книги2 / 441

Строится асимптотика решения (АР) задачи Коши для сингулярно возмущенного дифференциально-операторного уравнения

0 < ε << 1, линейный оператор Lp, действующий по переменной p, имеет однократное нулевое собственное значение λ = 0 , λ ̸= 0 Reλ < 0; начальные условия имеют вид узкой «шапочки»

|ω(k)(¯z, p)| Ce−σ z¯ 2 , σ > 0, k = 0, 1, ... . Настоящая работа является продолжением работ [1] , [2]. Наличие нулевого собственного значения у оператора Lp относит задачу к т. н. критическому случаю

[3].

АР задачи (1)-(2) построено в виде

дачи для определения всех членов разложения (3). При определенных условиях на функции Di(p), Bi(p), главный член АР имеет вид

коэффициенты Mij, Beff,ij и функция Feff (φ) выражаются через данные уравнения (1).

Оценка остаточного члена R в АР (3) проведена по невязке.

Литература

1.Нестеров А.В. Об одном эффекте влияния малой взаимной диффузии на процессы переноса в многофазной среде./ Нестеров А.В. // Журнал выч. матем. и матем физики, — 2021, — Т.61, №3, — C. 519–528.

2.Заборский А.В. Об асимптотике решения задачи Коши для сингулярно возмущенного диференциально-операторного уравнения

181

переноса с малой диффузией. / А.В. Заборский , А.В. Нестеров // Журнал выч. матем. и матем физики, — 2023, — Т.63, №2, — C. 273–281.

3. Васильева А.Б. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях / А.Б. Васильева , В.Ф. Бутузов — М. : Изд-во МГУ, — 1978, — 262 с.

О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ ШВАРЦА В ЭЛЛИПСЕ

ДЛЯ ДВУМЕРНЫХ МАТРИЦ В.Г. Николаев (Великий Новгород, НовГУ)

vg14@inbox.ru

Пусть все собственные числа матрицы J C2×2 лежат выше вещественной оси. Пусть 2-вектор-функция φ = φ(z) C1(D), где область D R2. Рассмотрим в области D следующую однородную эллиптическую систему дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка:

Определение 1. Функция φ = φ(z) как решение системы (1) называется аналитической по Дуглису (A. Douglis), или функцией, J-аналитической с матрицей J.

Рассмотрим для системы (1) следующую граничную задачу Шварца.

Пусть конечная область D R2 ограничена гладким контуром Γ. Требуется найти J-аналитическую с матрицей J в области D функцию φ(z) C(D), которая удовлетворяет граничному условию

где вещественная функция ψ(ξ) C(Γ) известна.

Пусть 2 × 2-матрица J имеет диагональную жорданову форму J1 = diag(λ, µ). Обозначим через x, y собственные векторы матрицы J, соотвествующие ее собственным числам λ, µ. При этом λ ̸= µ. Таким образом, столбцы матрицы Q = (x, y) есть жорданов базис матрицы J. Пусть y — комплексное сопряжение вектора y. Введем в рассмотрение следующий вещественный параметр:

© Николаев В.Г., 2024

182

Параметр l(J) определен корректно, поскольку имеет место

Лемма 1. Число l(J) (3) не зависит от выбора жорданова базиса Q = (x, y) матрицы J.

С учетом сделанных выше определений справедлива следующая

Теорема 1. Пусть матрица J C2×2 имеет разные собственные числа λ, µ, лежащие выше вещественной оси. Пусть число l = l(J) найдено по формуле (3), и пусть l [0, 1].

Тогда для любой граничной функции ψ(ξ) Hσ(Γ), 0 < σ < 1 решение задачи Шварца (2) в произвольном эллипсе K с границей Γ в классах функций φ(z) Hσ(K) существует и единственно с точностью до вектор-постоянной.

Литература

1. Николаев В.Г. О решении задачи Шварца для J-аналитических функций в областях, ограниченных контуром Ляпунова / В.Г. Николаев, А.П. Солдатов // Дифференциальные уравнения. — 2015. — Т. 51, № 7. — С. 965–969.

