [3]. Построены бифуркационные диаграммы, описано критическое множество системы, проверена невырожденность его точек, в осесимметричном случае найдены типичные бифуркации в изоэнергетических поверхностях при фиксированных неособых парах (a, b) значений функций Казимира f1 и f2. В частности, были получены некомпактные некритические бифуркации.

Кривая (k(t), h(t)) имеет две непрерывные ветви на t S1, раз-

деленные значениями t = − 1 и t = − 1 , точку возврата и касается

A1 A3

каждой из осей по одному разу.

Информация о расположении точек важна для описания набора инвариантов слоения Лиувилля на изоэнергетичечких и изоинтегральных поверхностях, образами которых при отображении момента будут прямые H = h и K = k.

квадрант на области, точкам которых соответствуют системы с фиксированным порядком особых точек на кривой и знаками h, k в точках касания Oh и Ok соответственно:

α = 1, β = 1, β = α2, β = α1 .

Случаю α = 1 соответствует совпадение всех моментов инерции A1 = A2 = A3. Смена знака абсциссы и ординаты точки возврата происходит на кривых β = α2, β = α1 соответственно. Абсцисса точки касания бифуркационной кривой с осью Ok меняет знак на прямой

β = 1.

Помимо кривой (k(t), h(t)), в бифуркационную диаграмму систе-

мы могут входить прямые k = 0 и k = ba2 . Вычислив значения k(t) интеграла в точках возврата и касания осей Oh и Ok и сравнив эти числа друг с другом, узнаем как при фиксированных (a, b) ̸= (0, 0)

прямая k = ba2 может располагаться относительно особых точек, а значит, получим ответ об устройстве изоэнергетических поверхностей.

об устройстве набора слоений Лиувилля на изоэнергетических поверхностях Вычислив значения k(t) интеграла в точках возврата и

36

Разделяющее множество на пространстве параметров α, β для осесисметричной псевдоевклидовой системы Жуковского.

касания осей Oh и Ok и сравнив эти числа друг с другом, узнаем как при (a, b) ̸= (0, 0) кривая k = ba2 может располагаться относительно особых точек, а значит, получим ответ об устройстве изоэнергетических поверхностей.

Литература

1.Borisov A.V. Rigid body dynamics in non-Euclidean spaces / A.V. Borisov, I. S. Mamaev // Rus. J. of Math. Phys. — 2016. — Vol. 23,

№4. — P. 431–454.

2.Агуреева Е.С. Топологический анализ осесимметричной системы Жуковского в случае алгебры Ли e(2, 1) / Е.С. Агуреева, В.А. Кибкало // Вестник МГУ. Сер. : Математика. Механика — 2023. — в печати.

3.Болсинов А.В. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия. Топология. Классификация / А.В. Болсинов, А.Т. Фоменко. — Ижевск : Издательский дом «Удмуртский университет». — 1999.

К ТЕОРЕМЕ МОРДЕЛЛА Р.С. Адамова (Воронеж, ВГУ) adamova_rs@mail.ru

© Адамова Р.С., 2024

37

Теорема Морделла о структуре группы точек рациональной эллиптической кривой обычно формулируется для любой такой кривой, хотя Морделлом она доказана для кривых с уравнением вида y2 = x3 +px+q, при этом в доказательстве существенно используется вид уравнения. В то же время не всякая рациональная эллиптическая кривая может быть описана уравнением такого вида, например, кривая y2 − yx2 + 2x = 0.

В работе построено бирациональное соответствие между кривой, не обладающей уравнением формы Вейерштрасса y2 = x3 + px + q и кривой, имеющей такое уравнение, которое устанавливает изоморфизм их групп точек. Тем самым убеждаемся, что теорема Морделла справедлива для всех эллиптических кривых над полем рациональных чисел.

Теорема. Уравнение рациональной эллиптической кривой, не имеющей точки перегиба, преобразованием координат можно привести к виду

Теорема. Для всякой рациональной эллиптической кривой, не имеющей точки перегиба, существует бирациональное соответствие с кривой, обладающей уравнением y2 = x3 + px + q, порождающее изоморфизм групп точек этих кривых.

