книги / Многомерный анализ и дискретные модели
..pdf§13 |
МОДЕЛИ НА ПРЯМОЙ |
И |
||
лено спаривание с базисными4элементами ©: |
|
|||
|
(xk, |
8£, |
(ek, eiy = |
(3) |
где |
6j — символ Кронекера. Бели теперь |
|
||
|
а — 2 |
|
Р = 2 |
(4) |
— коцепи размерности 0 и |
1 соответственно, |
т. е; линей |
||
ные |
комбинации, принадлежащие К0, К 1' то определены |
|||
их значения |
|
|
|
|
|
a\xj = <xh а ) |
= «i, |
$\eh= <eft, p> = |
pft |
на элементах xh eft, принадлежащих <£, т. e. определены
ф у н к ц и и |
над®. Спаривание |
(3) распространяется rio |
|||
линейности |
на коцепи |
(4), |
так |
что |
для пар цепь-ко |
цепь будем иметь |
|
|
|
|
|
|
<а, а) = 2 |
akah, |
(b, р> = |
£ |
Иногда удобно считать спаривание распространенным на пары различных размерностей, полагая результат равным нулю. В дальнейшем' будем именовать коцепи формами,, подчеркивая их родство с соответствующими; континуаль ными объектами — дифференциальными формами. Опе рация д в Е индуцирует двойственную операцию d в К = = К° © Ю:
,<дЬ, а> = <Ь, da). |
(5). |
По определению dp = О для любой 1-формы р. Оператор d — аналог оператора внешнего дифференцирования^ сов падающего в одномерном случае с обычной производной.
Воспользовавшись (3)," (5), немедленно получим |
|
||||
dxh = eak — ek, |
da = 2 |
a kdxk = 2 (a tfe — |
ek |
(6) |
|
или |
|
d a k ft = |
a t A - a ft. |
|
(7)' |
|
|
|
|||
Спаривание |
<Ь, |
p>. являетсяvаналогом интеграла от |
|||
1-формы р по |
некоторой совокупности интервалов |
Ь= |
|||
= 2 P%eh>взятых с |
«весами» |
Ь* (если для всех |
к bh> О, |
то можно считать, что эти веса суть меры соответствую-
N
'-
щих интервалов). Если Ъ= 2 еь> т0
<6, da> = a*+i — ол = <36, a>
и равенство (5) — аналог формулы Ньютона ~ Лейбница
12 |
ОДНОМЕРНЫЕ МОДЕЛИ |
|
[ЕЛ. О |
|
(в многомерном случае соответствующее рассуждение |
||||
дает аналог так называемой |
общей формулы Стокса). |
|||
Полезно считать, что член <9Ь, а> — тоже |
«интеграл» от |
|||
0- формы по нульмерной цепи дЪ. |
. |
К у м н о ж е н и е , |
||
1.2. |
Умножения. Введем теперь |
в |
||
являющееся аналогом поточечного умножения для 0-форм |
||||
(функций |
т о ч к и ) и аналогом |
внешнего |
умножения для |
1- форм. В терминал теории гомологий это так называе мое умножение Уитни [30]. Его достоинство—«согласо ванность» с операцией d (ем. ниже формулу (9)). На следующем шаге мы им воспользуемся для определения
аналога о п е р а ц и и |
с о п р я ж е н и я (операции *; см. |
п. .3.5, гл. I и п. 1.1, |
гл. II) и скалярного умножения |
форм. Используемые конструкции могут показаться чрез мерно усложненными и неестественными, но именно они позволяют проследить весьма далеко аналогию с конти нуальными объектами. Это станет ясно в гл. III.
Вышеупомянутое |
умножение |
мы обозначим |
и |
введем его по правилу |
|
|
|
хко — х \ |
xhKj eh=* efe, |
ehw xxk—~eh, v |
(8) |
полагая произведение равным нулю во всех остальных случаях. На произвольные формы умножение распростра няется по линейности.
