книги / Многомерный анализ и дискретные модели
..pdf§ 21 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ (Hh Ю1
ства, а на гладком многообразии Ж, и вместо скалярных функций рассматриваются дифференциальные формы.
Введем на IHr f| С1 новое скалярное произведение, по
лагая |
|
{со, зс> =(<*©, <fy)+ (6«>, бх) + (сод, Хд), |
(10) |
где ©л, Хд —проекции 0 , х на,91д. Пополнение указанного
линейного многообразия |
по норме {0 , |
(й) = \(д, |
W\2,^по |
|||||||||
рождаемой (1 0 ), обозначим через W (следовало бы писать |
||||||||||||
WT, но мы опускаем этот индекс). |
|
|
|
|
|
|||||||
|
Пусть теперь . |
|
|
и удовлетворяет равенству |
||||||||
|
|
|
— А(о = (d8 + 5d)со = |
/ е |
0-f.. |
|
(И) |
|||||
Тогда для любого |
|
х е |
^ flJHr |
(у нас нет теоремы вло |
||||||||
жения |
W а 1НГ) выполнено равенство |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
(d<o, dx) + (8(o, |
вх) = (/, X) |
|
|
(12) |
|||||
(мы учли, что / |
91д)Элемент |
0 |
е W f| jHr |
назовем те |
||||||||
перь обобщенным |
решением уравнения |
(И), если для |
||||||||||
лю бого .х^^П 1Н г |
выполнено |
равенство |
|
(12). |
Введем |
|||||||
обозначение Э?д = ШЛФ %. |
|
|
условием |
существ |
||||||||
|
У т в е р ж д е н и е |
2. |
Необходимым |
|||||||||
вованияобобщенного решения |
уравнения |
(И) |
является |
|||||||||
требование / е 9?д. |
если |
/д¥=0, |
то |
полагая |
х ~ / д прихо |
|||||||
|
Действительно,, |
|||||||||||
дим к противоречию. .■ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Прежде чем сформулировать теорему единственности, |
|||||||||||
отметим |
|
_ |
|
3. Если |
сое W [) ШГ, 10 , W\ = 0, mo |
|||||||
|
У т в е р ж д е н и е |
|||||||||||
|<й, Q-f| = |
0 . |
|
|
|
|
|
|
. |
представлением |
|||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Воспользуемся |
||||||||||
0 |
= йф $ бср |
$ 0 д. |
|
Из |
равенства |
{0 , |
0 } = 0 |
следует, |
||||
в |
частности, |
6 ^ = 0 , т. |
е. (Ар, йф) — 0 |
(можем восполь |
зоваться гладкой аппроксимацией). Аналогично устанав
ливается равенство |
| 6 ф, Mr | = |
6 . Равенство 0 д = 0 оче |
|||
видно. в |
4. При |
дополнительном |
условии |
||
0 ^ |
У т в е р ж д е н и е |
||||
31д обобщенное решение уравнения (1 1 ) |
единственно. |
||||
чет |
Действительно, в, этом случае равенство |
—Д0 |
= О вле |
||
I0 , W 1=0. в |
|
|
|
|
То, что Ша входит одновременно и в условие разреши мости, и в условие единственности решения является есте--
102 |
АНАЛИЗ НА РЙМАНОВОМ МНОГООБРАЗИЙ |
1ГЯ. II |
ственным |
следствием формальной с а м о с о п р я яге н н о- |
|
с т и операции А. |
для дока |
|
Остается воспользоваться разложением (8 ) |
зательства существования обобщенного решения при про извольной /еЭ?д. Представим правую часть в (11) в виде
/ = /d®/e, U = dfu /в = б/2.
В (11) должны, очевидно, иметь
йбсо = fd7 бdto = /б.
