Matan_1_semestr_Lektsii

Таким образом, элемент xmax удовлетворяет условиям первой части леммы 1.3. Справедливость второй части данного утверждения устанавливается аналогично.

Теорема 1.1 Всякое непустое ограниченное сверху (снизу) числовое множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.

Доказательство. Докажем сначала существование точной верхней грани у ограниченного сверху множества. Доказательство разобьём на два случая, именно: множество X содержит неотрицательные элементы и все элементы множества X отрицательны.

1) Пусть множество X содержит неотрицательные элементы и M

одна из его верхних граней. Очевидно, что M ¸ 0. Множество всех неотрицательных элементов множества X обозначим символом X, X = fx 2

конечное число целых чисел, поэтому существует наибольший элемент

e

этого множества. Пусть a0 = maxfa0 : x = a0; a1a2a3 : : : ; x 2 Xg и X0

e

подмножество множества X, состоящее из чисел с целой частью a0,

e

X0 = fx 2 X : a0 = a0g. Множество X0 не пусто, так как хотя бы один

e

элемент с целой частью a0 во множестве X найдётся.

Рассмотрим множество fa1g первых десятичных знаков элементов множества X0. Это множество непустое и конечное, поэтому содержит максимальный элемент. Пусть a1 = maxfa1 : x = a0; a1a2a3 : : : 2 X0g и

X1 = fx 2 X0 : a1 = a1g. Множество X1 снова не пусто.

Рассмотрим множество fa2g вторых десятичных знаков элементов множества X1. Это множество непустое и конечное, поэтому содержит максимальный элемент. Пусть a2 = maxfa2 : x = a0; a1a2a3 : : : 2 X1g и

X2 = fx 2 X1 : a2 = a2g. Множество X2 тоже не пусто.

Продолжим описанный процесс. Пусть уже построено непустое множество Xl¡1 = fx = a0; a1 : : : al¡1alal+1 : : :g (l ¸ 3). Рассмотрим множе-

ство falg l-х десятичных знаков элементов множества Xl¡1. Это множество непустое (Xl¡1 не пусто) и конечное, поэтому оно содержит максимальный элемент. Пусть al = maxfal : x = a0; a1a2 : : : al¡1al : : : 2 Xl¡1g и Xl = fx 2 Xl¡1 : al = alg. Множество Xl опять не пусто.

Итак, процесс нахождения чисел al и выделения множеств Xl не может прерваться. Продолжив его неограниченно, получим набор чисел a0, a1, a2, . . . , al, . . . и набор множеств X0 ¾ X1 ¾ X2 ¾ : : : ¾ Xl ¾ : : : . Образуем вещественное число

M= a0; a1a2 : : : al : : :

ипокажем, что оно является точной верхней гранью множества X, для чего проверим, что число M обладает двумя свойствами точной верхней грани, приведёнными в лемме 1.3.

Пусть x = §a0; a1a2 : : : al : : : любой элемент множества X. Если

e

x < 0, то x < M, так как M ¸ 0. Если x ¸ 0, то x 2 X. Если при этом

x 62X0, то a0 < a0, следовательно, x < M. Если x 2 X0, но x 62X1, то a0 = a0, но a1 < a1, поэтому x < M. И так далее. Если найдётся номер l такой, что x 2 Xk при k = 0; 1; : : : ; l ¡ 1, но x 62Xl, то a0 = a0, a1 = a1,

. . . , al¡1 = al¡1, но al < al, поэтому x < M. Если при всех k = 0; 1; 2; : : :

будем иметь ak = ak, то x = M. Таким образом, установлено, что во всех случаях x · M, то есть M обладает первым свойством точной верхней грани.