З а м е ч а н и е . Правило (8) выглядит естественнее, если записать интервал ек в виде пары его конечных то
чек: Х*Ххк. |
|
1. |
. |
|
коцепей'у, -д|)е К |
|
' |
|
У т в е р ж д е н и е |
Для |
справед |
||||||
лива формула |
|
|
|
|
|
|
|
|
d (ф v |
ф) = Ар ^ |
яр + ф v d\р. |
|
(9) |
||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Достаточно проверить |
(9) |
для |
|||||
0-форм. В остальных случаях |
обе части |
равенства — ну |
||||||
ли. Сравним значение левой и правой части (9) |
на |
про |
||||||
извольном элементе е*. Если |
|
|
|
|
|
|||
|
|
Ф о |
1]) = |
2 |
|
|
|
|
то, согласно (8), |
(6)', |
|
|
|
|
|
|
|
d (ф О ф) = |
2 |
|
& |
= |
2 (фтлФтй |
ФйФй) еК |
|
|
йф w ф = 2 |
(фть — Щ) фтЬе*, |
|
|
|
Фw йф = 2 Фй (%й—Фй) е*,
откуда и следует(9). ■
§ 1) |
МОДЕЛИ НА ПРЯМОЙ |
13 |
З а м е ч а н и е . |
Формула (9) сохранит |
свой вид и в |
га-мерном случае. Только перед вторым слагаемым пра
вой части появится множитель |
(—1)р, где р — степень ср. |
||
, Введем теперь операцию «звездочка», полагая |
|
||
*хк = е\ |
*ек = хх\ |
(10) |
|
так что в любому случае |
|
|
|
я* уи *хк= |
ек |
*ек= ек. |
(М) |
На произвольные формы операция распространяется по
линейности. |
**хк — ххк, |
З а м е ч а н и е . Из (10) следует, что |
|
**ек =? ехк?: т. е. операция (*)•? эквивалентна |
сдвигу. Это |
одно из основных отличий вводимого формализма от континуального случая, где операция * — либо инволю ция, либо антиинволюция: .(*'■)2:= ±1. Возможность «инволютивнрго» определения * обсуждается в § 5, гл. III.
Из (11) |
немедленно следует, что для форм ф, ф |
од и |
|
н а к о в о й |
степени всегда выполнено равенство |
|
|
|
ф ^ |
*гф — |
(12) |
Свойство (12) операций |
*- лежит в основе «правиль |
ного» (правильно имитирующего континуальный слу чай) определения скалярного произведения над «об
ластью» V. Роль V будет играть, как |
правило, сумма |
V - £ e k , |
(13)- |
1 . |
|
а скалярное произведение (для форм одинаковой степе
ни) |
определяется равенством |
|
|
|
|
|
(14) |
Из |
(12), (13) следует |
|
|
|
N . |
(15) |
|
|
Сф» я|?)г *= 2 |
ФА» |
|
|
. 1 |
|
|
и |
все аксиомы скалярного |
произведения |
выполнены. |
Иногда удобно, считать скалярное произведение опреде лённым и для форм различной степени, полагая его в атом случае:равным: нулю.
Задание области V вида (13) и скалярного произве
дения (14), |
(15) превращает линейное |
пространство |
форм над ^ |
в конечномерные гильбертовы |
пространства |
14 |
ОДНОМЕРНЫЕ МОДЕЛИ |
[ГЛ. О |
Н°, Я 1 с базисами {xk} i , {ek}i • Эти пространства будут играть. важнейшую рольх в дальнейших рассмотрениях.
1.3.Уравнения и задачи. Теперь мы можем перейти
кмоделям простейших дифференциальных уравнений и граничных задач для них. При этом наши модели авто матически оказываются разностными аналогами упомя нутых объектов.-Введение масштаба (нормировки) и пре дельный переход обсуждаются в следующем пункте.
Фиксировав область F, задаваемую равенством (13), и воспользовавшись определением скалярного произведе ния, введем оператор б, сопряженный с d, оказывающий ся важнейшим элементом приводимых ниже построений.
Пусть а |
Запишем цепочку равенств |
|
(da, ср)у — <F, da ^ |
*ф> = |
|
<F, d{а ^ *ф)> —<F, а & d * ф> = . |
(16) |
|
|
<dF, <xv *ф> — <F, |
* ф}>. |
Последний член цепочки представим в виде/ (а, бф)у, вводя оператор б: К1-+■ К0 равенством
бф = — *_1cZ* ф.
- Если предположить дополнительно, что 4 «граничные члены» o t'- '^ ld F обращаются в нуль, то (16) даст обычное соотношение
(da, ф)г = (а , бф)у,
связывающее сопряженные операторы d, б. «Поточечное» : определение б дается, очевидно, равенством
бф|Яь=*:фаА—фь. *
Щйведем «явную» запись тождества, даваемого форму лой (16):
' N |
N |
2 (aTft — cck) cpft = a TWq>jv — |
+ 2 «ft (<Poft — Ф*)- (17) |
I |
1 |
Как нетрудно заметить, (17) есть обычное преобразова ние Абеля — дискретный^ аналог интегрирования по ча стям. И' если равенство (5) было аналогом формулы Стокса, то(16)— аналог формулы Грина/для формально сопряженных дифференциальных операторов d, 6 (§ 1, гл* II). Замечательным, свойством формулы (16) являет ся то, что она сохраняет свШ:Вид % в многомерном, слуг
§ 1) МОДЕЛИ НА ПРЯМОЙ 15
чае (§ 2, 3, гл. III). При этом равенства типа (17) дают различные обобщения классического преобразования Абе ля (ср. п. 3.2, гл. III).