2. Васильев В.Б. О задаче Шварца для эллиптических

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ УРОВНЕЙ ЭНЕРГИИ КВАНТОВОЙ СВОБОДНОЙ ЧАСТИЦЫ

В ЭЛЛИПТИЧЕСКОМ СЕКТОРЕ1

М.А. Никулин (Москва, МГУ, МЦФиПМ) nikmihale@gmail.com

В последние годы достигнут значительный прогресс в понимании гипотезы Биркгофа об интегрируемых плоских бильярдах (например, см. [1]). С другой стороны, были построены математически строгие доказательства неинтегрируемости некоторых бильярдов, например, эллиптических бильярдов в сильном магнитном поле [2,3]. Неинтегрируемые бильярды, так же как и бильярды в магнитном поле, исследуются в течение долгого времени, см. [4,5]. Изменение формы бильярдного стола от эллипса к, например, стадиону, немедленно приводит к хаотической динамике [6,7].

Хорошо известно свойство интегрируемости классических бильярдов в областях, ограниченных дугами софокусных квадрик. Оно

(проект № 22-11-00272). © Никулин М.А., 2024

183

следует из того, что в дополнение к полной энергии системы, существует другая сохраняющаяся величина: произведение угловых моментов относительно обоих фокусов. В случае круга степень этого дополнительного интеграла может быть понижена, поскольку сохраняется угловой момент относительно центра круга. С другой стороны, в [8] показано, что для бильярда в круговом секторе сохраняющаяся величина является не угловым моментом относительно центра, а его квадратом. Недавние работы А.Т. Фоменко и В.В. Ведюшкиной ([9 —11], а также другие работы этих авторов) вновь привлекли внимание специалистов в этой теме.

В настоящей работе рассмотрено обобщение классической задачи, рассмотренной [12]. А именно, пусть задана область («эллиптический сектор»), ограниченная эллипсом с большой полуосью 0 < r0 и эксцентриситетом ε и дугой софокусной гиперболы (область Aε) или двумя дугами софокусных гипербол (область Bε). Общие для эллипса и гипербол фокусы имеют координаты (±εr0, 0). Для обеих областей мы изучаем решения стационарного уравнения Шрёдингера −2M2 2ψ = Eψ. Мы устанавливаем асимптотику для уровней энергии E(ε) при ε → 0 с точностью до o(ε2), включительно.

Доклад основан на результатах совместной работы Ф.Ю. Попеленского, А.И. Шафаревича и докладчика [13].

Литература

1.Bialy M., Mironov A. E. The Birkhoff-Poritsky conjecture for centrally-symmetric billiard tables / M. Bialy, A. E. Mironov // Annals of Mathematics. — 2022. — Т. 196. — №. 1. — С. 389–413.

2.Bialy, M., Mironov, A.E., Shalom, L. Magnetic billiards: nonintegrability for strong magnetic field; Gutkin type examples. / M. Bialy, A.E. Mironov, L. Shalom // Journal of Geometry and Physics. — 2020. — T. 154, —С. 103716.

3.Bialy M., Mironov A. E. Polynomial non-integrability of magnetic billiards on the sphere and the hyperbolic plane / M. Bialy, A.E. Mironov // Russian Mathematical Surveys. — 2019. — Т. 74. — №. 2. — С. 187.

4.Robnik, M., Berry, M.V. Classical billiards in magnetic fields. / M. Robnik, M.V. Berry // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 1985. — Т. 18. — №. 9. — С. 1361.

5.Berry M. V., Robnik M. Statistics of energy levels without timereversal symmetry: Aharonov–Bohm chaotic billiards / M.V. Berry, M. Robnik // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 1986. — Т. 19. — №. 5. — С. 649.

184

6. Bunimovich L. A. On ergodic properties of certain billiards / L.A. Bunimovich //Functional Analysis and Its Applications. — 1974. — Т. 8. — №. 3. — С. 254–255.

7. St¨ockmann, H.J. Quantum chaos: an introduction. / H.J. St¨ockmann // Cambridge University Press — 1999.

8.G¨ongora-T A. et al. Quantum and classical solutions for a free particle in wedge billiards /A. G¨ongora–T et al. // Physics Letters A. — 2000. — Т. 274. — №. 3–4. — С. 117–122.

