книги2 / 441

u = φ. (2)

∂Ω0

Здесь ˜ так называемый мягкий лапласиан; на стратах старшей раз-

∆

мерности d он совпадает с классическим, на стратах σd−1i размерности d − 1 он оказывается суммой нормальных дифференцирований ∂u/∂ν по всем векторам ν, направленным внутрь страт σdj, примыкающих к σd−1i. В стратах остальных размерностей он действует как нулевой оператор.

Как известно, одним из самых изящных методов доказательства разрешимости задачи Дирихле для обычного оператора Лапласа является метод Перрона. Недавно этот метод был распространён на случай задачи Дирихле для мягкого лапласиана на стратифицированном множестве. Доказано, что при условии регулярности границы, задача (1),(2) имеет классическое решение u C(Ω) ∩ C2(Ω0). Решением является верхняя огибающая

u(X) = sup v(X),

функций, принимающих на границе ∂Ω0 значения, не превосходящие предписанных краевым условием.

На данный момент вопрос о построении барьеров в общем случае не решён. Это не удаётся сделать даже в случае, если все страты, составляющие границу, являются плоскими. В докладе мы предложим способ их построения в случае двумерного стратифицированного множества.

ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ПОДБОРА ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ИЗ СЕМЕЙСТВА TSP И ЕГО СВОЙСТВАХ

А.В. Степанов, А.Г. Чуновкина

(Санкт-Петербург, ВНИИМ им. Д.И. Менделеева) stepanov17@yandex.ru

Рассматривается семейство TSP (two-sided power, двусторонних степенных) распределений непрерывной случайной величины [1],

© Степанов А.В., Чуновкина А.Г., 2024

241

имеющих плотность вида

здесь параметрами распределения являются p > 0, x0 R, r1,2 0 (r1 + r2 > 0). Случай p = 1 отвечает равномерному распределению, p = 2 — треугольному, а при p = 3 распределение достаточно близко к усеченному нормальному. Частным случаем (1) является симметричное семейство распределений, которое может быть получено при r1 = r2 = r.

Несмотря на простой вид, данное семейство распределений достаточно широко и разнообразно (авторы [1] демонстрируют это, используя диаграмму соотношения моментов для его сравнения с Бета-распределением). В то же время, оно имеет простое математическое описание, облегчающее генерацию случайных значений и применение метода Монте-Карло (например, для вывода статистических критериев [2]). Указанные свойства позволяют рекомендовать данное распределение для решения разнообразных практических задач, например, для трансформирования неопределенностей измерения методом статистического моделирования [3]. Важным шагом при этом является подбор вероятностной модели (в данном случае — параметров (1)), опираясь на экспериментальные данные.

Вработе [1] предложена процедура получения оценок параметров распределения методом максимального правдоподобия. В случае, когда оценивается более одного параметра (1) (обычно — параметра степени p), получение указанных оценок требует применения численных методов.

Вданной работы в качестве альтернативы рассматривается метод выбора наиболее подходящего распределения из семейства (1) на основе обратного отображения, предложенный в работе [4], а имен-

но: для выборки экспериментальных данных xi из конечного множества S наборов параметров распределений семейства (1) выбирается набор параметров, доставляющий на S минимум функцио-

деления (1) (отвечающая набору параметров s S); обратная к ней

242

Помимо простоты реализации, указанный метод имеет то преимущество, что, наряду с семейством TSP позволяет рассматривать альтернативные законы распределения для выбора наиболее подходящего (например, усеченное нормальное).