; При работе с формулами (16), (17) и одновременном использовании пространств^flr0(F), Я 1(F), введенных в
конце предыдущего пункта, необходимо все время иметь в виду следующее обстоятельство: хотя скалярные произ
ведения берутся над V вида |
|
(13),. в |
запись тождества |
||||||
(17) |
входят |
числа а т*, фо, которые не |
о п р е д е л я ю т |
||||||
ся заданием |
форм а, |
ф |
как |
элементов |
пространств |
||||
# °(F ), #*(F). Значения этих |
чисел для придания |
точ |
|||||||
ного смысла равенствам |
(16), |
(17) должны быть опреде |
|||||||
лены |
соответствующими |
дополнительными |
условиями. |
||||||
Рассмотрим теперь уравнения |
|
|
|
||||||
|
|
da + Я *,а = |
/, |
бф + Я * ф = £ ; |
|
( 18) |
|||
|
|
бйр + |
=* р, |
, |
, |
|
|
||
|
|
|
+ Яг|> =■ д, |
|
|
||||
являющиеся аналогами дифференциальных уравнений |
|||||||||
|
( ± Я * + Я)и=>; |
(— Я | + X)v = s. |
(19) |
Будем считать Я вещественным. Подчеркнем два обстоя тельства;
1.Каждому из уравнений (19) соответствуют у нас два аналога.
2.Для записи этих аналогов в нашем формализме, помимо простейшего «дифференцирования» .d, необходи мы операции * и б.
Уравнения (18) |
будем рассматривать над |
F |
вида |
|||
v (13)4 в |
пространствах if0(F), |
Hl(V), считая /, |
р е Д 1, |
|||
g, g е |
Я0. . Каждому |
из уравнений (18) |
будет |
соответ |
||
ствовать некоторая |
цепочка |
равенств. К |
примеру, |
для |
||
первого^ уравнения второй строки будем иметь |
|
|
||||
|
2р& —рт* —Р<* + Яр* =■ръ, к = 1, . *., N. |
|
(20) |
Таким образом, если pe/Z°(F), все члены в (20) будут определены лишь при дополнительном задании значений Ро, РтN* Аналогичные- «недостающие» элементы присут ствуют и в остальных уравнениях (18).
О п р е д е л е н и е . Элементы а ^ Я0, ф ^ Н1 назовем решениями задачи Коши в F для первой пары уравне ний (18), если они удовлетворяют соответствующим це почкам равенств, в которых дополнительно положено
остлг^О, фо^О . |
(21) |
16 ОДНОМЕРНЫЕ МОДЕЛИ [ГЛ, О
Введенное определение .задает |
одновременно |
операторы |
|||||||
(d + %*): Н °-»Н \ |
(б + X*): Н1 |
Н°. |
(22) |
||||||
У т в е р ж д е н и е |
2. |
Для |
любых f щ Н1, g ^ |
Н° за- |
|||||
|
|
|
|
|
|
s' |
(18) |
однозначно |
|
дача Коши для первой пары уравнений |
|||||||||
разрешима. |
Операторы |
(22): являются сопряженны |
|||||||
ми, т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ы + Я*)а,. ф ) ( с х , |
{б + %* ср})г.. |
|
||||||
Первая часть утверждения тривиальна. Вторая сле |
|||||||||
дует из (16), условий (21) й тождества |
|
|
|
||||||
(*а, ср)у ==(а, |
*ф) г — агфо тЬ а т^гф^. ■ |
|
|||||||
Перейдем ко второй паре уравнений |
(18): |
Я 1 назовем |
|||||||
О п р е д е л е н и е . |
Элементы |
р ^ Я0, |
f s |
||||||
решением «задачиДирихле» в V для, второй пары урав |
|||||||||
нений (18), |
если опи |
удовлетворяют соответствующим |
|||||||
.цепочкам равенств, в |
которых дополнительно положено |
||||||||
|
1^0 “ '$TN “ |
0, |
ifo = |
^ 0. |
|
(23) |
|||
Как и выше, это определение задает операторы |
|||||||||
(бd + Я): Я0 + |
#°, |
|
(d6 + X) : Я 1 |
Я 1. |
(24) |
При выяснении свойств «задачи Дирихле» и операторов (24) удобно воспользоваться тождеством
‘ |
N' ; |
|
|
|
|
(dot, Op)у = |
2 faxk |
®fc)(Ptfe |
Pfe) “ |
|
|
|
1 |
|
|
. N |
|
|
|
|
|
|
|
= axN(PTJV— Piv) — «1 (Pi ~~ Po) + 2 ak (2Pft —- fiok |
Ptfe)« |
||||
|
|
|
|
|
(25) |