Можем решить уравнение dS®\ = dfu или 6 coi = Д, при дополнительном предположении dto\ = 0 , так что 6 d<oi = = 0. Аналогичным образом поступим с уравнением 6 d<02 s
= 6 /2, полагая da>2 = /2, 6 © 2 |
— 0. Будем иметь |
|
(d6,+ 6d) (0)i + |
0)2) = /. |
|
Нет оснований утверждать, |
что |
(ь± + со2е IHr f) С2» но по |
построению о)! + <о2 = ю е |
W Г) Иг и является обобщен |
ным решением уравнения (И), принадлежащим 81д. Име
ем теорему: |
Для любого элемента /<^91д |
существует |
Т е о р е м а ; |
||
единственное |
обобщенное решение уравнения |
(1 1 ), при |
надлежащее 9?д.
Теперь ясно, что всякая форма й)<=91д будет обобщен ным решением уравнения (9). На гладком М -«■ одновре менно классическим.
Из наших рассмотрений следует, что для замкнутого оператора А: 3>(Д)(Шд -^91д существует обратный А-1, заданный на всем подпространстве 9?д. Следовательно, со гласно теореме Банаха [10], справедливо
У т в е р ж д е н и е 5. Оператор А-1: Шд -^91д огра ничен. ■
Отметим в заключение, что и на Ж справедлива, ко нечно, теорема вложения:
Wc:IHr, |«>,lHrJ< C |(o ,W |,
без использования которой мы обошлись. Л о получение ее требует дополнительных построений. (Ср. равенство (7), § 3 этой главы.)
2.3.Теоремы де Рама, Ходжа и Коданры. Возвращаяс
кразложению (8 ), установим связь приведенных построе ний с алгебраическими и геометрическими конструкция ми, рассмотренным в § 2, гл. I. При этом одновременно полезно иметь в виду точку зрения, относящуюся к инте
§ 2] |
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ lHft |
ЮЗ |
грированию ц операции ^.изложенную в пн .-3, 4, § 4, гл. г:
Будем рассматривать Нг как пространство к о ц е п е й некоторого комплекса Ж(М), a d: lHr ->!Hr+1— как по
г р а н и ч н ы й о п е р а т о р . v3 aMeTHM далее, что при на личии гильбертовой структуры рассмотренное в п. 2 под
пространство |
эквивалентно фактор-про- |
стран&тву JKrf = |
9id/5fd, т. е. 9ld является аналогом г-мер- |
ной г р у п п ы |
к о г о м о л о г и й Зёг (Ж) комплекса |
Ж{М). |
|
Разумеется, на уровне наших построенйй приведенное замечание — не более чем некоторая аналогия. Тем не менее действительно справедлива
Те о р е м а (де Рам). Пусть на гладком многообразии
Мзадано полиэдральное подразделение, позволяющее со поставить ему комплекс К(М) коцепей (вещественных). Тогда группы когомологий Жг{К{М)) и ЖТ(Ж(М)) изо морфны. ■
Примерами комплексов, определяемых полиэдральным подразделением гладкого многообразия, могут служить построенные в п. 2 .2 , гл. I для окружности, сферы и тора.
Из приведенной теоремы следует, что размерность
подпространства 91' равна |
соответствующему |
ч и с л у |
Б е т т и . Отметим, что для |
гладкого компактного |
много |
образия это число всегда конечно.
Для заданного М изоморфными оказываются не толь ко группы ЖГ(К), Жг (Ж), но и упоминавшиеся в § 2,
гл. I к о |
л ь ц а |
когомологий. Цри этом в К операция ум |
ножения |
дается |
умножением Уитни (гл. I II ), а в Ж — |
внешним умножением дифференциальных форм.
Теорема де Рама, хотя и остается несколько в стороне от основной линии изложения, играет фундаментальную роль в выяснении принципиальных установок данной мо нографии. Теорема устанавливает, что некоторые; важ нейшие характеристики такого объекта, как дифференци руемое многообразие, могут быть получены, с одной сторопы, в результате изучения заданной на нем контину альной структуры, а с другой — в результате анализа со ответствующей «конечной модели» алгебраического харак тера, даваемой полиэдральным подразделением.
