3. Синусоидальный ток в резистивном двухполюснике- связь между током и напряжениями, векторная диаграмма.

Синусоидальный ток в резистивном двухполюснике

Резистивным двухполюсником называется двухполюсник, содержащий только резистивные элементы. Простейшим примером такого двухполюсника является резистор (рис. 2.3).

К резистивному двухполюснику приложено напряжение:

В комплексной форме это напряжение имеет вид:

(2.25)

Под действием приложенного напряжения в двухполюснике протекает ток, который найдем по закону Ома в комплексной форме:

(2.26)

где

В тригонометрической форме ток имеет вид:

На рис. 2.4 представлена векторная диаграмма для резистивного двухполюсника. Из векторной диаграммы видно, что вектор тока совпадает по фазе с вектором напряжения. Итак, на резисторе ток и напряжение совпадают по фазе, т. е. на резисторе фазовый сдвиг между током и напряжением равен нулю.

Поэтому их вектора на комплексной плоскости всегда имеют одинаковое направление. Осциллограммы напряжения и тока показаны на рис. 2.5.

Мгновенная мощность для резистивного двухполюсника определяется по формуле (2.11) при условии, что фазовый сдвиг между током и напряжением в данном случае равен нулю ( = 0):

На рис. 2.5 представлена осциллограмма мгновенной мощности.

Частота ее в два раза больше частоты напряжения. Площадь, ограниченная осциллограммой мощности, положительная. Это значит, что в течение всего времени резистивный двухполюсник потребляет мощность от источника.

Средняя мощность, потребляемая резистивным двухполюсником, определяется по формуле (2.18). С учетом, что  = 0, находим:

(2.27)

Довольно часто возникает необходимость определить мощность, рассеиваемую на резисторе, при известной величине сопротивления резистора и известном токе, протекающем через резистор, или напряжении на резисторе.

Воспользуемся двумя представлениями закона Ома:

Подставляя эти соотношения поочередно в (2.27), получим выражение для P_cр через амплитудные значения тока и напряжения:

(2.28)

Через действующие значения тока и напряжения P_ср определяется по формуле:

.

4. Синусоидальный ток в емкостном двухполюснике (идеальном и реальном) - связь между током и напряжениями, векторная диаграмма.

3. Синусоидальный ток в емкостном двухполюснике

Емкостной двухполюсник представляет собой конденсатор, к которому приложено напряжение. Обычно рассматриваются два конденсатора – идеальный и реальный. В идеальном конденсаторе не учитывают потери (диссипации). Такая идеализация для ряда типов конденсаторов, например, керамических, допустима, так как их потери очень малы. Однако в реальном конденсаторе всегда имеются потери мощности и проявляются они в нагреве конденсаторов. В этом случае необходимо учитывать потери, и они должны быть отображены в схеме емкостного двухполюсника. Поэтому рассмотрим отдельно идеальный емкостной двухполюсник и реальный емкостной двухполюсник.

Идеальный емкостной двухполюсник (рис. 2.6)

К конденсатору приложено напряжение:

.

Запишем его в комплексной форме:

(2.30)

Ток i_С (t), протекающий через конденсатор, связан с напряжением известным соотношением:

(2.31)

Перепишем это выражение в комплексной форме и, подставив в него (2.30), найдем ток конденсатора в комплексной форме:

(2.32)

Известно, что умножение комплексной величины на j эквивалентно изменению ее фазы на плюс /2. С учётом этого выражение (2.32) принимает вид:

(2.33)

где

В действительной форме ток конденсатора имеет вид:

(2.34)

На рис.2.7 представлена векторная диаграмма идеального емкостного двухполюсника. Из полученного решения и из векторной диаграммы видно, что в идеальном емкостном двухполюснике ток опережает напряжение на .