Оно получается из |
(17) |
подстановкой фь^Рть —Рь. По |
|||
лагая* а =“ Р и учитывая |
(23), получим йз (25) |
|
|||
|
(§dp, Р)у = |
(dp, dp)y -f Pi- |
(26) |
Одновременно при d, отличном от р, но также учиты вая (23),
(6dp, а) у = —aiPi +(dp, da) у =(Р, • bda)v. |
(27) |
Соответствующие рассмотрения для второго уравнения второй стрбки .(18) полностью аналогичны. В результате имеем
§ 11 |
|
МОДЕЛИ НА ПРЯМОЙ |
|
17 |
|
У т в е р ж д е н и е 3. |
При К> 0 , р е Я°, |
q е |
Я 1, «за |
||
дана Дирихле» для* второй пары уравнений |
(18) всегда |
||||
однозначно разрешима. Операторы (24) являются само |
|||||
сопряженными. |
Будем говорить о |
первом из |
|||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|||||
уравнений. Вторая часть утверждения следует |
из (27). |
||||
Первая — из |
(26) и самосопряженности соответствующе^ |
||||
го оператора |
(разумеется, она тривиальным образом про |
||||
веряется и непосредственно). ■ |
|
аппроксима |
|||
1.4. |
Нормировка, |
ступенчатые функции, |
ция. Перейдем к описанию схемы установления связи чисто комбинаторных рассмотрений пн. 1 — 3 с контину
альными объектами. Пусть |
(а, Ъ)— интервал веществен |
||||
ной оси и h = (Ь —a)/N > |
0. |
Введем разбиение |
прямой |
||
точками Хъ — а + kh, |
к — 0, |
±1, |
±2, ... Отождествим |
||
точки х й интервалы |
= (#*, xxh) |
с комбинаторными объ |
|||
ектами, j рассмотренными |
выше. |
Дискретным |
формам |
аМ Я°, <р е ! 1 сопоставим |
ступенчатые функции '«*(#)>, |
срл (х), полагая, что при # <= |
|
(# )= |
cpft (я) — q>ft. |
Определенные таким образом ступенчатые-^функции бу
дем рассматривать ^ над (а,' Ь) как |
элементы |
соответ |
|||
ствующих |
функциональных |
гильбертовых пространств |
|||
№, М функций |
с суммируемым |
квадратом. |
Очевид |
||
но, что |
|
|
|
|
|
| а\ |
1Н°|2 = |
h\a, Я®|2, |
| срл, № |2 = h | Ф, Я112, |
где 1 ,1 — нормы в соответствующих гильбертовых про странствах. Определим над введенными функциями раз ностные операторы, полагая
Ahah(x) = h~l [ал(ж + h)—ал(я)].,
й аналогично для <р\ Операторы эти определены, разу меется, лишь в о т к р ы т ы х интервалах eh. В даль нейшем это всегда подразумевается, хотя явно и не ого
варивается. |
Определим^ теперь |
операторы dh, б \ |
полагая |
|
dhaft = A V , |
6 V = -^ft\p\ |
Если |
' |
форм а, |
У т в е р ж д е н и е 4. |
для дискретных |
|||
ср выполняются соотношения |
|
|
||
|
ha “ |
бф, |
|
|
18 |
ОДНОМЕРНЫЕ МОДЕЛИ |
[ГЛ. О |
то для определенныхt выше ступенчатых функций *пото чечно выполнены \равенства
ah= бV ,
Справедливость утверждения очевидна. ■ Введем теперь обратный процесс: сопоставление кон
тинуальному объекту дискретного. Пусть интегри руемаяфункция х, заданная над некоторой совокупно стью интервалов eh. Сопоставим / ступенчатую функцию Д полагая
f (*) = |
jr j f (Юd\ при |
X <= eh. |
Если f определяла |
eh |
|
элемент Н° или |
Н1 (в одномерном |
случае эти пространства по традиции не различаются), то можем сопоставить ей соответствующий объект в Я0,
Я 1, сопоставляя значение f |
точке xh или интервалу ек. |
||
Описанную процедуру назовем дискретизацией. |
|
||
Рассмотрим использование введенных понятий при |
|||
построении аппроксимации |
решений |
континуальных |
|
(дифференциальных)' уравнений. Остановимся на |
про |
||
стейшем примере: задаче Коши для |
уравнения |
da ^ |
|
Ь), |
а ( Ь ) = 0 («обратная задача |
Коши»).