Следует отметить, что мы привели простейший вари ант теоремы де Рама, допускающей далеко идущие обоб щения (например, [38])
104 |
АНАЛИЗ НА РИМАНОВОМ МНОГООБРАЗИИ |
[ГЛ. II |
||||
Возможность использованного в (8 ) отождествления |
||||||
•№'=3^ |
составляет содержание т е о р е м ы Х о д ж а . По |
|||||
следняя |
утверждает, |
что в |
качестве б а з и с а |
простран |
||
ства 2/ёг(Ж) |
можно |
взять |
формы, |
являющиеся |
г а р м о |
|
н и ч е с к и м и |
[39], [65]. |
|
|
|
||
Само разложение |
(8 ) для произвольного гладкого» мно |
|||||
гообразия М носит |
наименование |
т е о р е м ы |
Ко д а й |
ры [39].
Вдальнейшем мы приведем модификацию результатов § 2 в- случае многообразия с границей. Именно этот слу чай важен при изучении граничных задач для уравнений с частными производными.
§ 3. Инвариантные системы первого порядка
3.0. Предварительные замечания. Заголовок означает, что речь пойдет о системах дифференциальных уравнений с частными производными 1 -го порядка, записываемых с помощью операторов d и б. Системы эти тесно связаны и с уравнением Пуассона и с ортогональными разложени ями, рассмотренными в § 2. Инвариантность понимается в том смысле, что форма записи уравнений сохраняется при любой замене координат (с учетом индуцируемого заменой преобразования метрического тензора).
Поскольку рассмотрения по-прежнему ведутся на мно гообразии без границы, внимание в значительной мере оказывается сосредоточенным на формально-алгебраиче ской структуре уравнений. Исследование разрешимости опирается на разложение (8 ), § 2 .
3.1. Классические инвариантные системы. Прилага тельное «классические» означает, что в данном пункте мы предполагаем размерность М равной двум или трем, и в результате имеем дело с объектами, хорошо извест ными в евклидовом случае;
С простейшей системой интересующего нас вида мы уя£е встречались: это однородные уравнения
Ло = 0, бсо — 0, toe И1,
где с£, б — замыкания соответствующих дифференциаль ных операций (п. 2.2). Решения суть элементы Э1д (гар монические формы).
Рассмотрим соответствующие неоднородные уравнения
$со = /е .Н 2, бсо = h е Н°* |
(1) |
§ 3] ИНВАРИАНТНЫЕ СИСТЕМЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Ю5
предполагая dimM = 3. Система (1) будет; как очевидно, переопределенной (неизвестных функций-компонент © — три, а уравнений — четыре). Дополнительным необходи мым условием разрешимости (1 ) является требование
# = 0 .
Разложение (8 ), § 2 , примененное к* И2, указывает воз можность избавиться от переолределенности, сделав си
стему |
(1 |
) разрешимой при любом /е9?дс:1Н 2. Доста |
||
точно, |
ввести дополнительную |
неизвестную |
функцию |
|
Ф Е Н 3, |
записав вместо (1 ) |
|
|
|
|
|
dco + бф = /, |
б© = h. |
(2 ) |
Для второго из уравнений, как в (1), так и в (2), условие й е К’д с № также необходимо для разрешимости (в дан ном случае 9^ = %*). Окончательно, разложение (8 ), § 2 и результаты п. 2 . 2 дают
У т в е р ж д е н и е |
1. |
Для любых /, |
существует |
единственное обобщенное решение; системы |
(2 ) ^удовлет |
||
воряющее условиям ©д = |
фд == 0 . ■ |
обобщенным, |
|
Указание на то, |
что |
решение является |
связано с использованием определенных в п. 2 . 2 расшире ний операций d, б.
, В обозначениях векторного анализа |
(п. 2.1) система |
(2 ) .эквивалентна системе |
|
rot© + grad ф = /, |
^ |
div © = g, |
|
изучавшейся рядом авторов [3], £6 6 ].