Определим сопротивление идеального емкостного двухполюсника. Пользуясь понятием комплексного сопротивления (2.8), представим сопротивление емкостного двухполюсника в виде:

(2.35)

Само сопротивление емкостного двухполюсника находим по закону Ома, при этом используем ток из выражения (2.32):

(2.36)

Приравняем правые части выражений (2.35) и (2.36):

Из последнего следует, что

Действительно, мы рассматриваем емкостной двухполюсник без потерь. Так как потери в схеме всегда представляются резистором, то здесь он равен нулю. Комплексное сопротивление идеального емкостного двухполюсника содержит только мнимую составляющую, и оно обозначается так:

(2.37)

Рассмотрим мгновенную и среднюю мощности в идеальном емкостном двухполюснике. Мгновенная мощность определяется по формуле (2.11):

Величину средней мощности находим по формуле (2.18). Учитывая что

(2.38)

Видим, что среднее значение потребляемой мощности за период равно нулю. Это подтверждается и осциллограммой мгновенной мощности (рис. 2.8).

Добротность идеального емкостного двухполюсника находим по формуле (2.23). Так как средняя мощность равна нулю (2.38), а амплитуда реактивной мощности имеет конечное значение, то добротность идеального емкостного двухполюсника равна бесконечности:

.

Затухание идеального емкостного двухполюсника равно нулю:

Реальный емкостной двухполюсник (реальный конденсатор) характеризуется наличием диссипации. В схеме замещения его это отображается введением резистора. Используются две схемы замещения – с последовательным (рис. 2.9, а) и с параллельным (рис. 2.9, б) соединением резистора с конденсатором. В реальных конденсаторах рассеиваемая мощность много меньше реактивной мощности конденсатора. Поэтому в последовательной схеме замещения величина резистора мала, а в параллельной – велика.

Рассмотрим электрические процессы в реальном емкостном двухполюснике на примере последовательной схемы замещения (рис. 2.9, а).

Напряжение, приложенное к двухполюснику, имеет вид:

.

Представим его в комплексной форме:

Комплексное сопротивление двухполюсника равно:

.

Для дальнейшего удобно представить комплексное сопротивление двухполюсника в показательной форме:

(2.39)

где

При общем анализе необходимо учесть, что X_С – отрицательная величина:

Для этого воспользуемся понятием модуля:

(2.40)

Тогда _c можно представить так:

С учетом последнего принимает вид:

(2.41)

Ток емкостного двухполюсника определим по закону Ома в комплексной форме:

(2.42)

где

В вещественной форме ток имеет вид:

(2.43)

Определим напряжение на R_с:

(2.44)

Определяем напряжение на конденсаторе, учитывая (2.37):

(2.45)

где

Появление (– /2) связано с тем, что деление комплексного выражения на комплексную величину j эквивалентно изменению фазы этого комплексного выражения на минус /2.

По результатам анализа можно построить векторную диаграмму для реального емкостного двухполюсника. Удобно будет, если оценим величину _С . В реальных конденсаторах потери незначительны. В них выполняется условие:

(2.46)

С учетом этого из (2.40) видно, что

(2.47)

На рис. 2.10, а представлен треугольник сопротивления реального емкостного двухполюсника. В нем выполняется условие (2.46).

На рис. 2.10, б представлена векторная диаграмма для реального емкостного двухполюсника. Вначале строится вектор входного напряжения U. Его начальная фаза равна нулю и поэтому он совпадает с вещественной осью. Затем строится вектор тока. Он опережает вектор входного напряжения на угол _С. Фаза вектора U_R равна фазе тока, поэтому векторы тока и напряжения на резисторе совпадают по направлению. Вектор напряжения на конденсаторе U_С отстает от вектора тока на /2, как в идеальном емкостном двухполюснике (рис. 2.7).

Если просуммировать вектор с вектором , что показано на рис. 2.10. б, то получим вектор входного напряжения. В этом проявляется второй закон Кирхгофа для реального емкостного двухполюсника:

(2.48)

Определим мгновенную мощность. Пользуясь ранее полученным соотношением для мгновенной мощности (2.11), запишем:

(2.49)

Активная составляющая мгновенной мощности равна:

Реактивная составляющая мгновенной мощности равна:

Средняя мощность реального емкостного двухполюсника определяется по формуле (2.18):

(2.50)

Добротность и затухание реального емкостного двухполюсника находим через формулы (2.23) и (2.24) соответственно:

(2.51)

Из треугольника сопротивлений (рис. 2.10, а) видим, что

С учетом последнего, добротность и затухание (2.51) принимают вид:

(2.52)

Действительно, чем больше R_С в последовательном емкостном двухполюснике, тем быстрее будут затухать электрические процессы в нем, т. к. значительная часть сигнала будет рассеиваться на резисторе.