книги / Многомерный анализ и дискретные модели
..pdf§ 5] МНОГООБРАЗИЯ С ГРАНИЦЕЙ 131
Не приводя точных определений, укажем, что в при мере 2.с, п. 2.2, гл. Г таким относительным циклом будет элемент #1 Хе\ (и ли ^ Х е ) , порождающий цикл на М (гомеоморфным в этом случае тору), не гомологичный циклу е{X ух + е2X у у.
Для форм со, гармонических на М (удовлетворяющих
равенствам |
,dcD — бсо = 0), |
оказывается справедливым |
следующий вариант теоремы Ходжа: |
||
У т в е р ж д е н и е 1. Для |
заданного базиса гомологий |
|
1 г Ы , |
" на многообразии М описанной структуры |
существуют четные (нечетные) гармонические формы
и\Р) (соответственно У(Р>) |
такие, что |
|
.[ |
J V(P) = |
|
r(p) |
V(P) |
|
h J *f • • • » |
к, l — 1, . . . , Врл |
(2) |
где 6f — символ Кронекера. Четная (нечетная) гармо ническая форма, все интегралы от которой по циклам
Г(Р) (или У(Р)) равны нулю, есть нуль.
Утверждение вытекает из результатов, приведенных в [61], [65].
Поскольку всякое решение однородной системы (L),
(V) является гармонической формой и, обратно* всякая ненулевая гармоническая форма дает нетривиальное ре шение соответствующей однородной системы, из утверж
дения 1 уеледует |
* |
У т в е р ж д е н и е |
2. При рассмотрении четных форм |
необходимым и достаточным условием разрешимости си стемы (L) (или (Ьх)) является выполнение условий
(/(р)> Ц(р)) в 0, i — 1» ... »В р
для всех четных (нечетных) значений р. При выполне
нии дополнительных условий{ы>1Р^ и\Р))=* 0, i = 1, . . . , Bpi где р принимает все нечетные (четные) значения, ре шениеединственно.
Из утверждений 1, 2 следует результат теоремы 1, относящийся к четным формам. Сохранение; его при' пе реходе к нечетным\ формам следует из теоремы двой
ственности ([30], с, |
270) |
для |
многообразий |
с |
границей: |
У т в е р ж д е н и е |
3. |
Для |
многообразия |
V' |
размернд- |
сти п справедливы равенства |
Вр = Вп^р, р = 0,1, . . . , и. |
132 АНАЛИЗ НА РИМАНОВОМ МНОГООБРАЗИИ [ГЛ. II
П р и м е р |
1. |
Пусть У '— шаровой слой 1 < г < 2 ? |
г1 =* х2 + у2 + z2. Определим формы |
||
|
1 |
z dx Д -dy —• у dx Д dz х dy Д dz |
= |
|
^ |
yu) = |
1 х dx -f- у dy -j- ^ dz |
|
т |
---------- — ----- • |
Непосредственно проверяется, |
что щ2> непрерывна при |
четном, a P(D — при нечетном |
продолжении на М = V' U |
U V". Будучи гармоническими, они дают для М формы, |
удовлетворяющие (2). Наши стандартные |
задачи будут |
|
иметь в V индекс. 2. |
|
с удаленны |
П р и м е р 2. Пусть V — га-мерный шар |
||
ми N шарами меньшего .радиуса, |
лежащими целиком |
|
внутри V'. Тогда для V' UV" = М |
будем иметь |
В о - 1, В ’к-\ = N ,
аостальные числа Бетти равны нулю, т. е.
x( r ) = i + ( - i ) n- w .
Таким' образом, при N = 0, .1, 2, ... получим для четных
п значения %= 1, 0, —1, —2, |
..., а: для -нечетных — %== |
||
= 1,,2,- 3, ... Заметив еще, |
что для" тора %(Тп) = 0 |
(при |
|
мер в п. 3.2) и включая |
условия периодичности при |
||
рассмотрении .(LL (L‘) |
в |
параллелепипеде в |
класс |
«стандартных» задач, получим |
|
|
|
У т в е р ж д е н и е ' 4. В |
евклидовом пространстве про |
извольного числа измерений для любого целого m можно указать область, систему уравнений и класс граничных условий, такие, что индекс соответствующей задачи бу дет равен т.
