Matan_1_semestr_Lektsii

170 Оглавление

y = arcsin x (или x = sin y) и используя (4.62), получим (учитывая, что

По замечанию к теореме 4.6 в точках ¡1 и 1 функция arcsin имеет

жащий точку x. Для отрезка [a; b] выполнены все условия теоремы 4.6, поэтому

12) Доказывается аналогично.

Таблица производных полностью обоснована.

Анализ таблицы производных и правил дифференцирования показывает , что справедливо следующее утверждение.

Теорема 4.7 Любая элементарная функция дифференцируема и производная от неё является элементарной функцией.

Теорема 4.8 (Производная показательно-степенной функции)

Пусть X открытый промежуток, функции u; v : X ! R дифференцируемы в точке x 2 X и функция u положительна всюду в X. Тогда функция uv дифференцируема в точке x и её производная находится по формуле

Другими словами, производная показательно-степенной функции есть сумма двух слагаемых: в первом из них функция дифференцируется как степенная, во втором как показательная.

Доказательство. Показательно-степенная функция дифференцируема как суперпозиция дифференцируемых функций (см. определение). Вычислим её производную.

¡u(x)v(x)¢0 = ¡ev(x) ln u(x)¢0 = ev(x) ln u(x) ¢ µv0(x) ln u(x) + v(x)u0(x)¶ = u(x)

= u(x)v(x) µv0(x) ln u(x) + v(x)u0(x)¶ = u(x)v(x)v0(x) ln u(x)+ u(x)

+u(x)v(x)v(x)u0(x) = v(x)u(x)v(x)¡1u0(x) + u(x)v(x)v0(x) ln u(x): u(x)

Пример 4.7 Найдём производную функции (sin x)cos x (x 2 (0; ¼)).

Решение. Все условия доказанной теоремы выполнены, поэтому

((sin x)cos x)0 = cos x(sin x)cos x¡1 cos x + (sin x)cos x(¡ sin x) ln(sin x) =

= cos2 x(sin x)cos x¡1 ¡ (sin x)cos x+1 ln(sin x):

Определение 4.6 Пусть функция f определена и положительна на открытом промежутке X и дифференцируема в точке x этого промежутка. Логарифмической производной функции f в точке x называют производную функции ln f.

Понятие логарифмической производной бывает полезным при вычислении производных и решении некоторых других задач.

Пример 4.8 Найти производную функции y = (1 + x2)tg x ; jxj < ¼2 .

Решение. Применим понятие логарифмической производной.

Пример 4.9 Пусть функции u1; u2; : : : un (n 2 N) положительны и дифференцируемы на открытом промежутке X. Доказать формулу

Умножая на u, раскрывая скобки и сокращая, получим требуемую формулу.

Впрочем, формула (4.65) справедлива и без предположения о положительности функций uk и может быть доказана методом математической индукции.

Функции, заданные параметрически

Пусть функции x = '(t), y = Ã(t) определены на отрезке [®; ¯], причём функция ' непрерывна и строго монотонна (например, возрастает). Тогда по теореме 3.23 на отрезке [a; b] (a = '(®), b = '(¯)) определена обратная функция t = '¡1(x), а вместе с ней и функция y = Ã('¡1(x)), которую называют функцией, заданной параметрически.

С параметрически заданными функциями приходится иметь дело, например, в случае описания траектории движущейся точки, если её положение (координаты) зависит от времени, выступающего в этом примере в роли параметра t.

Теорема 4.9 (Производная параметрически заданной функции)

Если, дополнительно к описанным выше условиям, функции ' и Ã диф-

ференцируемы в точке t 2 (®; ¯), причём '0(t) 6= 0, то функция y =

Ã('¡1(x)) дифференцируема в точке x = '(t), и её производная может быть найдена по формуле

Нижний индекс в формуле (4.66) указывает, по какой переменной ведётся дифференцирование. Это необходимо указывать, поскольку здесь функция y дифференцируется и по x и по t.

Доказательство. Так как функция ' удовлетворяет всем условиям теоремы 4.6, то с её использованием имеем:

yx0 = ¡Ã('¡1(x))¢0 = Ã0('¡1(x)) ¢ ('¡1(x))0 = Ã0(t) : '0(t)

Пример 4.10 Пусть x = sin t, y = t cos t. Найти yx0 .

