книги2 / 441

НАЧАЛЬНО-КРАЕВАЯ ЗАДАЧА, ОПИСЫВАЮЩАЯ ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОУПРУГОЙ СРЕДЫ С ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ В РЕОЛОГИЧЕСКОМ

СООТНОШЕНИЕ1

А.В. Звягин (Воронеж, ВГУ) zvyagin.a@mail.ru

В ограниченной области Ω Rn, n = 2, 3, на отрезке времени [0, T ], T > 0, рассматривается следующая начально–краевая задача:

v(x, 0) = v0(x), x Ω; v|∂Ω×[0,T ] = 0.

Здесь v – вектор–функция скорости, p – функция давление среды, f – плотность внешних сил, z(τ; t, x) – траектория частицы среды, указывающая в момент времени τ расположение частицы среды, находящейся в момент времени t в точке x, α > 0 – скалярный параметр, µ0 > 0, µ1 0, 0 < β < 1 – некоторые константы. Γ(β) – гамма–

i, j = 1, n,, где ρ : Rn → R – гладкая функция с компактным носителем, такая что RRn ρ(y) dy = 1 и ρ(x) = ρ(y) для x и y с одинаковыми евклидовыми нормами, Div A – дивергенция тензора A, то есть вектор

Начально–краевая задача описывает движение вязкоупругой среды с памятью вдоль траектории движения частиц среды (см. [1]– [5]). Данная модель описывается реологическим соотношением Кель-

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ (проект № 23-71-10026). © Звягин А.В., 2024

101

вина–Фойгта с дробной производной Капуто. В докладе описывается изучаемая задача и доказывается существование слабой разрешимости начально–краевой задачи.

Теорема 1. Пусть f L2(0, T ; V −1) и v0 V 1. Тогда начально– краевая задача имеет хотя бы одно слабое решение

v W := {v : v L∞(0, T ; V 1), v′ L2(0, T ; V −1)}.

Литература

1.Звягин А.В. Исследование разрешимости стационарной модели движения слабых водных растворов полимеров / А.В. Звягин // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. — 2011. — Н. 1. — С. 147–156.

2.Звягин А.В. Слабая разрешимость термовязкоупругой модели Кельвина-Фойгта / А.В. Звягин // Известия ВУЗов. Математика. — 2018. — Н. 3. — С. 91–95.

3.Звягин А.В. О слабой разрешимости и сходимости решений дробной альфа-модели Фойгта движения вязкоупругой среды

/А.В. Звягин // Успехи математических наук. — 2019. — Т. 74, В. 3. — С. 189–190.

4.Звягин А.В. Исследование слабой разрешимости дробной альфа-модели Фойгта / А.В. Звягин // Известия Академии Наук. Серия математическая. — 2021. — Т. 85, В. 1. — С. 66–97.

5.Zvyagin A. Solvability of the non-linearly viscous polymer solutions motion model / A. Zvyagin // Polymers. — 2022. — V. 14, N. 6. — P. 1264.

СУЩЕСТВОВАНИЕ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

ДЛЯ ВЯЗКОУПРУГОЙ СРЕДЫ А.В. Звягин, М.И. Струков (Воронеж, ВГУ)

zvyagin.a@mail.ru, mixail.strukov12@gmail.com

В ограниченной области Ω Rn, n = 2, 3 с достаточно гладкой границей, на временном интервале [0, T ], T > 0 рассматривается задача ([1], [2]):

© Звягин А.В. Струков М.И., 2024

102

−2µ1Div(E(v)Wρ(v) − Wρ(v)E(v))−

среды, p(x, t) — функция давления в точке x в момент времени t,

завихренности. Wρ(v) = RRn ρ(x − y)W (t − y)dy — сглаживание тензора завихренности, где ρ : Rn → Rn – гладкая функция с компактным носителем, такая что RRn ρ(y)dy = 1 и ρ(x) = ρ(y) для всех x и y с одинаковыми евклидовыми нормами.

