книги2 / 441

мил. руб. Этот портфель планируется динамически обновлять 1 раз в неделю. Т.е. формально можно считать, что купленный портфель держится ровно одну неделю, затем продается и покупается новый портфель. При этом портфель должен показывать доходность большую, чем портфель, собранный по биржевому индексу. Будем рассматривать эту задачу как многокритериальную задачу принятия решений при нечеткой информации.

Для прогноза на предстоящую неделю будем использовать информацию за предыдущие 3 месяца. Таким образом для каждой последующей недели используемый набор данных будет постепенно обновляться. Поскольку нас интересует поведение акций на период длиной в одну неделю, то мы случайным образом выбираем некоторое количество, например, 20 торговых недель. И вычисляем для них относительное изменение цены акции за эти недели. На основе этих данных для каждой акции строится 2 треугольных числа, как верхняя и нижняя аппроксимации.

Верхняя и нижняя аппроксимация

Далее применется метод EDAS в двухкритериальной задаче с нечеткими треугольными критериями. Примеры оптимальных пакетов акций, сформированные в результате использования метода приведены на рисунках 2-3.

Оптимальный портфель при дефазификации методом Адамо

Отметим, что за рассматриваемую в примере торговую неделю, индекс ММВБ упал на 5,03 %. Собранные с использованием предла-

131

Оптимальный портфель при дефазификации методом Ухоботова-Стабулит

гаемого метода портфели упали меньше, так, при дефаззификации методом Адамо на 3,72 % а методом Ухоботова-Стабулит на 3,28 %, т.е. построенные портфели ведут себя лучше, чем портфель, построенный на основе индекса ММВБ.

Литература

1.Chakraborty S. et al. Applications of WASPAS method as a multi-criteria decision-making tool / Chakraborty S. // Economic Computation and Economic Cybernetics Studies and Research. — 2015. — Vol. 49, No. 1. — P. 1–17.

2.Dadelo S. et al. Algorithm of maximizing the set of common solutions for several MCDM problems and it’s application for security personnel scheduling / Dadelo S. // International Journal of Computers Communications and Control. — 2015. — Vol. 9, No. 2. — P. 151–159.

3.Elsayed A. et al. Fuzzy linear physical programming for multiple criteria decision-making under uncertainty International / Elsayed A.

//Journal of Computers Communications and Control. — 2015. — Vol. 11 — No. 1. — P. 26–38.

4.Подиновский В.В. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. / Подиновский В.В., Ногин В.Д. // М.: Физматлит, 2007.

5.Ghorabaee. et al. «Multi-Criteria Inventory Classification Using a New Method of Evaluation Based on Distance from Average Solution (EDAS).» / Ghorabaee, Mehdi Keshavarz // Informatica 26 — (2015) — P. 435–451.

6.Zadeh L.A. Fuzzy sets / Zadeh L.A // Information and Control. — 1965. — Vol. 8, No. 3. — P. 338–353.

7.Zimmermann H.J. Fuzzy set theory and its applications. / Zimmermann H.J. // N.Y.: Springer — 2011.

132

8.Ukhobotov V.I. On decision making under fuzzy information about an uncontrolled factor / Ukhobotov V.I., Stabulit I.S., Kudryavtsev K.N.

//Procedia Computer Science. — 2019. — Vol. 150. — P. 524–531.

9.Ухоботов В.И. Сравнение нечетких чисел треугольного вида / Ухоботов В.И., Стабулит И.С., Кудрявцев К.Н. // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2019. — Т. 29, №. 2. — С. 197–210.

КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЕ КВАЗИЧАСТИЦЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА С НЕЛОКАЛЬНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ И АНТИЭРМИТОВОЙ ЧАСТЬЮ1

А.Е. Кулагин1, А.В. Шаповалов2

(Томск, ТПУ1, ИОА СО РАН1, ТГУ2) aek8@tpu.ru

Метод комплексного ростка Маслова [1] является мощным инструментом построения асимптотических решений уравнений в частных производных с малым параметром перед производными. В работе [2] были впервые построены квазиклассически сосредоточенные решения нелокального нелинейного уравнения Шредингера, основанные на идеях метода комплексного ростка Маслова. В работе [3] с помощью этого подхода была рассмотрена задача построения решений, отвечающих квазичастицам при условии небольшого расстояния между ними. Однако в системах с существенным взаимодействием на больших расстояниях представляет интерес и задача построения таких решений, когда расстояние между квазичастицами не имеет оценки по малому параметру. Фактически это задача построения решений, которые будут локализованы в окрестности не одной траектории в фазовом пространстве, а сразу нескольких, которая и решалась в рамках данной работы. Более того, в этот формализм удалось успешно вписать и антиэрмитову добавку к уравнению Шредингера [4], которая расширяет применения данного подхода на случай открытых систем.