Покажем, что никакое M0 < M верхней гранью множества X не является. Если M0 < 0, то это очевидно, поскольку по предположению множество X содержит неотрицательные элементы. Пусть, поэтому, M0 = a00; a01a02 : : : a0l : : : . Так как M0 < M, то, возможно, a00 < a0. В таком случае возьмём любой элемент x 2 X0 (X0 не пусто!) и будем иметь x > M0. Если a00 = a0, то найдётся l ¸ 1 такое, что a00 = a0. a01 = a1, . . . , a0l¡1 = al¡1, a0l < al. Так как ни при каком l множество Xl не пусто, то найдётся x 2 Xl. Для него a0 = a0, a1 = a1, . . . , al¡1 = al¡1, al = al, поэтому M0 < x. Этими рассуждениями установлено, что число M обладает

ивторым свойством точной верхней грани.

2)Пусть все элементы множества X отрицательны. Рассмотрим множество ¡X = f¡x : x 2 Xg. Это множество ограничено снизу числом

0. Докажем, что оно имеет точную нижнюю грань. Доказательство проведём тем же методом, который использован в первой части, только для чисел с двумя представлениями в виде десятичной дроби будем использовать представление с нулём в периоде.

Итак, пусть ¡x = a0; a1a2 : : : al : : : общий вид элементов множества ¡X. Найдём a0 = minfa0 : ¡x 2 (¡X)g и введём множество

X0 = f¡x 2 (¡X) : a0 = a0g. Вычислим a1 = minfa1 : ¡x 2 X0g

и выделим множество X1 = f¡x 2 X0 : a1 = a1g. И так далее. На l-м шаге определим al = minfal : ¡x 2 Xl¡1g (не исключено, что начиная с некоторого номера все al = 0, поэтому и приходится рассматривать представление вещественных чисел с нулём в периоде) и множество

Xl = f¡x 2 Xl¡1 : al = al. И так далее до бесконечности. Затем образуем число m = a0; a1a2 : : : al : : : и показываем, что оно является точной нижней гранью для множества ¡X.

Доказательство завершается использованием легко проверяемого при помощи правила сравнения вещественных чисел и леммы 1.3 утверждения: sup X = ¡ inf(¡X). Положим M = ¡m. Тогда

M = ¡m = ¡ inf(¡X) = sup X :

Существование точной нижней грани у ограниченного снизу множества можно доказать точно так же, но проще применить сформулированное выше утверждение. Если множество X ограничено снизу, то множество ¡X = f¡x : x 2 Xg ограничено сверху. По доказанному, оно имеет точную верхнюю грань M. Тогда число m = ¡M будет точной нижней гранью множества X.

Отметим, что доказанная теорема устанавливает лишь существование точных верхней и нижней граней у множества, ограниченного соот-

ветственно сверху и снизу, но не указывает способа их вычисления, что зачастую является достаточно нелёгкой задачей. Например, множество

X = fsin n : n 2 Ng ограничено сверху и снизу числами 1 и ¡1 соответственно, поэтому по доказанной теореме sup X и inf X существуют, но чему они равны?

Точные верхняя и нижняя грани (в случае существования) могут принадлежать множеству, а могут и не принадлежать. Если sup X 2 X, то в силу леммы 1.3 sup X = xmax. Обратное доказано в лемме 1.4. Аналогичная ситуация имеет место и для inf X.

Если sup X 2 X (inf X 2 X), то будем говорить, что точная верхняя (нижняя) грань множества X достигается и заменять sup X (inf X) на max X (min X).

Примеры.

1. Пусть X = fx 2 R : ¡1 · x · 1g. Здесь ¡1 = max X = inf X 2 X,

1 = min X = sup X 2 X.

2. Пусть X = fx 2 R : ¡2 < x < 3g. Здесь inf X = ¡2, sup X = 3. Проверим первое утверждение, используя лемму 1.3, второе проверяется аналогично.

а) Из условия, задающего множество X, следует, что x ¸ ¡2 для каждого x 2 X.

б) Возьмём любое m0 > ¡2. Если m0 · 3, то по лемме 1.1 найдётся x такой, что ¡2 < x < m0. Очевидно, что x 2 X. Если же m0 > 3, то условию x < m0 удовлетворяет любой элемент x 2 X.

Оба условия леммы 1.3 выполнены, поэтому ¡2 = inf X.