Доказательство. Располагая уравнение (1) по степеням переменной x, получаем описание кривой в виде

p

x =

−(a0y + a2) ± (a0y + a2)2 − 4(a1 − y)(y2 + a3)

2(a1 − y)

и x = a0a1 + a2 , если (a1 − y) = 0.

По виду квадратного корня составим уравнение

Оно описывает эллиптическую кривую.

Связь между кривыми (1) и (2) осуществляется формулами

x = −(a0u + a2) + v , y = u; u = y, v = 2x(a1 − y) + (a0y + a2).

2(a1 − u)

Они устанавливают бирациональное соответствие между этими кривыми.

38

Пусть при сложении точек A и B кривой (1) прямая, их соединяющая, содержит третью точку C этой кривой и при указанном соответствии переходит в параболу с уравнением v = lu2 + mu + n. Эта парабола проходит через точки A , B и C кривой (2), которые соответствуют точкам A, B и C.

Вычисления показывают, что A +B = ±(A+B) . Когда B — нулевая точка, то в этом соотношении справедлив знак +. При непрерывном изменении точки B вдоль кривой знак может измениться только тогда, когда вторая координата точки A + B равна 0.

Если при дальнейшем движении точки B от нулевой точки знак в этом соотношении изменился на −, то дальше он должен измениться на знак +, т.к. эта кривая гомеоморфна окружности или паре непересекающихся окружностей. Но другой точки, где бы знак мог измениться, на ветви, содержащей нулевую точку, нет.

Если кривая (2), рассматриваемая над полем R состоит из двух компонент связности, то вторая компонента пересекает ось Ou в двух точках, и знак в соотношении может меняться при положении A + B в этих двух точках. Можно показать, что и в этом случае построенное соответствие является гомеоморфизмом групп точек кривых (1) и (2).

Литература

1. Прасолов В.В. Эллиптические функции и алгебраические уравнения / В.В. Прасолов, С.П. Соловьёв. — М.: Изд-во Факториал, 1997. — 288 с.

СУЩЕСТВОВАНИЕ, ЕДИНСТВЕННОСТЬ И ПОВЫШЕННАЯ СУММИРУЕМОСТЬ ГРАДИЕНТА

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ЗАРЕМБЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ

ПУАССОНА СО СНОСОМ1

Ю.А. Алхутов, Г.А. Чечкин (Владимир, ВлГУ, Москва, МГУ) yurij-alkhutov@yandex.ru, chechkin@mech.math.msu.su

В ограниченной строго липшицевой области D Rn, n 2, введем соболевское пространство функций W21(D, F ), где F ∂D — замкнутое множество, как пополнение бесконечно дифференцируемых в замыкании D функций, равных нулю в окрестности F , по

1 Первая часть работы выполнена первым автором в рамках государственного задания ВлГУ (проект FZUN-2023-0004), а результаты второго автора во второй части работы поддержаны грантом РНФ (проект № 20-11-20272).

© Алхутов Ю.А., Чечкин Г.А., 2024

39

норме

Полагая G = ∂D \ F , рассмотрим задачу Зарембы

а l является линейным функционалом в пространстве, сопряженном

к W21(D, F ).

Под решением задачи (1) понимается функция u W21(D, F ), для которой выполнено интегральное тождество

ZZ

u · φ dx − (b · u)φ dx = −l(φ)

DD

для всех пробных функций φ W21(D, F ).

Используя теорему Рисса о представлении функционала в гильбертовых пространствах, нетрудно показать, что функционал l можно записать в виде

где fi L2(D). Поэтому в силу интегрального тождества для каждого конкретного функционала решение задачи (1) можно понимать в смысле интегрального соотношения

Z Z Z

u · φ dx − (b · u)φ dx = f · φ dx

D D D

для всех пробных функций φ W21(D, F ), в котором компоненты вектор-функции f = (f1, . . . , fn) являются функциями из L2(D).

Ключевую роль в работе играет условие на структуру множества носителя данных Дирихле F . Для формулировки результата

40