книги / Многомерный анализ и дискретные модели
..pdf§ 2] |
МОДЕЛИ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ |
221 |
конечного моментов V t"): |
|
|
|
к |
|
Обращаясь |
теперь к представлению (19) для |
каждого |
Нл, видим, |
что, в конечном счете, сумма (21) |
образова |
на из комбинаций операторов поля Ф_(х*), Ф+(х,). Со
ответствующее представление |
для U |
называют р я д о м |
т е о р и и в о з м у щ е н и й / |
Название |
объясняется тей, |
что приведенное построение корректно для стационарной картины с не зависящим от' времени «свободным гамиль тонианом»— оператором энергии и применяется обычно для гамильтонианов,,получающихся из свободного добав лением «взаимодействия» (или «самодействия»). В кон тинуальном случае (даже в простейших моделях) не из вестно нетривиальных примеров, в которых ряд (21) сходился бы. По-видимому, таких примеров и не суще ствует. Тем не менее основным приемом построения кон кретных (пригодных для вычислений) матричных эле ментов для* формул типа (18) является использование членов ряда (21).
Рассмотрим на простейшей модели (фиктивной, т. е; бессодержательной в (- континуальном случае) используе мую при этом формальную процедуру. Пусть
н = 2 !Ф(х).
X
Тогда матричный элемент Sttb «во втором порядке теории возмущений» будет ийеть вид
</ь| 2 2 ф (х)Ф(х')/Л. |
(22) |
||
\ |
X х ' |
/ |
|
Подставляя в *(22) выражения Ф = Ф - + Ф+, видим, что получаются суммы слагаемых четырех типов:
Ф -(х)Ф -(х'), Ф -(х)Ф +(х'), Ф+(х)Ф -(х'), Ф+(х)Ф+(х').
Каждому типу можно сопоставить «диаграмму ^Фейнма на» по следующему, правилу: нанесем пару точек, кото рые обозначим х, х'; сопоставим множителю Ф - стрел-
222 |
МОДЕЛИ В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ |
[ГЛ. IV |
ку, входящую в соответствующуюточку («уничтоже ние»), а множителю Ф+ — стрелку, выходящую из соот ветствующей точки («рождение»). Получим диаграммы
х |
х' |
X |
У |
• «ДАЛ* — |
X х' |
||||
где волнистая |
линия |
обеспечивает _связность диаграммы, |
||
соответствующей определенной |
группе |
сомножителей. |
Обратно, при наличии соответствующих правил, каждой из диаграмм может быть сопоставлен соответствующий оператор в 5, задаваемый, в континуальном случае, «интегралом Фейнмана». При сложных гамильтонианах подобное соответствие, позволяющее развить специфиче скую технику и интуицию, оказывается неоценимым. Дополнительные правила (например, законы сохранения, соображения симметрии) позволяют, сразу исключить из рассмотрения ряд диаграмм. Бичом метода является рас ходимость записываемых на основе формальных правил интегралов.
Возвращаясь к (22), заметим, что подставляя в ска лярное . произведение различные одночастичные ампли туды, к - примеру /а(к), Д(к'), получим комплексную функцию пары F (к, к'). В континуальном случае так и
.появляются числовые й функциональные характеристи ки, связанные с экспериментами по рассеянию.
2.6. |
Дополнительные замечания. Если |
рассматривать |
приведенную модель как вариант конспекта по КТП, то |
||
уместно, сделать некоторые дополнительные |
замечания. |
|
а. Неудовлетворительность формальной |
процедуры, |
приводящей к ряду (21), породила многочисленные по пытки построения теории рассеяния, в которой постули руются непосредственно те или иные свойства S-матрицы.
Одним |
из важнейших |
направлений |
является |
здесь |
|
изучение |
и исподьзораице |
так называемый д и с п е р с и |
|||
о н н ы х |
с о о т н о ш е н и й . |
Отправной |
точкой служит |
||
предположение о представимости S-матрицы в виде раз |
|||||
ложения цо операторам поля |
(типа, получаемого из |
(21)' |
|||
при подстановке гамильтониана (19)')., |
Использование |
свойств^ локальности операторов поля и требований уни тарности и ковариантности S-матрицы позволяет дока зать аналитичность функций типа 3*(р, р') = <(/р | S | /р'>- Соотношение между вещественной, и мнимой Частями
§ 21 |
МОДЕЛИ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ |
^23 |
|
называемое |
дисперсионным соотношением, |
дает |
возмож |
ность получить ряд физических следствий, |
относящихся |
к рассеянию.