½ ¾

3. Пусть X = n1 : n 2 N . Здесь inf X = 0 62X, sup X = max X = 1 2 X. Второе утверждение очевидно. Проверим первое.

а) n1 > 0 для любого n 2 N, так что первое условие леммы 1.3 выполнено.

б) Пусть m0 > 0 любое. По лемме 1.3 найдётся рациональное число

довательно, выполнено и второе условие леммы 1.3. Поэтому 0 = inf X:

4. Пусть X = N. Тогда inf N = min N = 1 2 N, sup N не существует, так как множество сверху не ограничено.

Если множество X не ограничено сверху то оно не имеет точной верхней грани в смысле определения 1.17, но иногда бывает удобно писать sup X = +1 и говорить соответственно. Аналогичное соглашение примем и для множеств, неограниченных снизу, именно: sup X = ¡1.

Арифметические операции над вещественными числами

Мы полагаем, что читателю известны правила выполнения арифметических операций над рациональными числами и свойства этих операций. Определим теперь сумму и произведение двух произвольных вещественных чисел.

Определение 1.19 Пусть x = §a0; a1a2 : : : al : : : и y = §b0; b1b2 : : : bl : : :

произвольные вещественные числа. Пусть r0; r00; s0; s00 любые рациональные числа, удовлетворяющие условиям

Назовём суммой чисел x и y и обозначим символом x + y вещественное число z, удовлетворяющее неравенствам

Теорема 1.2 Для любых вещественных чисел x и y сумма x + y определена и единственна.

Доказательство. Пусть R0 множество чисел вида r0 + s0, R00 множество чисел вида r00 + s00, где числа r0; s0; r00; s00 описаны в определении

1.19. В силу свойств неравенств для рациональных чисел r0 +s0 · r00 +s00, следовательно, множество R0 ограничено сверху (любой суммой r00 + s00), поэтому по теореме 1.1 существует sup R0. Аналогично, множество R00

ограничено снизу (любой суммой r0 + s0), поэтому по той же теореме существует inf R00. Очевидно,

r0 + s0 · sup R0 · inf R00 · r00 + s00:

(Неравенство inf R00 < sup R0 означало бы, что у множества R0 имеется верхняя грань, меньшая точной верхней грани.)

Покажем, что sup R0 = inf R00. Если бы это было не так, то есть

sup R0 < inf R00, то по следствию из леммы 1.1 нашлись бы два рациональных числа p и q такие, что sup R0 < p < q < inf R00. Но тогда разность q ¡ p = ± > 0.

С другой стороны, если в 1.4 в качестве r0; r00; s0; s00 брать десятичные

Так как l можно брать любое, то (1:6) невозможно по следующей причине. Существует только конечное множество натуральных чисел, расположенных между нулём и числом 2± , тем более конечно количество чисел вида 10l, поэтому если l достаточно велико, то 10l > 2± , или ± > 102l .

Полученное противоречие показывает невозможность предположения sup R0 < inf R00, следовательно, доказано, что sup R0 = inf R00.

Число z существует, удовлетворяет определению 1.19, поэтому является суммой чисел x и y, и единственно, так как всякое число z, удовлетворяющее условию (1.5), обязано содержаться между sup R0 и inf R00.

Теорема доказана.

Разность вещественных чисел x ¡ y определяется как сумма x + (¡y)

(сумма числа x и противоположного y числа ¡y).

Доказанная теорема служит обоснованием приближённого вычисления суммы вещественных чисел путём сложения их десятичных приближений, взятых с необходимой степенью точности (неважно, с недостатком или с избытком).

Определим теперь произведение двух вещественных чисел. Пусть сначала числа x и y положительны. Возьмём любые положительные рациональные числа r0; r00; s0; s00, удовлетворяющие условиям r0 · x · r00, s0 · y · s00.

Определение 1.20 Назовём произведением положительных чисел x и y и обозначим символом x ¢ y или xy вещественное число z, удовлетворяющее неравенству

Теорема 1.3 Произведение любых двух положительных вещественных чисел существует и единственно.