Решение. Функция x = sin t непрерывна и строго монотонна на каждом из отрезков h¡¼2 + ¼k; ¼2 + ¼ki (k 2 Z), поэтому на каждом из этих отрезков уравнения x = sin t, y = t cos t определяют параметрически заданную функцию y = y(x). Поскольку x0t = cos t 6= 0 в интервалах

³¡¼2 + ¼k; ¼2 + ¼k´, то в этих интервалах функция y = y(x) дифференцируема и

4.3Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть функция f определена и дифференцируема на открытом про-

межутке X. Тогда на этом промежутке задана функция y = f(x). Если

эта функция имеет производную в точке x0 2 X, то эту производную называют производной второго порядка функции f в точке x0, а саму функцию называют дважды дифференцируемой в точке x0. Производную второго порядка функции f в точке x0 обозначают одним из следующих символов:

Так же, по индукции, определяется производная любого порядка n

(n 2 N). Именно: если функция f имеет на промежутке X производные до порядка n ¡ 1 включительно, то производной порядка n функции f

в точке x0 2 X называют производную от производной порядка n ¡ 1 (в случае её существования). Производную порядка n функции f в точке x0 обозначают одним из следующих символов:

Ради единообразия производную функции f иногда называют производной первого порядка и обозначают символом f(1), а саму функцию f

производной нулевого порядка и обозначают символом f(0), то есть,

f(0)(x) = f(x); f(1)(x) = f0(x):

Производные второго и третьего порядков иногда обозначают также символами f00, f000 соответственно, а производную четвёртого порядка символом fIV .

Выведем формулы для производных порядка n некоторых элементарных функций.

Действительно, (xp)0 = pxp¡1, (xp)00 = (pxp¡1)0 = p(p ¡ 1)xp¡2. Далее по индукции, если (xp)(n¡1) = p(p ¡ 1) : : : (p ¡ n + 2)xp¡n+1, то

(xp)(n) = ¡p(p ¡ 1) : : : (p ¡ n + 2)xp¡n+1¢0 =

= p(p ¡ 1) : : : (p ¡ n + 2) ¢ (p ¡ n + 1)xp¡n:

Если p 2 N, то (xp)(p) = p(p ¡ 1) : : : (p ¡ p + 1)xp¡p = p ! постоянная, а при n > p (xp)(n) = 0.

В этом виде мы и будем её доказывать, используя метод математической индукции.

178 Оглавление

Пример 4.11 Пусть y = e3x cos 2x. Найти y(6).

Решение. В силу формул (4.68), (4.71) и правила дифференцирования

+1 ¢ 36e3x ¢ cos 2x =

= e3x (¡64 cos 2x ¡ 576 sin 2x + 2160 cos 2x + 4320 sin 2x¡

¡4860 cos 2x ¡ 2916 sin 2x + 729 cos 2x) = = e3x (828 sin 2x ¡ 2035 cos 2x) :

Старшие производные параметрически заданной функции

Пусть дана параметрически заданная функция x = '(t), y = Ã(t)

(t 2 [®; ¯]). Если условия теоремы 4.9 выполнены в каждой точке ин-

тервала (®; ¯), то в каждой точке интервала (®; ¯) формулой (4.66)

определена производная yx0 , которая тоже является параметрически за-

данной функцией x = '(t), yx0 = Ã1(t) (t 2 (®; ¯)), где Ã1(t) = Ã0(t).

'0(t)

Если функции ' и Ã дважды дифференцируемы в некоторой точке

t интервала (®; ¯), то и функция Ã1 дифференцируема в этой точке, поэтому определена производная функции yx0 , которую называют производной второго порядка от параметрически заданной функции x = '(t), y = Ã(t) (t 2 [®; ¯]) и обозначают символом yxx00

Третья и так далее производные параметрически заданной функции определяются по индукции аналогичным образом.

Пример 4.12 Пусть x = sin t, y = t cos t. Найти yx0 ; yx002 ; yx0003 .

Решение. Данный пример является продолжением примера 4.10, в котором производная первого порядка была найдена: yx0 = 1 ¡ t tg t. Продолжим:

Следует помнить, что к каждой найденной производной необходимо присоединить x = sin t.

Дифференциалы высших порядков

Пусть функция f определена и дифференцируема на открытом промежутке X. Тогда в каждой точке x промежутка X определён дифференциал (первого порядка) dy = f0(x)dx, который зависит как от точки промежутка X, так и от приращения dx. Принято, однако, считать, что приращение dx во всех точках промежутка X берётся одинаковым, то есть при переходе от одной точки к другой не меняется. Тогда dy является функцией от x и можно ставить вопрос о дифференциале этой функции.