Другим вариантом «S-матричной теории» является непосредственное изучение матричных элементов — ана литических функций, получаемых по рецептам соответ ствия: диаграмма — интеграл Фейнмана (например,
[56]).
Ь. -Все наши модели относились к случаю простейше го скалярного поля. Реальная проблематика КТП связа на с необходимостью рассмотрения взаимодействия по лей различной структуры: скалярного, векторного, спи норного, электромагнитного и т. п., т. е. с рассмотрением функций над М, М , имеющих несколько компонент и преобразующихся по соответствующим представлениям группы П1. Принцип построения гамильтонианов, описы вающих взаимодействие полей различной природы, Мо жет быть пояснен примерами из векторного анализа: если нужно определить билинейный функционал от за данного скалярного поля / и векторного и, то естествен но рассмотреть выражения вида
J* grad / -и dV («векторная связь»)
или |
|
|
|
J f'divudV («скалярная связь») |
и т. п. |
Реально используемые в КТП гамильтонианы весьма |
||
сложны. |
' |
аналоги уравнения |
с. |
В нашей модели: отсутствовали |
|
Клейна— Гордона (или его обобщений). |
В стандартных |
изложениях КТП свойства решений: подобных уравнений широко используются при введении (и изучении) поле вых операторов. Признаётся, однако, что это использо вание, возможно, лишь вспомогательный прием, удобный для получения функций, обладающих специальными трансформационными свойствами. Именно такая точка зрения удобна нам.
Г Л А В А V
СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ ДИСКРЕТНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 0. Введение
Два коротких параграфа заключительной главы со держат скорее постановку задач, нежели изложение ре зультатов. Первый касается возмущений простейших «модельных» систем уравнений, а второй— построению дискретного аналога джет-расслоений *), используемых в общей теории разрешимости уравнений с частными производными. Соответствующие рассмотрения, в не сколько отличной форме, были первоначально опублико ваны в [17], [18].
По поводу § 4 можно заметить, что теория возмуще ний для операторов с частными производными, несмотря на всю важность и широту ее приложений, находится, если не говорить о специальных разделах [23] , в мало удовлетворительном состоянии. Не исключено, что пред лагаемый структурный анализ простейших моделей, от носящихся к влиянию возмущений области на спектр за данного в ней оператора, может оказаться полезным.
Второй параграф возник из поисков ответа на вопрос:" «В какой мере можно на дискретном объекте смоделиро вать'некоторые понятия, используемые в общей теорий разрешимости уравнений в частных производных?» (на пример, [8], [36], [45]). К упомянутым понятиям отно сятся джет-расслоения; и элементы теории гомологий ^(связанные с «диаграммной техникой»). -Полезность предлагаемых конструкций в конкретных задачах дис кретного характера достаточно проблематична.
*) Английский термин «дзкет» в данном контексте вызывает ассоциацию с каскадами брызг, соответствующих «каскадам» част ных производных различных порядков функции /. Ввиду этого используемый в ряде случаев русский эквивалент «струя» вряд ли удачен.
§ 1] |
ВОЗМУЩЕНИЕ МОДЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ |
225 |
§1. Возмущение модельных уравнений
1.0.Предварительные замечания. Параграф примыка ет непосредственно 'к '§ 2, гл. 0. Модельными. названы простейшие уравнения на дискретной окружности Й, со
держащие оператор сдвига |
(типа уравнения |
(5), § 2 , |
|
гл. 0 ), или аналогичные |
уравнения |
на произведения |
|
Qi X Й2 таких окружностей. |
Решения |
подобных |
уравне |
ний (и спектр соответствующий операторов) немедленно вычисляются либо непосредственно, либо за счет исполь зования «преобразования Фурье». Возмущение исходной структуры заключается в присоединении к Й (к Qi Х й 2) дополнительной точки таким образом, что группа порож даемых сдвигами отображений ^ этих множеств на себя перестает быть абелевой.
Соответствующее возмущение вводится в модельное уравнение и рассматривается его влияние на спектр по лученного «возмущенного» оператора. Используемые конструкции допускают много вариантов и, возможно, приводимый ниже не является наиболее удачным.