Займемся теперь некоторыми свойствами, системы (2) , весьма существенными для обобщений; Заметим, что в ка
честве, неизвестных |
в (2 ) входит совокупность (©, ф) |
|||
форм н е ч е т н о й |
степени, а в качестве правых частей |
|||
совокупность |
(/, h) |
форм |
ч е т н о й |
степени. Вводя обо |
значение (©, |
ф) = ©1 , (/, |
h) = /и, запишем (2 ) символи |
||
чески в виде |
|
|
|
|
|
|
Zr©I — /ц |
(£) |
и рассмотрим транспонированную (формально сопряжен ную) систему, содержащую оператор L*, определяемый со отношением
(L&i, Хи) = (®1 ? Ь4хи),
где Хи ~ совокупность достаточно гладких форм четной
106 |
АНАЛИЗ НА РИМАНОВОМ МНОГООБРАЗИИ |
(ГЛ. Й |
степени. Система |
|
|
в развернутой записи будет иметь вид |
№*) |
|
|
||
|
<*Х(0) + бХ(2, = g(1 ), dX(2, = ^(3), |
(4) |
тде индекс в скобках — степень соответствующей формы. Уравнения (4) в свою очередь могут рассматриваться как аналог (3). Для них очевидным образом справедливо утверждение, аналогичное утверждению 1 , относящемуся к (2). Сформулируем окончательный результат для си стем (L)f (L1), используя обозначения, смысл которых
очевиден.
Т е о р е м а 1. Для любых fu, g существует един ственное обобщенное решение систем (L), (Ц), удовлет воряющее условию
OI IA = % н 1д = 0. ■
Обратимся теперь к случаю dimM = 2, остановившись специально на вопросе о «двумерном векторном анализе». На основе проведенных рассмотрений нетрудно указать двумерные аналоги систем (L), (£*). В развернутой за писи они будут иметь вид
^®(1)=/(2)? |
6 ©(2) = / ( 1 ) |
г |
Й0)(0) + |
(5) |
|
6 (0 (1 ) = /( 0), |
|
|
(вместо ©, /, х» S |
мы используем |
теперь обозначения |
0 , / для совокупностей как четных, так и нечетных форм).
В евклидовом случае уравнения (5 ) — неоднородные |
си |
стемы уравнений Коши — Римана (отличающиеся |
зна |
ком).. Если считать, что компоненты 0 (i)— пара функций
0 1 , 0 2 , то первая из систем |
(5) будет иметь вид |
|
|
Дс02 *—Dv®\ — /(2), |
—Д«01 |
Dy®2 — /(0), |
(L) |
а вторая — |
|
|
|
Dx®(0) + Dy(o(2) = fu |
Dv®{0) “ |
Dx®(2) “ /2 * |
(L'l |
Таким образом, системы (2), (4) являются, в исполь зуемом круге идей, трехмерными аналогами уравнений Коши — Римана. Это отмечалось в [3], [6 6 ]. На некоторых результатах, связанных с указанной аналогией, мы оста новимся в тг-мерном случае.
§ 3] ИНВАРИАНТНЫЕ СИСТЕМЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Ю7
Для систем (5) очевидным образом справедлив соот ветствующий аналог теоремы 1. Отметим при этом, что
наши обобщенные |
решения систем ( £) ,( £*) являются,, |
в действительности, |
«почти классическими», т. е. при лю |
бых правых частях из Нг принадлежат соответствующим |
пространствам W, определяемым, как в п. 2.2. Мы оста новимся на этом подробнее в га-мерном случае.