Определение 1. Пусть f L2(0, T ; V −1), v0 V 1. Слабым решением начально-краевой задачи (1) - (4) называется функция

v W1, W1 = {v : v L∞(0, T, V 1), v′ L2(0, T, V 1)}, удовлетворяющая равенству

103

и начальному условию

v|t=0 = v0.

Основным результатом работы является следующая теорема.

Теорема 1. Пусть f L2(0, T ; V −1) и v0 V 1. Тогда начально краевая задача (1) - (4) имеет хотя бы одно слабое решение v W1.

Литература

1.Zvyagin A.V. Solvability for equations of motion of weak aqueous polymer solutions with objective derivative / A.V. Zvyagin // Nonlinear Analysis. — 2013. — V. 90 — С. 70–85.

2.Звягин А.В. Исследование слабой разрешимости дробной альфа-модели Фойгта / А.В. Звягин // Известия Академии Наук. Серия математическая. — 2021. — Т. 85, № 1 — С. 66–97.

ДИНАМИЧЕСКАЯ АКТИВНОСТЬ ДЕШИФРАТОРОВ

В МОДЕЛИ ДЛИННЫХ КЛЕТОЧНЫХ СХЕМ В.С. Зизов (Москва, МГУ)

vzs815@gmail.com

Канонический базис работы [1] состоит из 3 функциональных элементов и описывает модель и поведение клеточной схемы (КС) из функциональных и коммутационных элементов. Позднее в работе [2] было дано описание КС через вложение схемы из функциональных элементов (СФЭ) в прямоугольную решётку. Описание функционала мощности клеточных схем, определение соответствующей функции Шеннона, её оценки и отвечающие этим оценкам клеточные схемы приведены в работе Г.В. Калачева [3]. В его работе все оценки приведены для расширенного базиса, состоящего из 8 функциональных

n

элементов, и в частности, показана асимптотика W (n) = Θ(2 2 ) и для среднего значения мощности, и для максимальной мощности схемы. Другим функционалом является потенциал схемы, который также описан в данной работе. Показанная в ней схемная реализация для произвольной функции имеет площадь 2n + o(2n), и большую часть занимают элементы типов «блокировка» и «импликация».

Длинные клеточные схемы являются выделенным классом клеточных схем, реализующих системы ФАЛ, входы которых могут повторяться неограниченное число раз и выходы которых расположены на одной или на двух заранее выбранных сторонах. В рамках

© Зизов В.С., 2024

104

Общий вид схемы S, реализующей дешифратор Qn

этих ограничений реализуется математическая абстракция некоторой интегральной схемы, у которой сравнительно небольшая площадь, что достигается путём повторения входных переменных булевых функций и использования нескольких схожих по строению блоков. Минимальная площадь прямоугольной схемы достигается при минимизации высоты, поэтому визуально построенные схемы становятся «длинными», вытянутыми вдоль стороны, содержащей повторяющиеся входы.

Ранее в работе [4] были показаны верхние оценки площади дешифраторов в такой модели, в в работе [5] доказаны нижние оценки площади. В настоящей работе показываются верхние оценки динамической активности длинных клеточных схем при достижении минимальной площади.

Согласно упрощённой модели [6] средняя величина мощности, рассеиваемой на выходах синхронной схемы (комбинационного узла) при постоянном напряжении питания и частоте синхронизации выражается как Pdyn = KEsCL, где Es - переключательная активность схемы, а CL - ёмкостная нагрузка. Значение K определяется при архитектурном проектировании и в отдельных узлах схемы может быть принято за константу. Тогда можно ввести функционал D мощности КС следующим образом.

Мощностью одного функционального элемента будем считать мощность самого ФЭ, принятую за ёмкостную характеристику участка схемы, непосредственно подключенного в выходу ФЭ (характеристику сети). При переключении его состояния с «1» на «0» или обратно, произведение EsCL будет равно сумме ёмкостных характеристик ФЭ и КЭ, принятых за 1 и C соответственно.

Введём функционал D(S, α, β) для КС как сумму мощностей всех ФЭ схемы, выделяющихся при переключении с набора входных зна-

105

Пример схемной реализации блока дешифратора порядка 20 при m = 4.