1 Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда

№23-71-01047, https://rscf.ru/project/23-71-01047/.

©Кулагин А.Е., Шаповалов А.В., 2024

133

Рассматривается нелокальное нелинейное уравнение Шредингера с антиэрмитовой частью следующего вида:

операторы с гладкими символами. Формальным малым параметром является .

Функции, удовлетворяющие для любого псевдодифференциаль-

Z

| ˆ| ˆ

Ψ A Ψ (t, ) = Ψ(x, t, )AΨ (x, t, )dx,

Rn

можно трактовать как квазиклассические частицы в открытой системе, описываемой уравнением (1). Число s указывает на номер

квазичастицы, кривая — траектория -ой z = Zs(t) = Ps(t), Xs(t) s

квазичастицы в 2n-мерном фазовом пространстве, σs(t) показывает количество материи («массу»), отнесенной к s-ой квазичастице.

Классические уравнения на решениях уравнения (1) с условием (2), описывающие динамику квазичастиц, т.е. их траекторию и «массу», имеют вид

где J — единичная симплектическая матрицы.

134

В работе построены асимптотические решения задачи Коши для уравнения (1), квазиклассически сосредоточенные в окрестности траекторий z = Zs(t), определяемых системой (3). Для построения асимптотических решений использовался следующий квазиклассический анзатц:

циальным образом и в частном случае κ = 0, Λ = 0 совпадает с классическим действием. Асимптотическое решение уравнения (1) искалось в виде

где функции Ψs задавались (4).

Построение таких асимптотических решений сведено к вспомогательной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, через решения которой выражается квазиклассический нелинейный оператор эволюции уравнения (1).

Литература

1.Maslov V.P. The Complex WKB Method for Nonlinear Equations. I. Linear Theory / V.P. Maslov. — Basel : Birkhauser Verlag, 1994. — 311 p.

2.Belov V.V. The trajectory-coherent approximation and the system of moments for the Hartree type equation / V.V. Belov, A.Yu. Trifonov, A.V. Shapovalov // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. — 2002. — V. 32, №. 6. — P. 325–370.

3.Кулагин А.Е. Квазичастицы, описываемые уравнением Гросса– Питаевского в квазиклассическом приближении / А.Е. Кулагин, А.Ю. Трифонов, А.В. Шаповалов // Известия ВУЗов. Сер. : Физика. — 2015. — Т. 58, № 5. — С. 20–28.

4.Kulagin A.E. Semiclassical approach to the nonlocal nonlinear Schrodinger equation with a non-Hermitian term / A.E. Kulagin, A.V. Shapovalov // arXiv :2308.08286, 2023. — 29 p.

135

УЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФАКТОРОВ В МОДЕЛИ МУЛЬТИПЛИКАТОР-АКСЕЛЬРАТОР1

А.Н. Куликов, Д.А. Куликов, Д.Г. Фролов

(Ярославль, ЯРГУ им. П.Г. Демидова) kulikov_d_a@mail.ru

Одной из самых известных математических моделей следует считать ту, которая носит название «мультипликатор-аксельратор» (см., например, [1,2]). В монографии [1] было отмечено, что учет пространственных факторов вносит существенный вклад при изучении динамики макроэкономических процессов. Для этого была предложена модификация известной математической модели мультипликатор – аксельратор.

Анализ этой математической модели в нелинейной постановке удалось свести к изучению дифференциального уравнения с частными производными

где α, β, σ R, u = u(t, x). Нелинейное слагаемое F (u, ut) может быть выбрано разными способами, но, как правило, в качестве его выбирают следующую функцию [1]

F (u, ut) = −c1u3t − c2u3, c1, c2 R.

Уравнение (1) следует дополнить соответствующими краевыми условиями. Например,

Подчеркнем, что уравнение (1) и краевые условия (2), (3), (4) приведены уже в нормированном варианте.

1 Работа выполнена в рамках реализации программы развития регионального научно-образовательного математического центра (ЯрГУ) при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования РФ. (проект №075-02- 2023-948).