Теперь — о двумерных аналогах операторов векторного анализа. Если принятие операторов
с£б)(0) = (Х?Л0 (0), 2 ?у(0 (0)),
—Dx®\ + Dy(й2
вкачестве градиента и дивергенции не вызывает сомне ний, то вопрос Ьб аналоге ротора приводит к неоднознач
ному ответу. «Ротором» можно считать и оператор d: Н1*-^
С?(0 (1 ) “ /?зс(Й2
и оператор б:
бб)(2) — (-DJ/©(2), Dx®(2))»
Таким образом, в двумерном случае неизбежно высту
пают |
на сцену |
все ч е т ы р е . варианта |
операторов d, |
б |
|||
(число которых, |
при |
dim Ж = га, равно |
2га). Как |
отмеча |
|||
лось, |
возможность обойтись в случае |
dim М — 3 |
тремя |
||||
операторами связана |
с использованием |
разобранной |
в „ |
||||
п. 2 . 1 |
двойственности |
|
|
|
|
|
’1Н° — IH3,[Н1—[Н2.
3.2.Многомерные уравнения Коши — Римана; индекс.
Как |
в предыдущем пункте мы перешли от систем (2), |
(4 ) |
к соответствующим двумерным системам, так теперь |
введем их галерные диалоги, которые будем называть
многомерными системами Коши — Римана. При га четном, в обозначениях, использованных в (5), будем иметь
Sffl(l) “ /(О)»' d(D(l) + 6(0(3) =/(2),
.............................................. (L) do)(n—3) "Ь б(0(п~1) — /(п-2)>
Й(0(Л-1) -= f{n)]
108 |
АНАЛИЗ НА РЙМАНОВОМ МНОГООБРАЗИИ |
[ГЛ. II |
|
|
d(O(0) + 5 (0 (2 ) = |
/<1), |
|
|
d(&(2) "Ь 6(0(4) “ |
/(3)» |
|
|
|
|
(? ) |
|
d(0 (n-2) Н" бсо(П) = |
/(п—1 )? |
|
где |
со(г) — совокупность компонент |
формы соответствую |
щей степени. При ?г нечетном вид. последней строки в каждой из систем будет иной:
(l(d(rv—2)-^~ 6(0(») |
/(я —1) ДЛЯ (-£/>) , |
Й(0(я-1) |
= f(n) ДЛЯ ( L ) . |
Каждая из систем будет содержать 2П“! неизвестных ^функций (компонент форм) и такое же количество урав нений.
Воспользовавшись тем, что (d + 6 ) (d + 6 ) = d6 + 8d = = —Д, немедленно заключаем, что квадрат характеристи ческого определителя для каждой из систем (L ), (1?) имеет вид
(й + - • • + Й )1 (следовательно, в самом определителе надо заменить по
казатель степени на 2 П~2) . |
со |
' Напомним, что через (оп (через coi) обозначаются |
|
вокупности всех форм четной (нечетной) степени. |
Ис |
пользуя цепочки ортогональных разложений пространств
1НГ и те же рассуждения, что и в п. 2.2, п. 3.1, Получим аналог теоремы 1 .
Т е о р е м а 2. Для любых /г, /п <= 9iAсуществует един ственное решение .систем (L), (IS), удовлетворяющее ус ловиям
(OiL = й)и1д = 0 . ■ |
(6) |
Из теоремы 2 и рассмотрений п. 2.3 следует интерес ное утверждение, относящееся к так называемому ин дексу рассматриваемых систем, определяемому как раз ность между числом условий на неизвестные функций, обеспечивающих единственность решения, и числом усло вий на правые части, обеспечивающим разрешимость. В обычных обозначениях
ind L = dim Ker L — dim Coker L
(зачастую индекс определяется также как разность числа
§ 3] |
ИНВАРИАНТНЫЕ СИСТЕМЫ ПЕРВОГО ЙОРЯДКА |
109 |
линёйно независимых решений данной и сопряженной однородных систем).
В нашем случае/согласно теореме 2,
ind L* - 2 |
(— l)k dim |
= - |
ind L, |
fe= 0 |
' |
|
|
где 91д— подпространство 91а, лежащее в |
IHfe. |
Как было отмечено в п. 2.3, dimS^ = В%, т. е. совпа дает с соответствующим числом Бетти для М. Альтерни рованная сумма чисел Бетти называется эйлеровой харак теристикой М (см. [2 1 ], [31]). Отсюдё ползаем
У т в е р ж д е н и е 2. Для систем типа Коши — Рима- на, рассматриваемых на многообразии М,
indL* = %(М) = —ind L.