. 5.2. Ортогональные разложения. Напомним |
формулу |
(8), § 2: |
|
нг == 3td е з*б е Яд. |
(3) |
Построения § 4 позволяют немедленно получить анало гичный результат для пространства ВНГ(У'), где V' — произвольное гладкое, многообразие с границей (М — = V' UV" по-прежнему предполагается компактным).
Действительно, .достаточно, предположить, что рас смотрения проводятся на М в^ подпространствах четных или нечетных форм, т. е. элементы из 3><*, S)e (областей определения соответствующих операторов) подчинены граничным .условиям вида (6), (7), § 4, использовав
§5] |
|
МНОГООБРАЗИЯ С ГРАНИЦЕЙ |
1 3 3 |
шимся |
в |
граничных задачах для (L), (L1). |
Из рассмот |
рений |
п. |
1 следует, что подпространство |
будет при |
этом конечномерно и размерность его, в зависимости от четности или нечетности рассматриваемых форм, опре деляется числами Бетти В'р,Вр.
Отметим еще, что иногда на многообразии с границей (в частности,' в области евклидова пространства) испрльзуется и другой вариант-разложения (3) (упоминав шийся в § 2), в котором операторы d, б рассматривают ся первоначально на гладких финитных формах, а затем берется их замыкание в ОН. В этом случае (при невы рожденной . границе) подпространство ' 91д оказывается
бесконечномерным' подпространством 0НГ (V' ) . 1 Принадле-. жащие ему элементы, свободны теперь от каких бы то ни было граничных' условий и являются гармоническими
вкаждой внутренней точке F'.
5.3.Интеграл Коши. Вернемся к предположению, что.
F — область !^п с достаточно гладкой |
границей Дне пиг |
шем V', поскольку дубль и четность |
форм и рассмотрег |
ниях не участвуют).. Будет теперь удобно объединить системы (L), (Ь1)- рассматривая совокупность уравнений.
|
|
Ясо^(с(+б)со = /, |
(4) |
||
в которой |
(о, |
/ — наборы |
форм |
всех степеней |
(со = |
— со(0), . |
(0 (п), |
аналогично |
для |
/). Сохраним название |
формы (теперь неоднородной) , для такого агрегата. Име
ем в результате Ю = К и, пользуясь |
формулой (2), |
§ 1, |
|
можем записать формулу Грина для |
(4) в виде |
|
|
(Ка>, x)v = |
J [<о Д * х — X A |
+ (“ . ^X)v- |
(5) |
.. |
«V |
|
|
Эта^ формула— основа всех дальнейших рассмотрений. Назовём со голоморфной, если .йГсо — 0. Введем* в рас
смотрение голоморфную форму е, все компоненты кото
рой — единицы. |
Предполагая, что |
со |
также |
голоморфна |
||
и полагая в (5) |
%= £, |
получим |
для, любой |
подобласти |
||
U с: V (в предположении регулярности idU) |
|
|
||||
|
f [со Д %е —е Д ^со] = |
0. |
|
(6) |
||
&и |
|
|
К о ш и ) . Для |
го |
||
У т в е р ж д е н и е 5 |
( т е о р е м а |
|||||
ломорфной формы со интеграл вида |
(6) \ от |
каждой |
из |
|||
ее компонент <о^..лр(х) |
равен нулю. |
|
|
|
134 |
АНАЛИЗ НА РИМАНОВОМ МНОГООБРАЗИИ |
|
[ГЛ. II |
|||
Утверждение подразумевает, .что равенство |
(6) |
сохра |
||||
няется, |
если вместо |
е взять |
форму |
.*р> |
где |
компо |
нента |
с указанным |
набором |
индексов — единица, |
а ос |
||
тальные —нули, я |
|
|
|
избавляю |
||
Равенству (6) можно, придать другой вид, |
щий от необходимости дополнительных пояснений. Вве дем в рассмотрение двойную форму [39]:
е(х, у) = 2 . 2 - d x 1Д .. / Д d x v Д d y 1Д . . . Д d y p,
считая, что dx*, dy3 коммутируют при внешнем умноже нии и операторы d, 6, действующие по *х (по у), коммутируют с dy’ (с dx*). Тогда равенство
X (У) = . f [ш Д * (х , у)—е (х, у) Д * «а»]' = 0, (7)
атт
в котором 'интегрирование ведется по переменным х , означает обращение в нуль всех коэффициентов, формы %(у), что эквивалентно утверждению 5.