© Куликов А.Н., Куликов Д.А., Фролов Д.Г., 2024

136

Если рассмотреть краевую задачу (КЗ) (1), (2) при таких α, β, что α − β2 = ε (0, ε0), то можно показать следующее. Такая КЗ имеет однопараметрическое семейство t периодических пространственно неоднородных решений, порождающих цикл. Этот цикл – локальный аттрактор для решений КЗ (1), (2).

Если же α = 2ε, ε (0, ε0), а β = 0, то КЗ (1), (2) имеет асимптотически большое число t периодических решений (см. [3]).

Если же дополнительно к последним требованиям выполнено условие σ2 = εω2, то анализ КЗ (1),(2); (1),(3); (1),(4) можно свести к изучению соответствующей КЗ для одной из версий известного в математической физике уравнения Гинзбурга-Ландау.

Литература

1.Puu T. Nonlinear Economic Dynamics. Berlin / T. Puu. — Berlin. : Springer-Verlag, 1989. — 333 p.

2.Zhang W.B. Synergetic economics. Time and change in nonlinear economics / W.B. Zhang. — Berlin. : Springer-Verlag, 1991. — 246 p.

3.Косарева Е.С. Об одной нелинейной краевой задачи, моделирующей экономические циклы / Е.С. Косарева, А.Н. Куликов // Моделир. и анализ информ. систем. — 2003. — Т. 10. — №. 2. — C. 18–21.

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНДЕКСЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ О.В. Кунаковская (Воронеж, ВГУ)

newovk@yandexl.ru

Доклад посвящен топологическому направлению нелинейного анализа.

Вступительная часть доклада предполагается в виде обзора, доступного молодым исследователям. Здесь будет преобладать исторический принцип расположения материала: индексы Пуанкаре, степень Брауэра, теорема Хопфа, степень Лере-Шаудера, индекс Морса, индекс Арнольда и т.д.

Основная часть доклада посвящена развитию теоретических и прикладных направлений в теории топологических индексов. Будет изложена теория краевых индексов векторного поля (1-формы) и теория индексов пары векторных полей на многообразии с краем. Развитие теории идет по пути расширения списка категорий многообразий, в которых возможно построение теории топологических

© Кунаковская О.В., 2024

137

индексов. Здесь же будут очерчены приложения в нелинейном анализе и математической физике.

Литература

1.Кунаковская О.В. Об одном топологическом принципе для собственных векторов нелинейных операторов / Ю.Г. Борисович, О.В. Кунаковская // VIII Всесоюзной школы по теории операторов

вфункц. пространствах: тез. докл. — Рига, 1983. — С. 29-30.

2.Кунаковская О.В. Топологические индексы пары полей. Монография / О.В. Кунаковская. – Воронеж: Издательскополиграфический центр «Научная книга», 2020. – 88 с.

3.Борисович Ю.Г. Нелинейные фредгольмовы отображения и теория Лере-Шаудера / Ю.Г. Борисович, В.Г. Звягин, Ю.И. Сапронов // Успехи матем. наук. — 1977. — Т.32. — N 4. — С.3-54.

4.Кунаковская О.В. Топологические индексы в механике разрушения / О.В. Кунаковская, Д.М. Долгополов // Современные методы теории краевых задач: материалы международной конференции Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтения XXXI» (3-9 мая 2020 г.). — Воронеж, 2020. — С. 120.

5.Кунаковская О.В. Топологические индексы в двумерных моделях сверхтекучести и высокотемпературной сверхпроводимости / О.В. Кунаковская, А.М. Никулин, А.Е. Шаповалова // Некоторые вопросы анализа, алгебры, геометрии и математического образования. Материалы молодежной международной научной конференции «Актуальные направления математического анализа и смежные вопросы»; В.В. Обуховский (глав. ред.). – Вып. 7. – Часть 1. – Воронеж, ИПЦ «Научная книга», 2017. – С. 137-138.

6.Кунаковская О.В. Топологические методы в теории квантовых жидкостей / О.В. Кунаковская, А.М. Никулин // Некоторые вопросы анализа, алгебры, геометрии и математического образования. Материалы молодежной международной научной конференции «Методы современного математического анализа и геометрии и их приложения». Выпуск 5. – Воронеж, ИПЦ «Научная книга», 2016. – С. 170-172.

7.Кунаковская О.В. О вычислении топологических индексов пары полей / О.В. Кунаковская // Современные методы теории краевых задач : материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения ХХIV» .— Воронеж, 2013 .— С. 117-118

.— 0,1 п.л.

