- •Идеальные и реальные источники напряжения и тока, условия согласования с нагрузкой. Зависимости мощности и кпд от нагрузки.
- •Синусоидальный ток в резистивном двухполюснике- связь между током и напряжениями, векторная диаграмма.
- •5. Синусоидальный ток в индуктивном двухполюснике (идеальном и реальном) – связь между током и напряжениями, векторная диаграмма.
- •Последовательный окк – общие соотношения, векторные диаграммы, резонанс, ток и напряжения при резонансе.
- •3.2.5. Полоса пропускания
- •3.3.2. Параллельный колебательный контур с диссипацией в реактивных ветвях
- •Параллельный контур без диссипаций в реактивных ветвях – ачх и фчх, полоса пропускания.
- •3.3.2. Параллельный колебательный контур с диссипацией в реактивных ветвях
- •Коэффициенты связи двух связанных контуров – при индуктивной, автотрансформаторной и емкостной связей (внутри емкостная связь, внешне емкостная связь).
- •4.3.1. Коэффициент связи индуктивно связанных контуров
- •4.3.2. Коэффициент связи при автотрансформаторной связи контуров
- •4.3.3. Коэффициент связи при емкостной связи контуров
- •Эквивалентный контур для двух индуктивно связанных контуров.
- •Резонансная частота эквивалентного контура для двух индуктивно связанных контуров.
- •Уравнение резонансной кривой для двух индуктивно связанных контуров.
3.3.2. Параллельный колебательный контур с диссипацией в реактивных ветвях
Схема параллельного контура с диссипацией в реактивных ветвях представлена на рис.3.24,а.
Общие соотношения для контура.
Сопротивление контура. Сопротивление каждой из ветвей контура равно:
; , (3.69)
где ,
, .
Сопротивление всего контура (рис.3.24,б) равно:
.
В резонансных контурах выполняется условие:
R1<<XL; R2<<XC.
Тогда произведениями R1R2, R1XС и R2XL в числителе можно пренебречь. В знаменателе суммой (R1 + R2) пренебречь нельзя, т. к. при определенной частоте (ХL + ХC) равно нулю и на этой частоте будет выполняться условие:
(R1+R2)>>(XL+XC).
С учетом сказанного выражение для сопротивления контура принимает вид:
.
Обозначим R = R1 + R2.
Запишем окончательное выражение для сопротивления контура:
. (3.70)
Представим сопротивление контура (3.70) в показательной форме:
,
где
, . (3.71)
Напряжения и токи в контуре. Как отмечалось, контурный ток iК(t) имеет нулевую фазу и в комплексной форме имеет вид:
. (3.72)
Напряжение на контуре определяется очевидным выражением:
, (3.73)
где
Контурное напряжение приложено ко всем ветвям. С учетом (3.69) определяем токи в ветвях контура:
, где .
(3.74)
, где .
Токи в ветвях создают падения напряжений на элементах этих ветвей. Найдём напряжения на элементах ветвей (3.75):
,
где ;
,
где
; (3.75)
,
где ;
,
где .
Резонанс в контуре. Для рассмотрения резонансных свойств контура представим его сопротивление (3.70) в алгебраической форме. Умножим числитель и знаменатель (3.70) на комплексно-сопряженное знаменателю выражение и выделим вещественную и мнимую части:
. (3.76)
Резонансная частота контура может быть определена из условия равенства нулю мнимой части комплексного сопротивления контура. Из (3.76) видно, что условием резонанса является следующее равенство:
.
Тогда резонансная частота контура определяется известным уже соотношением:
. (3.77)
Сопротивление контура при резонансе, которое обозначим как , находится из (3.70) с учётом условия резонанса и имеет вид:
.
В соответствии с (3.71) получаем:
, . (3.78)
Напряжения и токи в контуре при резонансе определяются из (3.73), (3.74) и (3.75) с учётом значения модуля и фазы сопротивления контура на резонансной частоте (3.78). Тогда напряжение на контуре, токи в ветвях и напряжения на элементах ветвей определяются с помощью следующих соотношений (3.79):
,
где ;
, где ;
, где; (3.79)
, где ;
, где ;
, где ;
, гдe .
Для высокодобротных контуров R1 и R2 пренебрежимо малы по сравнению с ХL и ХC. Тогда можно считать, что
, .
По результатам (3.79) на рис.3.25 построена векторная диаграмма токов и напряжений одиночного параллельного контура с диссипациями в реактивных ветвях на резонансной частоте.
Пример.
Дано: Um Вх = 10 В ; R1 = R2 = 1 Ом ;
L = 1,6 мГн ; С = 25 мкФ.
Найти: контурный ток и токи в ветвях, напряжения на элементах, построить векторную диаграмму.
Ответы: Im K = 0,312 A, ImC= ImL=1,24 A,
, Um R1 = Um R2 =1,24 В ,
U mC= UmL = 9,92 В.