Для предложенного метода выбора распределения оценивалась его эффективность методом Монте-Карло. Также проводилось его сравнение с методом максимального правдоподобия (ММП) для случая, когда оценивается только параметр степени p (рассматривался диапазон p 1 и различные значения длины выборки n). Было установлено, что оба алгоритма дают смещенную вправо оценку pˆ, причем смещение для оценки, полученной с помощью ММП, и асимметрия соответствующего распределения выше (но дисперсия распределения оценки несколько ниже). В целом, можно утверждать, что рассматриваемые методы дают сопоставимые оценки параметра p. Проводилась количественная оценка чувствительности метода выбора параметра p для различных n, в качестве тривиальной меры которой рассматривалась вероятность выбора искомого значения p в качестве оценки, при наличии альтернативного (смещенного) значения параметра. Показано, что указанная мера чувствительности, рассматриваемая как функция смещения параметра p, асимметрична (близкие распределения разделяются с более высокой вероятностью, если альтернативное распределение отвечает меньшему значению параметра p).

В общем случае предложены критерии, позволяющие сузить множество S наборов параметров семейства (1), сократив количество альтернатив для выбора. Указанные критерии опираются на выборочные статистики для экспериментальных данных, в частности, выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса.

Также для распределения (1) получены выражения для интервалов охвата (а в симметричном случае — и коэффициента охвата), рассмотрены различные способы их построения (в том числе, кратчайших интервалов охвата).

243

Литература

1.Kotz S. Beyond Beta: Other Continuous Families of Distributions with Bounded Support and Applications / S. Kotz, J.R. Van Dorp — World Scientific Publishing, 2004.

2.Stepanov A.V. On testing of the homogeneity of variances for twosided power distribution family / A.V. Stepanov, A.G. Chunovkina // Accreditation and Quality Assurance. — 2023. — no. 28. — P. 129–137.

3.BIPM, IEC, IFCC, ILAC, ISO, IUPAC, IUPAP and OIML, Supplement 1 to the Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement — Propagation of distributions using a Monte Carlo method, JCGM 101:2008. — 2008.

4.Тырсин А.Н. Метод подбора наилучшего закона распределения непрерывной случайной величины на основе обратного отображения / А.Н. Тырсин // Вестник ЮУрГУ, Серия Математика. Механика. Физика. — 2017. — Т. 9, вып. 1. — С. 31–38.

ОДВУКРАТНОЙ ПОЛНОТЕ И БАЗИСНОСТИ ЖОРДАНОВЫХ ЦЕПОЧЕК КВАДРАТИЧНОГО

ПУЧКА ОПЕРАТОРОВ Сухочева Л.И. (Воронеж, ВГУ) l.suhocheva@yandex.ru

Пусть H — бесконечномерное гильбертово пространство, A, B, C

—непрерывные самосопряженные операторы, действующие в H: A

—вполне непрерывный оператор, B = B1 + B2, где B1 — равномерно положительный оператор, B2 — вполне непрерывный оператор. Рассмотрим квадратичный операторный пучок:

L(λ) = λ2A + λB + C.

Будем предполагать, что спектр оператора −B1−1C имеет не более счетного множества точек сгущения, и существует хотя бы одна точка λ0 C, являющаяся регулярной для пучка L.

Пусть λ(̸= ∞) — собственное значение пучка L (λ σp(L)), (x0, x1, . . . , xp) —- соответствующая ему жорданова цепочка.

© Сухочева Л.И., 2024

244

Будем говорить, что жордановы цепочки пучка L образуют дву-

кратно полную в систему, если в пространстве ˆ будет полна си-

H H

стема векторов вида (1), где λ пробегает все множество σp(L). Если

из векторов этой системы можно выбрать базис в ˆ , то будем го-

H

ворить, что система жордановых цепочек пучка L дважды базисна в H. Заметим, что система жордановых цепочек пучка L двукратно полна и дважды базисна в H только одновременно.

Необходимое и достаточное условие двукратной полноты и дважды базисности системы корневых векторов операторного пучка приведем в терминах невырожденности системы собственных и при-

соединенных векторов линеаризатора Ф : ˆ → ˆ , «отражающего»

H H

спектральные свойства пучка L. Введем обозначения:

1) ˆ тогда и только тогда, когда у соб-

Теорема 1. ζ0(L) = H

ственных векторов пучка L, отвечающих λ ̸= λ0, отсутствуют присоединенные и Ker(Ф−µI) невырожденное подпространство при

µ σp(Ф) (µ = f(λ)).