9.Fokicheva V. V. Description of singularities for billiard systems bounded by confocal ellipses or hyperbolas / V.V. Fokicheva // Moscow University Mathematics Bulletin. — 2014. — Т. 69. — №. 4. — С. 148–158.

10.Fokicheva V. V. A topological classification of billiards in locally planar domains bounded by arcs of confocal quadrics / V.V. Fokicheva // Sbornik: Mathematics. — 2015. — Т. 206. — №. 10. — С. 1463.

11.Vedyushkina V. V., Fomenko A. T. Integrable geodesic flows on orientable two–dimensional surfaces and topological billiards / V.V. Vedyushkina, A.T. Fomenko // Izvestiya: Mathematics. — 2019. —

Т.83. — №. 6. — С. 1137.

12.Rayleigh J. W. Theory of Sound / J.W. Rayleigh //MacMillan —

1896.

13.Nikulin M. A. Asymptotic behaviour of energy levels of a quantum free particle in an elliptic sector / M. A. Nikulin, T. Y. Popelensky, A. I. Shafarevich // Physica Scripta. — 2024. — Vol. 99, no. 1. — P. 015207.

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МОДЕЛЬ НАГРЕВА КОМПОЗИТНОГО МАТЕРИАЛА ПРИ НАГРЕВЕ

ПОВЕРХНОСТИ ЭЛЕКТРОННЫМ ПУЧКОМ1

В.А. Окишев (Москва, Российский университет дружбы народов) okishev-va@rudn.ru

В докладе представлена вычислительная модель нагрева композитного материала, состоящего из вольфрама с тонким слоем карбида бора в осесимметричной постановке. Модель основана на решении уравнения для температуры. Граничные условия задают нагрев поверхности электронным пучком и испарение вещества. Плотность, теплопроводность, удельная теплоемкость и мощность испарения задаются в виде экспериментально полученных зависимостей

1 Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 23-21-00134, https://rscf.ru/project/23-21-00134/

© Окишев В.А., 2024

185

от температуры материала. Показана роль напыления карбида бора на распределение температуры образца. Параметры модели взяты из экспериментов на стенде Beam of Electrons for materials Test Applications (BETA), созданного в ИЯФ СО РАН.

О ДРОБНЫХ МОДЕЛЯХ ВЯЗКОУПРУГОЙ

ЖИДКОСТИ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА1

В.П. Орлов (Воронеж, ВГУ) orlov_vp@mail.ru

Уравнение движения в форме Коши несжимаемой жидкости единичной плотности, заполняющей область Ω в RN , N = 2, 3, ∂Ω C2, имеет вид

N

X

∂v/∂t + vi ∂v/∂xi + p − Div σ = f, (t, x) QT = [0, T ] × Ω, (1)

i=1

Здесь v(t, x) = (v1, . . . , vN ) – вектор скорости, ρ = const > 0 – плотность жидкости (которая в исследуемой ниже модели предполагается постоянной и равной единице), p = p(t, x) – давление и в точке x в момент времени t, σ – девиатор тензора напряжений, f – плотность внешних сил. Знак Div обозначает дивергенцию матрицы-функции, т.е. Div σ является вектором, координатами которого являются дивергенции векторов – строк матрицы σ.

Уравнение (1) дополняется условием несжимаемости div v = 0 и реологическим соотношением Олдройдовского типа

дится в [1]—[2].

1 Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (грант №22-11-00103).

© Орлов В.П., 2024

186

Траектории поля скоростей определяются как решение задачи Коши

Z τ

z(τ; t, x) = x + v(s, z(s; t, x)) ds, 0 t, τ T, x Ω, (4)

t

при этом решение z(s, t, x) понимается в смысле теории регулярных лагранжевых потоков (см. напр. [4]).

Соотношения (1)—(4) определяют начально—граничную задачу

Z:

Здесь ядро G(t − s) удовлетворяет оценке |G(t − s)| M(t − s)γ1−1,

γ1 = min(am − bm−1, am − am−1), µ0 = p−m1qm, при этом 0 < γ1 < 2. Пусть

W1(0, T ) ≡ {v : v L2(0, T ; V ) ∩ L∞(0, T ; H), v′ L1(0, T ; V −1)}.