Остановимся на принадлежности обобщенных решений пространствам W. В общем случае, как й В п. 2.2, про
странство W срИг получается пополнением линейного
многообразия - IbfQC1—по норме, порождаемой скалярным произведением
{со; %}= (dco, йх) + (бсо, 6 х) + (<0 а/ х*) •
Рассматривая скалярные квадраты правой и левой части каждого из равенств, входящих в (L) (в (L*)), и пользу ясь тем, что для-гладких форм (d<a, бы) =^0 , а исследуе мые решения являются сильными (допускают гладкую аппроксимацию), получаем для каждой из форм, входя щих в систему (и удовлетворяющих, условию (6 )), оцен ку суммы (do), йш)"Н(бсо, 8 <о) через правые части. Сово купность этих оценок даст
I®i, W |2 —
=(ctoi, d^i) -Ь (Scoi, 5coi) = | Lm, [Н|2 = ] /и, !Н|2. (7)
Аналогичная оценка справедлива, очевидно, и для форм 0)ц, входящих в (L*).
Из (7) следует принадлежность обобщенного решения пространству W, и одновременно— независимое от ис пользования ортогональных разложений доказательство
теоремы 2. Действительно, единственность решения для |
|
(L) следует непосредственно из (7), а |
существование — |
из того, что ортогональное дополнение |
в 31д к l№(Zr) при |
надлежит , т. е, пусто (здесь мы снова используем
110 АНАЛИЗ НА РИМАНОВОМ МНОГООБРАЗИИ [ГЛ. И
эквивалентность слабых и сильных определений операто ров L, L1).
То же рассуждение применимо к (£*).
П р и м е р 1. Единственным гс-мерным компактным многообразием без границы, допускающим введение ев клидовой метрики и потому идеально приспособленным для анализа многочисленных моделей, является га-мерный тор Тп. Простейшим способом его получения (именно с указанной метрикой) является отождествление противо положных граней n-мерного параллелепипеда. Это соот ветствует, при работе с функциональными пространства ми, рассмотрению функций, подчиненных в параллелепи педе соответствующим условиям периодичности.
В частности, входящее в наши рассмотрения про странство W определяется в этом случае как пополнение в соответствующей метрике линейного многообразия глад ких периодических функций. Из такого способа построе ния W немедленно следует, что на торе всякая гармони ческая форма — система констант. Воспользовавшись-тео ремой Ходжа, заключаем, что для тора числа. Бетти совг
падают с биномиальными ^коэффициентами: Вр = С% (равны размерности соответствующего пространства р-ко-
- векторов). В итоге, из теоремы 2 получаем
У т в е р ж д е н и е 3. 5 параллелепипеде V с= Ы для систем (L), (L*), при любом наборе правых частей, орто гональных константам, существует принадлежащее W(V) периодическое решение, определенное с точностью до 2 П“* произвольных постоянных.
С л е д с т в и е . |
В указанных предположениях |
|
ind L ~ ind V = 0. |
П р и м е р 2. |
Для га-мерной сферы Sn, как нетрудно |
проверить, 5о = 1, Б» = 1, а остальные числа Бетти — ну ли. Таким образом, %(Sn) = 0 при нечетном п и %(Sn) ~ 2 при летном п, что и определяет индекс систем (L), (L4)
вэтом случае.
3.3.Правильные инвариантные системы; спектр. Оче видно, что на многообразий произвольного числа измере ний набор инвариантных систем, т. ё. систем, записывае мых с помощью операторов d, б, далеко не исчерпывается
рассмотренными аналогами уравнений Коши — Римана. В § 6 мы остановимся на некоторых классических урав нениях'математической физики, допускающих подобную