2)ˆ тогда и только тогда, когда линейная оболочка кор-

ζ(L) = H

невых подпространств N(µ1), N(µ2), . . . , N(µn) оператора Ф невырождена, где µi σp(Ф), µi R, Ker(Ф−µiI) — вырожденное подпространство.

3) Если ˆ (соответственно ˆ ), то в ˆ суще-

ζ0(L) = H ζ(L) = H H

ствует почти ортонормированный базис Рисса [1], составленный

из векторов (соответственно ). Если ˆ , то в ˆ

ζ0(L) ζ(L) ζ0(L) = H H

существует ортонормированный базис, составленный из векторов ζ0(L) тогда и только тогда, когда σp(L) R.

Доказательство теоремы основано на хорошо известном результате Т.Я. Азизова, И.С. Иохвидова о полноте и базисности системы корневых векторов операторов в пространстве Понтрягина [2].

Невырожденность и ортогональность понимаются относительно

некоторой индефинитной метрики, введенной в ˆ .

H

245

Литература

1.Азизов Т.Я. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой. / Азизов Т.Я., Иохвидов И.С. //

—М. : Наука, 1986. — 352 c.

2.Азизов Т.Я., Иохвидов И.С. Критерий полноты и базисности системы корневых векторов вполне непрерывного J-

самосопряженного оператора в пространстве Понтрягина Πк / Азизов Т.Я., Иохвидов И.С. // Мат. Исследования — 1971, — Т. VI, вып. 1(19) — С. 158-162

ДИНАМИКИ И ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ДВУМЕРНОГО

УРАВНЕНИЯ БУССИНЕСКА Тао С. (Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова)

86taosinian@gmail.com

Эволюционная система Буссинеска имеет вид [1]

(

ut = uxx + 2vx,

vt = −vxx + 2uux − 2uy

и является одним из широко известных уравнений математической физики с двумя пространственными переменными. Исключая функцию v из этой системы, мы получим (с точностью до преобразования растяжения) не менее известное уравнению Кадомцева — Петвиашвили.

Обычно для исследования решений исходной эволюционной системы ищут его симметрии и затем пытаются использовать их для того, чтобы найти инвариантные решения. Метод конечномерных динамик полностью противоположен [2,3]. А именно, мы ищем вполне интегрируемое распределение на пространстве джетов, которое имеет исходный эволюционный поток в виде симметрии. Данный метод применяется нами для построения многопараметрических семейств решений системы Буссинеска.

Пусть J1 — пространство 1-джетов гладких функций из R2 в R2 с

каноническими координатами x1, x2, v001 , v002 , v101 , v102 , v011 , v012 . На этом пространстве дифференциальными 1-формами

246

зададим вполне интегрируемое 2-мерное распределение P . Здесь δ, η

— произвольные числа и g(y) — произвольная функция. Этому распределению отвечает система дифференциальных уравнений конечного типа с решениями

v1(x, y) = C1x + C2y + C3, v2(x, y) = 12ηx2 + C4x + δxy + g(y),

где C1, . . . , C4 — произвольные постоянные.

Уравнение Буссинеска порождает поток на пространстве J1, задаваемый векторным полем

Это векторное поле является тасующей симметрией [4] распределения P . Действуя потоком этого векторного поля на функции v1(x, y), v2(x, y), мы найдём семейство точных решений уравнения Буссинеска:

Литература

1. Encyclopedia of integrable systems. A.B. Shabat (editor-in-

chief). — 2008. — http://home.itp.ac.ru/adler/E/e.pdf

2. Kushner A.G. Dynamics of evolutionary differential equations with several spatial variables / A.G. Kushner // Mathematics. — 2023. — Vol. 11, No. 2. — P. 335–346.