8.Кунаковская О.В. Топологические инварианты и их применения в задачах естествознания / О.В. Кунаковская // Современные

138

проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования (ПМТУММ-2011): материалы IV Международной научной конференции (Воронеж, 12-17 сентября 2011 г.). – Воронеж: Изд.- полиграф. центр ВорГУ, 2011. – С. 169-170.

9.Кунаковская О.В. Теория препятствий и индексы краевых особенностей пары непрерывных сечений векторных расслоений (Obstructions Theory and Indices of Boundary Singularities of a Pair of Continuous Sections of Vector Bundles) // Дифференциальные уравнения и топология. Международная конф., посв. 100-летию со дня рождения Л.С. Понтрягина. Тез. докл. Москва, 17-22 июня 2008. С. 471.

10.Кунаковская О.В. Индексы краевых особенностей пары непрерывных векторных полей // Воронежская зимняя матем. школа С.Г. Крейна – 2008. Тез. докл. Воронеж, ВорГУ, 2008. С. 99-100.

11.Кунаковская О.В. Краевые особенности и их индексы в задачах теории сверхтекучих квантовых жидкостей / О.В. Кунаковская

//Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения: материалы международной науч. конф. ТВМНА2005. - Воронеж: Изд-во Воронежского госуниверситета, 2005. - С. 71-72.

12.Кунаковская О.В. Индексы множеств особенностей сечений векторных расслоений со значениями в группе оснащенных бордизмов // Математика. Образование. Экология. Гендерные проблемы. Материалы междунар. конф. Т.1. Воронеж, 22-27 мая 2000. – С. 167168.

13.Кунаковская О.В. Топологические методы анализа нелинейных краевых задач и задач оптимизации / Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Борисович А.Ю., Сапронов Ю.И., Звягин В.Г., Кунаковская О.В. // Информационный бюллетень РФФИ. 1994. Т. 2. № 1. С. 95.

14.Кунаковская О.В. Применение топологических методов для оценки числа продольных упругих волн в кристаллах / Ю.Г. Борисович, Б.М. Даринский, О.В. Кунаковская // Теорет. и матем. физика.

– 1993. – Т. 94, № 1. – С. 146-152.

15.Kunakovskaya O.V. Boundary indices of nonlinear operators and the problem of eigenvectors / Yu.G. Borisovich, O.V. Kunakovskaya // Methods and applications of global analysis: coll. of sc. proceedings / Voronezh: Voronezh University Press. — Voronezh, 1993. P. 39-44.

139

ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОГО ЦЕНТРЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНО ЗАМКНУТОГО ВЫПУКЛОГО МНОЖЕСТВА

В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ А.О. Курбанов (Москва, МГУ) azim4fs@gmail.com

Вработе М.Фригон 1996 года [1] содержится следующая теорема

осуществовании неподвижной точки у нерасширяющего (нерастягивающего) многозначного отображения, связанного с семейством сжимающих отображений.

Теорема (M.Frigon [1]) Пусть E равномерно выпуклое Банахово пространство, U непустое ограниченное выпуклое подмножество в E, F : U E многозначное нерасширяющее отображение с компактными образами. Пусть существует отображение H : U × [0, 1] E с замкнутыми ограниченными образами такое, что:

1)H(·, 1) = F ;

2)H(·, 0) имеет неподвижную точку;

3)Для любого t [0, 1) существует α < 1 такое, что

D(H(x, s), H(y, s)) α||x − y|| для любых x, y U и для s [0, t]; Тогда либо F имеет неподвижную точку в U, либо существует t [0, 1) и x ∂U такие, что x H(x, y).

В 1999 году авторами работы [2] было замечено, что доказательство этой теоремы содержит пробел, так как опирается на недоказанное утверждение о том, что если для точки y E выполнено

равенство lim sup d(xk, y) = r, то y A(C, {xn}).

n→∞ k n

Здесь C – выпуклое замкнутое множество в E, {xn} C — ограниченная последовательность, A(C, {xn}) и r — её асимптотический центр и асимптотический радиус относительно C (см. определения

в[3]).

Вработе [2] также указано, что вопрос о справедливости этого утверждения является открытым. Ответа на него в других работах найти не удалось.

Во время нашей совместной работы с Т.Н.Фоменко, связанной с приведенной теоремой М.Фригон, возник интерес к этому вопросу.

Автором получен частичный ответ на него, который будет изложен в докладе.

© Курбанов А.О., 2024

140