1 .1 . |
Одномерный |
случай. Пусть . й — конечное мно |
жество |
N элементов, |
отмеченных числами к — 1, ...., Я, |
и т — отображение |
|
|
|
т: й -> й , |
кфМу т Я = 1 * |
Пусть Я —Я-мерное гильбертово пространство комплекс
ных функций |
й |
С |
со скалярным произведением |
|
|
|
(У.*) - |
1 |
(1) |
|
|
|
|
|
Мы не вводима |
(1 |
) нормировки, поскольку никаких со |
поставлений с континуальным случаем не делается. Сдвиг т порождает, как неоднократно отмечалось, уни тарный оператор .
т: Я + Я, rf(k)=f(r- 'k) . |
(2) |
Спектр оператора т дается набором
Кv == 2niN -\ ; * = 1, . . Я,
корней из единицы, а соответствующие собственные функции, образующие ортогональный базис Я, име ют вид
я = 1 , ..., к.
226 |
АНАЛИЗ ДИСКРЕТНЫХ -УРАВНЕНИЙ |
[ГЛ. У |
Образуем множество Я', добавив к Я точку, отмечен ную числом N + 1 , и продолжим автоморфизм т на Я', полагая т (Af +' 1) = iV + 1. Введем одновременно допол нительный автоморфизм
Я '- * Я', . № = к , £ = 1 , |
ЛГ — 1, |
|
piV = iV + .l, $ (N+l) = N. |
Построенное но аналогии с Н гильбертово пространство комплексных функций над Я' обозначим Н' и опреде лим, пользуясь правилом (2 ), унитарные операторы
т / jf: J5T'
Заметим, что автоморфизм т[5 дает сдвиг в Я', аналогич ный сдвигу т в Я. В то же. время т. е. теперь группа всех, порождаемых парой т, р, автоморфизмов Я'
уже не коммутативна. Спектр операторов т, тр ^ тр оха рактеризуем, заметив, что он определяется соответствен но корнями уравнений
(К* — 1) {X - 1) - О, Г +1 = О,
левые части которых можно рассматривать как характе ристические полиномы, отвечающие обычной матричной записи уравнений
ти — Хи = 0, т$и — Хи = 0.
Уже оговаривалось, что имеется много способов вве дения возмущений в эти простейшие уравнения. Рас смотрим, к примеру, семейство операторов
А — ( 1 — е)т + етр.
Собственными значениями А будут корни характеристи ческого полинома
Ре (X)= XN+i - |
(X*+ X- 1) (1 - 8) - |
8.' |
(3) |
Но явный вид корней |
и соответствующих |
собственных |
функций выписать теперь не удастся. Можно, тем не ме нее, сделать некоторые заключения качественного харак тера. При этом полезна
Л е м м а /Отображение комплексной плоскости
|
w = az(a+z)~l |
|
(4) |
при любом а ^ О , |
лежащем на окружности |
Г: U — II, |
|
переводит Г в окружность 7 : Iw — 1/21 = 1/2. |
|
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . Заметим прежде |
всего, что об |
||
раз вещественной |
оси при отображении |
(4) |
есть либо |
§ 1] |
|
ВОЗМУЩЕНИЕ МОДЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ |
|
227 |
|||||
окружность, |
касающаяся |
вещественной |
оси |
в |
точке |
||||
ш = 0 |
(при |
Im a ^ O ), |
либо вещественная |
ось |
(а = 2 ). |
||||
Окружность |
Y (образ |
Г) |
пересекает вещественную |
ось в |
|||||
точках |
w = О (z = 0) |
и и>=1. Для проверки последнего |
|||||||
равенства |
достаточно |
положить |
z = a, d = 1 — efp. Одно |
||||||
временно, |
в |
силу конформности |
отображения (3), |
у ор |
тогональна в нуле образу вещественной оси и, следова тельно, согласно .сделанному замечанию, самой вещест
венной. оси. |
Отсюда заключаем,- что |
центр |
— точка |
||
ю = 1/2. ■ |
|
- |
г |
от 0 до 1 в |
|
У т в е р ж д е н и е |
1. При изменении |
||||
нижней полуплоскости по полуокружности |
|
|
|||
2 е(ж) = exp[fox(l — х)] + 1 , |
|
|
|
||
корни Я*(е), |
к = О, |
..., N — 1 , полинома |
(3) |
перемеща |
ются по единичной окружности против часовой стрелки
от значений Xh(0 )= evh к значениям А*(1) = |