Здесь V и H — пространства соленоидальных функций (см. [3], c. 20).

Определение. Пусть f L1(0, T ; V −1), v0 H. Слабым решением задачи Z называется функция v W1(0, T ), удовлетворяющая тождеству

N

X

d(v, φ)/dt − (viv, ∂φ/∂xi) + µ0(E(v), E(φ)) +

i=1

Z t

G(t − s) E(v)(s, z(s, t, x)) ds, E(φ) = f, φ ,

0

при любой φ V и п.в. t [0, T ], и начальному условию (8).

187

Здесь z(s, t, x) — регулярный лагранжев поток, порожденный функцией v.

Справедлив следующий результат.

Теорема. Пусть f L2(0, T ; V −1), v0 H. Тогда задача Z имеет слабое решение.

Доказательство предполагает аппроксимацию задачи Z приближениями галеркинского типа с последующим предельным переходом на основе априорных оценок. Для исследования поведения траекторий негладкого поля скоростей u используется теория регулярных лагранжевых потоков.

Результаты получены совместно с В.Г. Звягиным.

Литература

1.Осколков А. П. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина-Фойгта и жидкостей Олдройта // Тр. МИАН СССР. — 1988. — Т. 179. — С. 126–164.

2.Mainardi F. Creep, Relaxation and Viscosity Properties for Basic Fractional Models in Rheology/ F. Mainardi, G. Spada // The European Physical Journal, Special Topics. — 2011. — Т. 193. — С. 133–160.

3.Темам Р. Уравнение Навье-Стокса. Теория и численный анализ / Р. Темам. — М. : Мир, 1987. — 408 с.

4.DiPerna R. J., Lions P. L. Ordinary differential equations, transport theory and Sobolev spaces / R. J. DiPerna, P. L. Lions // Invent. Math. — 1989. — T. 98, — P. 511–547.

5.Звягин В.Г. О слабой разрешимости моделей движения вязкоупругой жидкости с реологическим соотношением высокого порядка / В.Г. Звягин, В.П. Орлов // УМН. — 2022. — Т. 77, № 4. —

С.197–198.

6.Звягин В.Г. О слабой разрешимости дробных моделей вязкоупругой жидкости высокого порядка / В.Г. Звягин, В.П. Орлов // Известия РАН. — 2004. — Т. 88, № 1.

АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ И РАЗРЕШИМОСТЬ ОДНОГО КЛАССА КРАЕВЫХ

ЗАДАЧ В ПОЛОСЕ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВЫСОКОГО

ПОРЯДКА В.В. Панков (Воронеж, ВГУ)

vladimir.v.pankov@yandex.ru

© Панков В.В., 2024

188

где

A (Dx, Dα,t, ∂t) v = L2m (Dx, Dα,t) v − b(−1)k∂t2k−1v,

τ +j 2m

Dα,tj u(t) = Dα,t(Dα,tj−1u(t)), j = 1, 2, ...,

α(t) — специальная весовая функция, C — множество комплексных чисел. На границе t = 0 полосы Rnd задаются условия:

Определение 1. Пространство Hs,α, 2m (Rn) , s 0, s Z со-

2k−1 d

стоит из тех функций v(x, t) L2 (Rnd ), для которых конечна норма

189

часть числа (2k−1)s . Если s N таково, что (2k−1)s Z, то эта

2m 2m

норма эквивалентна норме

Условие 2. Для некоторого числа s 2m + max (mj) функция

1 j k

α(t) принадлежит Cs−1[0, d], причем α(0) = α′(0) = 0, α(t) > 0 при

— целое число, m 2k −1 — целое число и выполнены условия 1 – 3, тогда для любого решения v(x, t) задачи (1) – (3), принадлежащего

пространству Hs,α, 2m (Rn), справедлива априорная оценка

2k−1 d

где постоянная c > 0 не зависит от v. Здесь · s — норма в про-

единственное решение v (x, t) задачи (1) – (3), принадлежащее про-

странству Hs,α, 2m (Rn).

2k−1 d

Литература

1. Панков В.В. Об априорной оценке решений одной краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения / В.В. Панков,

190