Двойная формате (а:, у) удобна также при записи ана лога интеграла Коши. Пусть
|
у (X, У ) = е (х, у) г2-" , |
г2 = |
2 ,(** — Ук¥- |
|
||||
|
|
|
|
|
k=l |
|
|
|
У т в е р ж д е н и е |
6. |
Если |
со(#) |
голоморфна в V^>U, |
||||
то для х ^ |
U |
|
|
|
|
|
|
|
®(*)= с„ ] [Куу(х, у)/\ *у<о(у) — со(у)Д *уКуу (х, у)) |
(8) |
|||||||
|
|
0С7 |
|
|
|
|
|
|
(интегрирование по у ).“ |
достаточно |
положить |
в (5) |
х |
||||
: Для |
доказательства |
|||||||
= K j |
и |
заметить, |
что • К2у = — |
«= 8у(х) |
(«б Дира |
ка»). я Аналогично может быть вйеден интеграл типа Коши.
У т в е р ж д е н и е 7. Если форма со непрерывна |
на |
дУ, то форма |
|
X И = I f^y? (Ж, у)Д '* уИ (у) — СО(у) Д * ук уу (х, у)] |
(9) |
dV |
|
(интегрирование по у) голоморфна в Rn\ d V .* я
В этом случае для % могут быть получены, формулы скачка и рассмотрено представление %(#) ПРИ
§ 61 НЕКОТОРЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ |
135 |
использующее г л а в н о е з н а ч е н и е интеграла |
(9) |
(cp.,[3J).
Наиболее нетривиальным из результатов рассмотрен ного типа является теорема Морера, установленная впер вые при п = 3 в работе ,[66], а в общем случае — в [37] (в [37] содержатся одновременно подробные доказатель ства утверждений 5—7).
У т в е р ж д е н и е 8 ( т е о р е м а М о р е р а ) . Пусть
форма со (ж) непрерывна в У czR71, и для нее выполнено равенство (7) при интегрированиии_ по границе (доста точно регулярной) любой подобласти U с: V. Тогда для о (я), справедливо представление вида (8), г. е. она го ломорфна в У.,.и
§ 6. Некоторые уравнения математической физики
6.0.Предварительные замечания. Риманов форма лизм, .называемый также дифференциально-геометриче ским подходом, распространенный зачастую на комплекс ный случай и значительно более развитый (использую щий понятия кривизны, связностей, теоретико-групповые методы и т^ дь), является рабочим аппаратом ряда важ ных направлений современной теоретической чфизики (например, [58]). Мы, однако, ограничимся сугубо, клас сическими примерами, относящимися к гидро- и электро динамике.
В контексте общих установок книги инвариантная трактовка тех 1гли иных задач важна, в частности, по стольку, поскольку-она автоматически приводит к неко торым дискретным аналогам.
6.1.Уравнения Эйлера. Указанные в заголовке урав нения описывают^ движение так называемой идеальной (невязкой 1и несжимаемой) жидкости. Их инвариантная трактовка допускает различные интерцретации. Мы со средоточим внимание на предложенной в [20].