е|А<>+1), р = |
|||||
— 2ni(N+ I ) -1. Корень A*r = |
1 остается.неподвижным. |
|||||
Д о к а з а т е л ь с т в о. Уравнение |
Рг(Л) = |
О |
позволяет |
|||
выразить е как функцию X: |
|
|
|
|
||
е = ( 1 - У ( 1 ^ Г ) [ ( 1 - |
%)+ ( i - X N)]~\ |
|
Я*=1 |
|||
(при Я — 1 надо |
произвести |
соответствующие |
сокраще |
|||
ния). Остается заметить, что перемещение |
точки А*(е) |
|||||
от Xft(Q) до ЯА(1) |
по |
единичной |
окружности |
отвечает |
||
движению ос и z в |
(4) |
по окружности Г и воспользовать |
ся доказанной леммой. ■ Укайкем еще специальный базис в Н', удобный при
изучении некоторых характеристик оператора Ьг [18]. Определим вектора flk(tf), й==1, ..., N, совпадающие с
при |
x¥=N+ |
1 |
и |
дополненные |
компонентой |
|
'6 ft(iV+ 1) = 0. Введем |
затем |
вектор #о(#) |
с единственной |
|||
отличной от |
нуля компонентой, ^о(Л^+1) = 0. Возьмем в |
|||||
качестве базиса Фо, Ф* + ФоТогда |
|
|
||||
C&ft + Фо) = |
т ( Ъ к + #о) = |
|
+ 'в’О= |
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
т р о 0 = л г * 2 |
К |
+ ^о). |
К = |
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
Построенный базис позволяет, к частности, получить другую форму Записи полинома- (3). Мы воспроизведем
228 |
. АНАЛИЗ ДИСКРЕТНЫХ УРАВНЕНИЙ |
|
|
[гл: v |
||||||||||
ее в более/сложном случае |
в |
п. |
2. |
Пока |
отметим, |
что |
||||||||
найденная таким образом запись дает возможность удоб |
||||||||||||||
но вычислить производную |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
dX_ |
|
|
K N —1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
d& |
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(пеподвижныи корень, разумеется, исключается). |
полез |
|||||||||||||
Такого |
рода производные |
содержат |
зачастую |
|||||||||||
ную информацию. |
|
случай. |
Роль |
множества |
Q |
играет |
||||||||
1.2. |
Двумерный |
|||||||||||||
теперь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q = QI XQ2, |
QI - И , |
..., N), |
й 2 = |
{1, |
..., 71/}. |
|
||||||||
На Q определена |
пара |
коммутирующих |
автоморфизмов |
|||||||||||
т; х- Для т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
>т: |
|
к*->к + |
1, |
к ф Й у |
т#==1, |
т)02= 1; |
||||||||
действие |
Q |
Q |
определяется |
аналогично ^ (сдвиг иа |
||||||||||
й 2, единица на Qi). Пространство комплексных функций |
||||||||||||||
над Q будет |
iVM-мерным |
гильбертовым |
пространством |
|||||||||||
# = # 1 ® # 2, |
где |
На>— соответствующее |
пространство |
|||||||||||
над Qa, о = 1 , |
2. Элементы цм (ж, у) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Т1м “ Чь(х)Щу ), |
life (*) — evh*, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
v = 2niN~\ |
T]s (у) = |
e™y, |
(5) |
||||||
образует |
ортогональный . базис |
собственных |
• векторов |
|||||||||||
операторов |
т ,v х? |
порождаемых |
' (в |
соответствии |
с |
(2 )) |
||||||||
введенными автоморфизмами. Модельными будут опера |
||||||||||||||
торы вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L = q% +'т% |
q, г — const. |
|
|
|
|
(6 ) |
||||||
Введем |
множество Я, присоединив |
к |
Q точку, |
кото |
рую обозначим о), продолжим на Q автоморфизмы т, считая, что добавленную точку они оставляют на ,месте; и определим автоморфизм р, полагая
Р: (о ~ (М, N ), (М, N) ~ |
со. |
Остальные точки Q он оставляет на месте. |
|
Как и в одномерном случае имеется |
много вариантов |
«возмущения» оператора (6 ) за счет использования р, нарушившего коммутативность исходной структуры/ Ос тановимся на варианте, наиболее близком к рассмотрен