Отметим одновременно, что часто, вместе с нормой IH, полезно использовать аналог И^-нормы [19], [43], определяемой равенством
ь
la*, ИЧ2 = j (AV 1)2^ .
a
У т в е р ж д е н и е 5Г Пусть ступенчатая функция f —; дискретизация произвольного элемента / е Я*;_ тогда за дача Коши для уравнения
dhah= f |
(28) |
на (a, b) однозначно разрешима и; для решения выпол нено неравенство
la \ |
W\ ]/, Н1\. |
(29) |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Под задачей Коши для |
(28) на |
|
|
.N . |
(а. Ь) понимается соответствующая задача в F = S eh,
§21 |
, МОДЕЛИ НА ОКРУЖНОСТИ |
19 |
|
т.. е. |
однозначная |
разрешимость следует из |
утвержде |
н и й ^ |
и 2 / Для получения оценки (29) достаточно рас |
||
смотреть" цепочку |
|
|
|
\*h, W I2 .= J (A V )a clx — h ^ (ft» " '* 8*)* |
|
||
|
а |
-1 |
|
|
= л ' 2 | х |
J f (0<*S = |
17,я 1!2* ■ |
Построим теперь, отправляясь от ступенчатых, «глад кие» (класса Сх) функции, воспользовавшись поостейшим оператором осреднения [19]. Положим
J V (;г) = 4- j Vh(l)dt,
X
Построение аппроксимаций решения уравнения йа = / с~ помощью решения уравнения (28) облегчается в одно мерном случае^ тем, что
dJhah(x)^d*ah(x) = f .
У т в е р ж д е н и е 6. При К -^ 0 семейство функций {Jhah} сходится в Н° к элементу а, имеющему обобщен ную производную и удовлетворяющему уравнению da = /
иусловию а ( Ь ) = 0 . ■
Врассматриваемом примере, поскольку решение урав нения (28) без труда явно выписывается, -проверка утверждения 6 затруднений не _вызывает. В менее три виальных случаях доказательство соответствующего
утверждения оказывается весьма трудоемким (ср. п. 3.6, гл. III). Отметим одновременно, что элементарные осред нения ступенчатых функций дают простейшие с п л а й н ы .
§ 2. Модели на окружности
В качестве предварительного замечания стоит упо мянуть, "что если построения § 1 были связаны, в своей основе, с элементами теории гомолбгий, то фундаментом § к2 является, по существу, теория липейпых представ лений конечных абелевых групп [42], в ее простейшей (хотя, как и в § 1, несколько необычной) форме.
20 |
ОДНОМЕРНЫЕ МОДЕЛИ |
[ГЛ В |
|
Пусть |
S — ориентированная |
окружность |
единичной |
длины, разбитая Я точками н а Я |
равных дужек. В отли |
чие от рассмотрений § 1, теперь удобно с самого начала иметь в виду некоторый «масштаб». Будем считать N нечетным и, полагая N — 21+1, занумеруем точки (вы брав некоторую «начальную») в порядке их следования цедыми числами —Z, —Z+1, ..., Z—1, Z, называя эти числа координатами указанных точек, в множестве £2, подразумевая под Q совокупность всех точек, занумеро ванных указанным образом. Пусть / — комплексная функ ция над Q:
/: x*-+f(x), (1)
где я —5точка Q, отождествляемая со своей координатой. Совокупность так определенных функций обладает есте ственной структурой комплексного линейного простран ства:
(а/ + Nr) (х )= а /(* )+ $g(x),
и мы превратим его в гильбертово, пространство Н (ко нечномерное), определив скалярное произведение - равен ством
(/> 8) = |
X Н%) 8 (ж). |
(2) |
Тогда совокупность функций ie j, г е |
й , |
«•-С? SI: (В)
будет ортонормированным базисом Я, и произвольный элемент / е Я можно записать в виде
/ (*^) ^ S fx^xi*
m
/* = (/, ех) = N - 12 / (у) е* (у) = ЛГ1/2/ (х).
У
Нормирующий множитель Я-1, введенный нами в определение (2) скалярного произведения,' «портит» в дальнейшем многие формулы, заставляя, в частности, различать значение /(#) отображения / в точке а: и коэф фициент fx разложения этого отображения-функций по естественному базису (3). Тем не менее нормировка эта нужна для интересующего нас сопоставления (хотя бы на интуитивном уровне) дискретных объектов с конти