Вплоском стационарном случае, при отсутствии внешних сил, классическая форма записи уравнений Эйлера имеет вид
uDxu + vDvu + Пхр —0, uDav+vDyV + Dvp =**О,
(1)
Dxu + Dyv = 0,
где пара функций (и, v) задает поле скоростей, а—р — давление. Последнее уравнение (требование равенства
136 |
АНАЛИЗ НА РИМАНОВОМ МНОГООБРАЗИИ |
[ГЛ. II |
нулю дивергенции — несжимаемость)' есть следствие со ответствующего интегрального соотношения и немедлен но приводят к заключению (ср.^начало п. 2.1), что речь идет о поле ковектора u = (u, у), а функция р(х, у) является скаляром. Инвариантной формой последнего из уравнений (1) будет равенство
( 2)
(условие соленоидальности), что эквивалентно соотно шению
би==0. (3)
Естественно рассмотреть другую характеристику по ля и: 2-форму ейt. Следуя традиции, введем эту харак теристику, полагая
dn = * tо, |
(4) |
где со — так называемый вихрь поля 1t |
(в двумерном |
случае он должен быть скаляром, а в трехмерномV-ко- вектором).
Уравнения (1) можно рассматривать как задающие некоторую:, специальную связь между du и 8tt, рь мы да дим инвариантную запись этой связи, предполагая заод но, что соотношения (2), (3), (4) записаны для ковектора U в га-мерном случае.
Форму %^ Лп"2 назовём множителем поля tl, если |
|
||||
т. е. если для и Д % снова |
выполнено соотношение |
ви |
|||
да (2). |
|
Поле |
It эйлерово, если eip вихрь |
||
О п р е д е л е н и е . . |
|||||
является одновременно множителем, т. е. если |
|
||||
|
d;|<(lt Д ю) = ± |
d;J<(lt Д >)( 3tt) = 0 |
(5) |
||
(мы воспользовались тем, что ±<» = ^3tt). |
|
||||
В односвязной области йз (5) |
следует существование |
||||
скаляра у такого, что . |
|
— dy |
|
||
|
^ |
(и Д |
dlt) = |
(6) |
|
(знак |
«—»—.дань традиции). При га = 2 в координатной |
||||
записи |
(6) дает |
|
|
|
|
—V(ДсУ— Dvu) + Д/f = О,
(7)
u(Dxv — Dvu) + Dyif= О!
§ 6] НЕКОТОРЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 137
что соответствует так называемой форме Громеко — Лэм
ба [28] уравнений Эйлера. Переход от (1) к |
(7) соответ- |
|
ствует-замене у = р + -у (и2 + v2). Скаляр |
у называют |
|
иногда |
д и н а м и ч е с к и м д а в л е н и е м . |
Аналогичный |
переход |
от. (6). к соответствующей координатной форме |
уравнений Эйлера имеется и при п = 3.
Равенство (5)—-часто используемое в гидродинамике следствие уравнений Эйлера, одна из форм «закона со хранения вихря». Остановимся на инвариантной записи некоторых других классических соотношений. Применяя к (6) оператор ^ и домножая (внешне) на и, получим
it Д ^d y =f О,
что соответствует теореме Бернулли. Простейшее нетри виальное решение уравнений (5) можно подучить, пола гая Й1Г=0. Такие течения называют потенциальными.