Мощности в контуре. Мгновенную и среднюю мощности контура найдем как сумму мгновенных и средних мощностей каждой ветви контура. Для этого вначале определим мгновенные и средние мощности каждой ветви.
С учетом (3.79) находим мгновенную мощность в индуктивной ветви:
Определяем cosL и sinL из треугольника сопротивления (рис.2.16) с учетом используемых здесь обозначений и (3.79)
, , .
С учетом полученных соотношений мгновенная мощность в индуктивной ветви принимает вид:
.
Амплитуда реактивной мощности этой ветви равна:
.
Находим среднюю мощность индуктивной ветви контура:
.
Определяем мгновенную мощность в емкостной ветви контура:
Определяем sinC и cosC из треугольника сопротивлений (рис.2.10,а) с учетом используемых здесь обозначений и (3.78):
, , .
С учетом полученных соотношений мгновенная мощность на емкостной ветви принимает вид:
.
Амплитуда реактивной мощности этой ветви равна:
.
Находим среднюю мощность емкостной ветви контура:
Так как токи ImL и ImC равны, то в дальнейшем каждый из них будем обозначать через Im:
.
Мгновенную и среднюю мощности контура находим суммированием мгновенных и средних мощностей ветвей контура:
.
Добротность контура. В выражении мгновенной мощности контура отсутствует реактивная мощность. Это вызвано тем, что реактивные мощности каждой ветви при резонансе имеют одинаковые амплитуды и противоположны по фазе. Поэтому при определении добротности контура используются амплитуды реактивной мощности или индуктивной ветви или емкостной:
, (3.80)
где и - амплитуды реактивных мощностей индуктивной и емкостной ветвей контура.
Учитывая, что
,
добротность можно выразить через характеристическое сопротивление : .
Следует обратить внимание на то, что выражение (3.80) отличается от выражения определения добротности параллельного контура без диссипации в реактивных ветвях (3.57). Действительно, в рассматриваемом контуре (с диссипациями в реактивных ветвях) чем меньше R1 и R2, тем меньше теряется на них мощность, тем меньше затухают колебания в контуре.
Сопротивление контура с учетом резонансной частоты и добротности. Одна из форм комплексного сопротивления контура имеет вид (3.71):
.
Используя выражения для резонансной частоты (3.74) и добротности (3.80), получим:
Находим модуль и фазу комплексного сопротивления контура:
, (3.81)
На резонансной частоте модуль сопротивления контура равен:
(3.82)
На рис.3.26 представлена зависимость модуля комплексного сопротивления контура (3.81) от частоты. Она имеет куполообразный характер с максимальным значением на резонансной частоте.
Из (3.82) видно, что c увеличением добротности контура возрастает его сопротивление.
Амплитудно-частотная характеристика рассматриваемого контура есть зависимость от частоты модуля отношения напряжения на контуре при произвольной частоте к напряжению на контуре при резонансной частоте. Вначале представим отношение этих напряжений в комплексной форме и, с учетом (3.81) и (3.82), находим:
. (3.83)
Из (3.83) выражение для амплитудно-частотной характеристики, в соответствии с данной формулировкой, принимает вид:
.
Полученное выражение полностью совпадает с выражением для АЧХ параллельного контура без диссипаций в реактивных ветвях (3.65). Соответственно совпадают и их графики (рис.3.20).
Фазо-частотная характеристика контура есть зависимость фазы напряжения на контуре от частоты. Из (3.73) и (3.81) находим:
.
Данное выражение фазо-частотной характеристики полностью совпадает с выражением ФЧХ для параллельного контура без диссипаций в реактивных ветвях (3.66). Очевидно, что и график ФЧХ (рис.3.21) и результаты его анализа полностью соответствуют рассматриваемому здесь контуру (рис.3.24).
Полоса пропускания. В связи с идентичностью амплитудно-частотных характеристик контура с диссипациями в реактивных ветвях (3.83) и контура без диссипаций в реактивных ветвях (3.65), формулы определения полосы пропускания этих контуров также идентичны и имеют вид (3.68):
.
Отличительная особенность во всех названных случаях состоит в различии определения добротности в контуре с диссипациями в реактивных ветвях (3.80) и в контуре без диссипаций в реактивных ветвях (3.61).
Влияние R1 и R2 на резонансную частоту контура. В низкодобротных контурах величины R1 и R2 заметны и их необходимо учитывать при определении резонансной частоты контура. Для параллельного контура с диссипацией в реактивных ветвях (рис.3.24) найдем полную проводимость контура:
Как отмечалось, при резонансе полное сопротивление контура становится вещественным. Следовательно, вещественной величиной будет и проводимость контура. Значит, на резонансной частоте мнимая часть проводимости равна нулю.
; .
После некоторых преобразований находим:
, (3.84)
где – волновое сопротивление.
Видно, что если величинами R1 и R2 можно пренебречь, то формула (3.84) преобразуется в (3.77). Изменяя величины R1 и R2 можно изменять резонансную частоту в некоторых пределах.