чений α на β. Тогда для данной модели верно

D(S, α, β) = Σaa==1A(S)D(Fa, α, β)

где за D(Fa, α, β) обозначена мощность одного элемента схемы на данной смене наборов.

Теорема 1. (о верхней оценке) Существует КС Σ с повторяющимися входами, имеющая оптимальную по порядку площадь и динамическую активность

D(Σ) 2n−2 log2(n) + O(2n)

Доказательство. Динамическая активность при прочих построениях может быть оценена как полная активность двух блоков, один из которых при смене набора отключается, а другой включается. Оценка активности одного блока есть активность всей разводки n−m адресных переменных, в сумме с активностью разводки m переменных и активностью малых дешифраторов.

D(S′) = 2(n − m) + m2 + m2m−2 + C = 4n + m2m−2 + O(m2)

Дополнительно следует учесть, что разводка m переменных активностью m2m имеет значение во всех блоках S′. Также сохраняют

106

Пример схемной реализации блока дешифратора порядка 20 при m = 4 с пониженной глубиной.

активность все разводки n − m адресных переменных.

D(S) = 2n (2n + m2m−2) + 2D(S′) = 2n−2 log2(n) + O(2n) n

Тогда для любой схемы S, реализующей такой дешифратор, верно, что

D(S) 2n−2 log2(n) + O(2n), n → ∞

В случае, когда возможно пренебречь площадью схемы, можно дублировать также m входов в каждом блоке схемы. Это снизит глубину до 2m + n + 2m, но увеличит площадь схемы на m2n−m−1. Такой вариант схемы обладает значительно лучшими характеристиками при той же асимптотике площади. При выборе m = log2(n) глубина окажется не больше n + 2log2(n).

Теорема 2. (о верхней оценке) Существует КС Σ с повторяющимися входами, имеющая динамическую активность

D(Σ) 2nC + 8n + O(1 + C)

и площадь A(S) = 2n log2(n) + O(2n)

Доказательство. Активность одного блока равна активности всей разводки n адресных переменных D1 = (4 + C)(n − m) + 4C

107

в сумме с активностью разводки m переменных D2 = (m + 4)2m и активностью малых дешифраторов D3 = 3C.

D(S′) = (4 + C)(n − m) + 4C + (m + 4)2m + 3C =

= 4(n − m) + (n − m + 7)C + m2m + O(2m)

Если принять m достаточно небольшим, m = 4, минимально обеспечивающим функционирование схемы, и дублировать все n переменных во всех блоках, то за счёт увеличения второго члена разложения асимптотики площади возможно уменьшить динамическую активность до

D(S) = 2(4n + (n + 3)C + 4 24 − 16 + O(1)) = (2n + 6)C + 8n + O(1),

то есть достичь линейной динамической активности. Тогда для любой схемы S, реализующей такой дешифратор, верно, что

D(S) 2nC + 8n + O(1 + C), n → ∞

Литература

1.Кравцов С.С. О реализации функций алгебры логики в одном классе схем из функциональных и коммутационных элементов / С.С. Кравцов // Проблемы кибернетики. — 1967. — Т. 19

—С. 285–292.

2.Ложкин С.А. Асимптотически точные оценки для площади мультиплексоров в модели клеточных схем / Ложкин С.А., Зизов В.С. // Дискретная математика. — 2022. — Т. 34, № 4. — С. 52–68.

3.Калачев Г.В. Асимптотически точные оценки для площади мультиплексоров в модели клеточных схем / Калачев Г.В. // Дискретная математика. — 2014. — Т. 26, № 1. — С. 49–74.

4.Зизов В.С. Сложность клеточных дешифраторов с повторяющимися входами / В.С. Зизов // Материалы XIV Международного семинара «Дискретная математика и ее приложения» имени академика О.Б. Лупанова — 2022. — С. 68–71

5.Зизов В.С. Нижние оценки сложности длинных дешифраторов в модели клеточных схем / В.С. Зизов // Proceedings of the 7th International Conference on Nonlinear Analysis and External Problems (NLA-2022) —ISDCT SB RAS Irkutsk: 2022. — С. 155–158

6.Yeap G.P. Practical Low Power Digital VLSI Design / G.P. Yeap // Kluwer Academic Publisher — 1998.