Соленоидальность (справедливость равенства (2)) эквивалентна, по'крайней мере локально, существованию формы ф А2 такой,* что U =? бф (использовано,* по суще ству, не (2), а (3)). В двумерном^ случае ф (точнее, %ф) — классическая функция тока; при п = 3 — «вектор» тока. Заметив, что всегда можно предполагать Йф« О (при тг = 2 это выполняется автоматически), воспользо вавшись (4), получим
—Дф = (Й5 + бй) ф = >Ксо. |
|
|
Отметим еще, что при п = 2 из (5) |
следует |
йф Д< |
Д йсо = Оу что дает зависимость функций |
со и ф |
(равен |
ство нулю соответствующего якобиана). |
|
|
Сделаем некоторые замечания, относящиеся к неста ционарному 'случаю. Стандартная форма уравнений име
ет в этом случае вид |
|
-g. + *(ttV\>Mu)+dY = 0. |
(8) |
Получим отсюда один из классических законов сохране
ния. >Применим к (8) |
оператор % и домножим слева на |
|||
it (внешне): |
■* |
.' |
|
|
|
«А * |
+ и Л |
= 0. |
(9) |
Но U Д |
— dy Д >Ци, и одновременно |
|
||
|
Г d y /y ^ u ^ |
Г «2 (V Д *tt)— [у Д d * tt. |
(10) |
V V V
138 |
АНАЛИЗ НА РИМАНОВОМ МНОГООБРАЗИИ |
[ГЛ. II |
|||
Последний член |
в (iO) |
равен нулю 'в |
силу |
d^u==0, |
|
а предпоследний |
(после |
перехода к интегралу по dV) |
|||
обращается в нуль при условиях |
или |
^ular — O. |
|||
Таким образом, интегрируя (9) по области V и исполь |
|||||
зуя сделанные замечания, получим |
|
|
|||
|
Л ~Qt ^ u== ~Т1п |
V |
|
= |
|
|
V |
|
|
|
Остается проинтегрировать это равенство в пределах от
Одо Т.
Сдругой стороны, применяя к (8) оператор <2, а за
тем |
оператор |
получим |
так называемое |
уравнение |
Гельмгольца для вихря: |
|
|
||
|
•^-й> + >М йф А ©) = о |
|
||
(мы |
не заменяем |
на |
б; чтобы избежать |
неопреде |
ленности в знаке). Подчеркнем, что введенный форма лизм автоматически дает запись аналогов классических уравнений в евклидовом пространстве (или на много образии) произвольного числа измерений.
Одновременно укажем; что приведенные рассмотре ния отнюдь не " исчерпывают возможностей дифферен циально-геометрического подхода к уравнениям (1). Так, уравнения (8) могут быть записаны в виде
T S H *(«■»)•
где о) — эдемент некоторой алгебры Ли а и В: а Х а - > а — некоторая, билинейная операция [59]. Если а — ал гебра Ли группы 50(3), то записанное уравнение — классическая система уравнений Эйлера, описывающая
движение твердого тела |
с .закрепленной точкой, |
в кото |
||
рой со — вектор угловбй |
скорости в |
системе |
координат, |
|
жестко связанной с телом. |
что в |
(1) |
члены, |
|
Если же использовать тот факт, |
содержащие произведения и, v на производные, могут быть записаны как производная Ли {47] от U по вектору /и, /: Л1 Г1, то уравнения (7) запишутся в виде
(/1J)j dn + dy = О,
где J — операция., так называемого внутреннего умно жения вектора на ковектор {47]. Такая форма записи была использована в [16].
8 61 |
НЕКОТОРЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ |
139 |
|||||||||||||
|
6.2. |
Некоторые специальные |
течения. В |
этом пункте |
|||||||||||
мы коснемся двух вопросов. Во-первых, полезности ин |
|||||||||||||||
вариантной формы записи уравнений при переходе к ко |
|||||||||||||||
ординатным система'м, |
отличным |
от |
декартовой |
(т. е. к |
|||||||||||
метрике, отличной от евклидовой); во-вторых, некоторых |
|||||||||||||||
способов изучения структурных свойств эйлеровых |
(т. е. |
||||||||||||||
описываемых |
решениями |
уравнений |
(1)) |
течений. Пер |
|||||||||||
вая |
тема |
перекликается |
с содержанием п.'1.2, вторая— |
||||||||||||
с содержанием § 4, гл. III. |