247

3.Kushner A.G. Evolutionary systems and flows on solutions spaces of finite type equations / A.G. Kushner, T. Sinian // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2023. — Vol. 44, No. 9. — P. 3945–3951.

4.Kushner A. G. Contact geometry and nonlinear differential equations / A. G. Kushner, V. V. Lychagin, V. N.Rubtsov. // Cambridge: Cambridge University Press. — 2007. — xxii+496 pp.

СТРУКТУРА СУЩЕСТВЕННОГО СПЕКТРА И ДИСКРЕТНЫЙ СПЕКТР ОПЕРАТОРА ЭНЕРГИИ

ЧЕТЫРЕХЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ В ПРИМЕСНОЙ МОДЕЛИ ХАББАРДА В ТРЕХМЕРНОМ РЕШЕТКЕ.

ТРЕТЬЕ ТРИПЛЕТНОЕ СОСТОЯНИЕ. С.М. Ташпулатов, Р.Т. Парманова (Ташкент, ИЯФ)

toshpul@mail.ru, sadullatashpulatov@yandex.com

We consider the four–electron system in the impurity Hubbard model and investigated the structure of essential spectrum and discrete spectra of the system for third triplet state.

Hamiltonian of the considering system has the form [1]

XX

Here A(A0) is the electron energy at a regular (impurity) lattice site; B > 0(B0 > 0) is the transfer integral between electrons (between electron and impurity) in a neighboring sites, τ = ±ej, j = 1, 2, ..., ν, where ej are unit mutually orthogonal vectors, which means that summation is taken over the nearest neighbors, U(U0) is the parameter of the onsite Coulomb interaction of two electrons, correspondingly in the regular (impurity) lattice site; γ is the spin index, γ =↑ or γ =↓, and a+m,γ and am,γ are the respective electron creation and annihilation operators at a site m Zν. The third triplet state corresponds four–electron

bound states (or antibound states) to the basis functions: 3t1p,q,r,k = a+p,↑a+q,↓a+r,↑a+k,↑φ0. The subspace 3Ht1, corresponding to the third triplet

© Ташпулатов С.М., Парманова Р.Т., 2024

248

[2A − 12B + 2z, 2A + 12B + 2z] [A − 6B + 3z, A + 6B + 3z] [2A −

12B + z3, 2A + 12B + z3] [A − 6B + z + z3, A + 6B + z + z3] [2A − 12B + z4, 2A + 12B + z4] [A − 6B + z + z4, A + 6B + z + z4], and

the discrete spectrum of the operator 3Het1 consists of three eigenvalues:

σdisc(3Het1) = {4z, 2z +z3, 2z +z4}, where z = A+ε1, z3 and z4 are some concrete numbers.

2). If ε2 = −B and −6B ε1 < −2B, or if ε2 = −B and 2B < ε1

spectrum of the operator 3Het1 is consists of the union of sixteen segments:

σess(3Het1) = [4A − 24B, 4A + 24B] [3A − 18B + z1, 3A + 18B + z1] [3A−18B +z2, 3A+18B +z2] [2A−12B +2z1, 2A+12B +2z1] [2A− 12B + z1 + z2, 2A + 12B + z1 + z2] [2A − 12B + 2z2, 2A + 12B + 2z2] [2A − 12B + z3, 2A + 12B + z3] [2A − 12B + z4, 2A + 12B + z4] [A − 6B + 3z1, A + 6B + 3z1] [A − 6B + 2z1 + z2, A + 6B + 2z1 + z2] [A − 6B +z1 +2z2, A+6B +z1 +2z2] [A−6B +3z2, A+6B +3z2] [A−6B +

z1 +z3, A+6B +z1 +z3] [A−6B +z1 +z4, A+6B +z1 +z4] [A−6B + z2 + z3, A + 6B + z2 + z3] [A − 6B + z2 + z4, A + 6B + z2 + z4], and the

discrete spectrum of the operator 3Het1 is consists of eleven eigenvalues:

250