Доказательство этой теоремы приводить не будем. Оно в принципе такое же, как и доказательство предыдущей теоремы, лишь оценки при доказательстве единственности чуть сложнее.

Замечание 1.1 Как нетрудно видеть, определённые здесь операции сложения и умножения вещественных чисел, будучи применёнными к ра-

циональным числам дают тот же результат, что и правила сложения и умножения рациональных чисел. Действительно, пусть r; s 2 Q. Возьмём, в частности, в (1.5) r0 = r00 = r, s0 = s00 = s. Тогда (1.5) примет вид: r + s · z · r + s, то есть, z = r + s.

Определим теперь произведение двух любых вещественных чисел x

иy следующим образом:

1)если x = 0, то 0 ¢ y = 0 для любого вещественного y;

2)если x < 0, y < 0, то xy = jxj ¢ jyj;

3)если x < 0, а y > 0, или наоборот, то xy = ¡jxj ¢ jyj.

Перед тем как определять операцию деления, докажем вспомогательное утверждение.

Определение 1.21 Число z назовём обратным числу y и обозначим символом y1 или y¡1, если yz = 1.

Лемма 1.5 Для любого y =6 0 число z, обратное к y, существует.

Доказательство. Пусть сначала y > 0, y = b0; b1b2 : : : bl : : : : Пусть rl0 = b0; b1b2 : : : bl000 : : :, rl00 = b0; b1b2 : : : bl999 : : : десятичные приближения числа y, взятые с недостатком и избытком. Так как y 6= 0, то в десятичной записи числа y найдётся хотя бы одна отличная от нуля значащая цифра, поэтому можно утверждать, что начиная с некоторого номера m будет иметь место оценка

½ 1 ¾ ½ 1 ¾ sup rk0 : k 2 N · z · inf rl00 : l 2 N

Отсюда и из rl0 · y · rl00 по определению произведения вещественных чисел следует, что

Рассмотрим правую часть неравенства 1.9. Так как rl00 = rl0 + 10¡l, то,

Этим неравенствам может удовлетворять только yz = 1 (см. конец доказательства теоремы 1.2). Лемма доказана.

следовательно, z = y¡1.

Если y = 0, то y¡1 не существует, ибо по определению умножения на ноль 0 ¢ z = 0 =6 1 для любого z 2 R.

Теперь определим операцию деления. Пусть x; y 2 R, причём y =6 0. Операцию деления x на y определим как умножение x на y1,

xy := x ¢ y1 :

Итак, все арифметические операции над вещественными числами определены. Можно показать, что все свойства этих операций, известные нам для рациональных чисел, сохраняются, как сохраняются и свойства числовых неравенств. Можно ввести операцию возведения в степень, натуральную, целую, рациональную, понятие арифметического корня. Всё это делается с помощью техники, аналогичной продемонстрированной при доказательстве теоремы 1.2. Ещё раз эта техника будет продемонстрирована позднее при определении показательной функции.

Введём числовые множества, которые постоянно будут использоваться в дальнейшем.

Отрезок (сегмент) [a; b] = fx 2 R : a · x · b; a; b 2 R; a < bg. Интервал (a; b) = fx 2 R : a < x < b; a; b 2 R; a < bg. Полуинтервалы (a; b] = fx 2 R : a < x · b; a; b 2 R; a < bg и

[a; b) = fx 2 R : a · x < b; a; b 2 R; a < bg.

Промежуток общее наименование для R, бесконечных интервалов

(¡1; b) и (a; +1) (a; b 2 R), бесконечных полуинтервалов (¡1; b] и [a; +1) (a; b 2 R), отрезков, интервалов и полуинтервалов.

U±(a) дельта-окрестность точки a (±-окрестность a) интервал с центром в точке a радиуса ±.

U±(a) = (a ¡ ±; a + ±):

±

U± (a) проколотая ±-окрестность a ±-окрестность a с выброшенным центром.

±

U± (a) = U±(a) n fag:

U±+(a) правосторонняя окрестность точки a полуинтервал [a; a+

±).

U±¡(a) левосторонняя окрестность точки a полуинтервал (a ¡

±; a].