уравнения |
(.1) |
на |
двумер |
|||||||||||
|
П р и м е р |
1; |
Рассмотрим |
||||||||||||
ной сфере радиуса г. Воспользовавшись обычной формой |
|||||||||||||||
записи сферических координат |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
х = |
г cos ф, |
|
у = |
г sin ф cos 6*, |
z —г sin ф sin О, |
|
||||||||
можем считать сферу |
параметризованной переменными |
||||||||||||||
|
|
|
|
О < ф < я, |
0<Ф -<2я;. |
|
|
|
|
||||||
Представив и в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
lt = |
w(ф, 'б’)Йф + У(ф,,'0') Й'0' |
|
|
|
||||||||
и заметив, что |
метрический |
тензор |
имеет |
компоненты |
|||||||||||
|
|
£и = Г2, |
£22 = Г2 sin2 <р, |
£ 1 2 = О, |
|
|
|
||||||||
можем записать |
(см. § |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
^11 = |
1 1 |
v dw — sin сри d$ |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
—— |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
Sin ф |
т |
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
(как и следовало ожидать, при этом |
II Д ^ и = |
(п2 + |
|||||||||||||
+i>2)r2sin ф). |
Воспользовавшись |
(2) |
и |
вводя |
функцию |
||||||||||
тока >И1 = Л|> (несколько отклоняясь от обозначений п. 1', |
|||||||||||||||
мы не используем оператора б), получим |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
^ |
= Ж ф ’ |
Ф# = (— si?<P)“ - |
|
|
|
|||||||
Соотношение между вихрем и функцией тока: —Д-ф= © |
|||||||||||||||
примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Ар (Ффsinf) + А> (- ^ - ) = ra©sin ф. |
|
(i 1) |
|||||||||||
Равенство |
(5) |
немедленно приводит к; связи |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
‘ффСОф — |
|
= |
б, |
|
|
|
|
|
||
имеющей инвариантный характер и ту же. форму, что и |
|||||||||||||||
в плоском случае. |
на 'поверхности |
сферы |
разрешимо |
||||||||||||
|
Уравнение |
(11) |
лишь при условии ортогональности, со константам:
140 АНАЛИЗ НА РИМАНОВОМ МНОГООБРАЗИИ [ГЛ. II
J^ o )= 0. Соответственно, простейшее эйлерово течение —
вращение «жидкости» как целого: |
<ф(ф, $) = 09 и=± 0, |
|||
v ——sin ф, ш == —r~2ctg ф, ф Ф 0, л . |
|
течения |
||
П р и м е р 2. |
Рассмотрим осесимметричные |
|||
([34], |
гл. 15). Пусть (х, г, 'О')— цилиндрические |
коорди |
||
наты |
(у = г cos -б*, |
z = г sin й*) и ось |
х — ось симметрии |
течения:
,11 = и (х, r)dx + v ( x ,г) dr + w(x, r)dft.
Под осесимметричным принято понимать плоское осе симметричное течение, т. е. полагать Снова сот гласно § 1
1 |
(12) |
— — w dx Д dr rvdx Д d§ + го dr Д rfflv |
|
Равенство (2) дает го* + rvr+ v = 0 — классическую |
фор |
му записи в цилиндрических координатах равенства ну-
лгр дивергенции [34]. |
Одновременно |
(2) |
влечет сущест |
||
вование |
(по крайней |
мере;—^ локально) |
ковектора я|> = |
||
==ip\dx + ^ 2dy + tyzdz, |
для |
которого |
^ф = |
%tt. Учитывая, |
|
что |
= ф2,0 = 0, из |
(12) |
получим |
|
|
|
"Фз,г = —rv, |
*ф3,а = ГО, <ф2>« —*фЦ = 0. |
Последнее равенство интереса не представляет, а из двух первых следует существование так называемой функции Стокса S(x, г) == “фз(х, г) такой, что,
U = у- Srdoc----~ Srdr.
Вводя вихрь согласно (4)', видим, что (4) оказывается эквивалентным скалярному равенству
5— Sxx — Srr “Ь Sr = (0.
Условие (5) примет вид
Sx<*r ——Sг^х j,2S — 0*ч
Вдополнение к приведенным примерам отметим, что
иобычные процедуры отыскания вида —А в сферических координатах суть тоже частные случай приводимых -рас смотрений (так называемые «параметры Ламэ>>— йе что
иное как корни квадратные из компонент, gu, S22 , £зз метрического тензора).