108

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ВОДЯНЫХ ВОЛН НАД НЕРОВНЫМ ДНОМ С УЧЕТОМ ОТРАЖЕНИЯ ОТ ВЕРТИКАЛЬНОЙ

СТЕНКИ1

А.А. Золотухина (Москва, ИПМех РАН) a.zolotukhina19@yandex.ru

Поверхностные волны на воде над неровным дном D(x) описываются уравнением с псевдодифференциальным оператором [1], символ которого равен:

L(x, p) = |p| tanh(|p|D(x)).

В данной работе рассматривается одномерный случай и ставится задача Коши с локализованным начальным условием и краевым условием непротекания (условие Неймана) на жесткой вертикальной стенке. В работе исследуется отражение волны от стенки и влияние дисперсии. Асимптотики задачи строятся в виде канонического оператора Маслова с использованием метода отражений. В окрестности головного фронта асимптотика выражается через функцию Эйри. При использовании равномерных формул из [2] можно выразить через функцию Эйри и всю асимптотику, что при использовании современных программных пакетов значительно удобнее традиционного сшивания решений в регулярных и сингулярных картах.

Литература

1. Dobrokhotov S.Yu. Asymptotic Expansions and the Maslov

/ S.Yu. Dobrokhotov, P.N. Zhevandrov // Russian Journal of Mathematical Physics. — 2003. — Vol. 10, № 1. — P. 1–31.

2. Аникин А.Ю. Равномерная асимптотика в виде функции Эйри для квазиклассических связанных состояний в одномерных и радиально-симметричных задачах / А.Ю. Аникин, С.Ю. Доброхотов, В.Е. Назайкинский, А.В. Цветкова // Теоретическая и математическая физика. — 2019. — Т. 201, № 3. — С. 382–414.

ПОСТРОЕНИЕ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ

1 Работа выполнена по теме государственного задания (№ госрегистрации

123021700044-0).

© Золотухина А.А., 2024

109

ДЛЯ СТАБИЛИЗАЦИИ ПРОГРАММНОГО ДВИЖЕНИЯ СПУТНИКА ПРИ ОТКАЗЕ

В РАДИАЛЬНОЙ ТЯГЕ С.П. Зубова(1), Е.В. Раецкая(2) (Воронеж, ВГУ(1), ВГЛТА(2))

spzubova@mail.ru, raetskaya@inbox.ru

Рассматривается линеаризованная модель движения спутника (ЛА) по экваториальной круговой орбите на высоте 450 км. над поверхностью Земли. Движение спутника в плоскости орбиты во взаимосвязи каналов крена и рыскания описывается системой

k1 = (Jx − Jy)/Jx, a42 = ω0(1 − k2), a43 = −ω0k2, k2 = (Jz − Jx)/Jy

— коэффициенты линеаризации, ω0 = 0, 0011 радиан — орбитальная угловая скорость ЛА на заданной высоте (≈ один оборот за 90 сек.), Jx, Jy, Jz — осевые моменты инерции ЛА, ur и ut— входные сигналы, характеризующие соответственно тягу двигателей в радиальном и тангенциальном направлениях [1,2].

Здесь u = (ur, ut) — программное управление для реализации описанного программного состояния x = (x1, x2, x3, x4).

Решается задача стабилизации программного движения в случае отказа тяги в радиальном направлении: ut = 0.

Для построения стабилизирующего управления urs вводится матрица обратной связи K такая, что urs = Kxs, где xs — стабилизирующее состояние. Тогда x˙s = (A + BK)xs.

Требуется быстрое сближение программного движения и стабилизированного, то есть чтобы xs = xs(t) быстро стремилось к нулю с течением времени t, для чего достаточно, чтобы спектр матрицы A + BK лежал в левой полуплоскости комплексной плоскости.

Требуется построить матрицу K такую, чтобы спектр A + BK удовлетворял заданному требованию.

Поставленная задача решается в случае, когда λ — четырехкратное собственное значение матрицы A + BK, для чего рассматрива-

© Зубова С.П., Раецкая Е.В., 2024

110