§ 1] |
ВОЗМУЩЕНИЕ МОДЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЕ |
229 |
ному в п. 1. Считая, что в (6) q = 1, положим |
|
|
|
£е-(1 - е ) Ь + гЩ. |
(7 ) |
Выписать для (7) характеристический полином в форме, аналогичной (3), представляется затруднительным. Вос пользуемся расширением базиса (5)7 типа предложен ного в п. 1. *
Сохраним обозначение т]м за элементами, получен ными из Соответствующих элементов (5) добавлением нуля в качестве последней компоненты, и обозначим rjo элемент, единственной отличной от нуля компонентой которого является единица на NM+ 1 месте. В качестве базиса возьмем
Л м + Ло, |
Ло, |
* = 1 , |
s — 1 , |
М. |
Будем иметь, положив Xk — evh, £8 = е^, |
|
|||
£(* (Л м + Ло) = '( ^ а + |
г&) ( % ,. + |
л о )+ • |
|
|
|
|
|
+ [1 —Яа + г(1 — £3j ] г)0, |
|
L r j0 = |
( l |
+ г) Ло» |
|
|
Ь К = |
|
k,S |
+ гС .) ( л * ,. + |
Ло)- |
|
|
|
|
Характеристический полином может теперь быть пред ставлен в виде
- |
+ rU [ l - h + г (1 - О\0н,„ |
|
k,s |
|
|
N,M |
|
|
<?= П |
+ |
^). |
k,i=t |
|
|
& Qk,s получается из () вычеркиванием множителя с со ответствующими индексами. Как и в п. 1, можно теперь вычислить
dXц |
K ( M N ) - \ |
||
ds |
b=>k+r^ |
||
|
е=о
Эта производная дает некоторую информацию о характе ре «перемещения» собственных значений при возмуще нии, чем мы и ограничимся.
230 |
АНАЛИЗ ДИСКРЕТНЫХ: УРАВНЕНИЙ |
1ГЛ. V |
§ 2. Формальная теория разрешимости
Как было оговорено, предлагаемая в данном парагра фе .конструкция вряд ли может оказаться полезной при анализе разрешимости конкретных систем разностных уравнений ^(являющихся частным случаем. рассматривае мых модельных). Тем не менее, конструкция эта пред ставляется имеющей методический интерес.
. Используемые, понятия элементарной теории гомоло гий несколько выходят за рамки сведений § 2, глГ. I. Их полезно дополнить (в части, относящейся к тонной гомо логической последовательности), знакомством со вступи тельными главами из [21], [31].-Независимое изложе ние «диаграммой техники», приспособленное для ис пользования в рассматриваемой ситуации, имеется в § 2 гл. I книги [36].
Пусть Т — множество точек x = (xi, ..., хп) с цело численными координатами (можно считать — нульмер ный остов нашей модели евклидова пространства гл. III)
и X с= Zn — некоторое подмножество, для |
определенно |
сти — конечное. Прямое произведение I |
x Kn = £' (X) |
будем называть расслоением над X , а функцию
и: X ->■ Кп, х ^ и ( х )
— сечением этого расслоения. Нас будут интересовать общие линейные модельные уравнения первого порядка над-X, т. е. уравнения (системы), записываемые в виде
|
|
|
а гр (х ) т iUp (x) == / г (х), |
ж е Х , |
’ |
(L) |
|||
|
|
« — 0, |
..., |
щ |
р = 1, ..., |
N, |
г = 1 , |
..., Ж, |
|
где |
т* — сдвиг |
по |
координате |
хс |
т*# = (жл, ...., |
х{+4, ... |
|||
..., |
хп), |
1, |
..., |
п, |
х{ир=^.ир(х{х), а то — тождествен |
ный оператор. По повторяющимся индексам предпола
гается |
суммирование. |
Равенство (L) |
имеет смысл |
для |
||
любого |
х ^ Х |
тогда и |
только тогда, когда сечение и(х) |
|||
задано |
над некоторой |
«окрестностью» X ^ X , |
которую |
|||
полезно описать. Пусть тiX — множество, получаемое |
из |
|||||
X применением сдвига т» к каждой точке х ^ Х . |
Тогда |
|||||
|
%Х = |
у тД , |
X = X (J тХ, |
ЪХ = Х \ Х . |
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
Множество ЪХ будет играть роль границы X.