Matan_1_semestr_Lektsii

Определение 4.7 Пусть функция f дифференцируема на промежутке

X и дважды дифференцируема в точке x этого промежутка. Дифференциалом второго порядка функции f в точке x называют дифференциал от дифференциала первого порядка, вычисленный в точке x при том же приращении аргумента dx, что и в первый раз. Дифференциал второго порядка обозначают символами d2y или d2f.

Вычислим d2y. По определению, учитывая, что dx постоянная, имеем:

d2y = d(dy) = d(f0(x)dx) = d(f0(x))dx = f00(x)dx ¢ dx = f00(x)dx2:

Итак,

В этой формуле следует учитывать, что dx единый символ и dx2

следует читать как (dx)2, а не как d(x2). это замечание распространяется и на другие степени dx.

Аналогичным образом по индукции определяется дифференциал любого порядка n.

Определение 4.8 Пусть функция f n ¡ 1 раз дифференцируема на промежутке X и n раз в точке x этого промежутка. Дифференциалом n-го порядка функции f в точке x называют дифференциал от дифференциала (n ¡ 1)-го порядка, вычисленный в точке x при том же приращении аргумента dx, что и в предыдущие разы. Дифференциал n-го порядка обозначают символами dny или dnf.

Выше (см. следствие из теоремы 4.5) было отмечено свойство инвариантности формы первого дифференциала. Второй и последующие дифференциалы этим свойством не обладают. Покажем это. Пусть выполнены условия теоремы 4.5. Тогда

dy = f0(u)du:

Здесь du = u0(x)dx функция от x, поэтому при вычислении второго дифференциала нужно принимать во внимание, что f0(u)du произведение двух функций, поэтому

d2u = d(du) = d(f0(u)du) = d(f0(u))du + f0(u)d(du) = f00(u)du2 + f0(u)d2u:

Вид второго дифференциала изменился: появилось слагаемое f0(u)d2u, которого в случае независимой переменной не было.

4.4Основные теоремы о дифференцируемых функциях

Сейчас мы изучим свойства дифференцируемых функций, на которые опираются многочисленные практические применения понятия производной. Основной здесь является следующая теорема.

Теорема 4.11 (Ферм´а)Пусть функция f определена на промежутке

X и во внутренней точке c этого промежутка принимает наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точке c определена производная функции f, то

Доказательство. По условию теоремы во всех точках x 2 X выполняется или неравенство f(x) · f(c), или неравенство f(x) ¸ f(c). Рассмотрим первый случай.

Так как точка c внутренняя, то найдётся окрестность U±(c) ½ X. Будем брать в точке c приращение ¢x такое, чтобы выполнялось условие j¢xj < ±, то есть x = c + ¢x 2 X. Тогда, в силу предположения f(x) · f(c), будем иметь:

¢y = f(x) ¡ f(c) · 0:

По условию теоремы в точке c определена производная

f0(c) = lim ¢y :

¢x!0 ¢x

182 Оглавление

Тогда по теореме 4.2 в точке c определены левая и правая производные функции f и

f¡0 (c) = f+0 (c) = f0(c):

Но если ¢x < 0, то ¢¢xy ¸ 0, поэтому и

f¡0 (c) = lim ¢y ¸ 0:

¢x!¡0 ¢x

А если ¢x > 0, то ¢¢xy · 0, поэтому и

f+0 (c) = lim ¢y · 0:

¢x!+0 ¢x

Итак, одновременно выполняются два неравенства: f0(c) ¸ 0 и f0(c) · 0, из чего следует, что f0(c) = 0.

Второй случай рассматривается аналогично.

Теорема Ферма имеет простой геометрический смысл, вытекающий из геометрического смысла производной: в точке c касательная к графику функции параллельна оси Ox.

Теорема Ферма перестаёт быть верной, если хотя бы одно из её условий не выполнено. Рассмотрим соответствующие примеры.

Пример 4.13 Пусть f(x) = jxj, X = (¡1; 1). Функция достигает наименьшего значения в точке c = 0, но в этой точке производная не определена (см. пример 4.5). У рассматриваемой функции вообще нет точек, в которых производная равна нулю.

Пример 4.14 Пусть f(x) = x, X = [0; 1]. Эта функция достигает наименьшего и наибольшего значений на концах промежутка X. f0(x) ´ 1. Как видим, производная не обращается в ноль не только в точках 0 и 1, но и нигде на множестве X.

Теорема 4.12 (Ролль)Если функция f непрерывна на отрезке [a; b], дифференцируема в интервале (a; b) и f(a) = f(b), то в интервале (a; b) найдётся точка c, в которой f0(c) = 0.

Доказательство. Если функция постоянна на отрезке [a; b], то её производная равна нулю во всех точках интервала (a; b). В противном случае по второй теореме Вейерштрасса (теорема 3.36) функция f достигает на отрезке [a; b] наименьшего и наибольшего значений, причём делает это в различных точках c1 и c2 отрезка [a; b]. Одна из этих точек, скажем c1, может совпадать с концом отрезка, но тогда другая, c2, лежит внутри него. В таком случае, так как выполнены все условия теоремы Ферма, f0(c2) = 0.

Теорема Ролля имеет следующий геометрический смысл: при выполнении её условий на интервале (a; b) найдётся точка, в которой касательная к графику функции горизонтальна.

Следует отметить, что ни одно из условий теоремы Ролля не является лишним.

Пример 4.15 Пусть f(x) = x; x 2 [¡1; 1]. Функция непрерывна, дифференцируема, но f(¡1) =6 f(1).

Пример 4.16 Пусть f(x) = jxj; x 2 [¡1; 1]. Функция непрерывна, f(¡1) = f(1), но в точке x = 0 функция не дифференцируема.

Пример 4.17 Пусть f(¡1) = 1 и f(x) = x; x 2 (¡1; 1]. Функция дифференцируема в интервале (¡1; 1), f(¡1) = f((1), но непрерывности на отрезке [¡1; 1] нет.

Во всех трёх примерах на интервале (¡1; 1) не существует точки, в которой производная обращается в нуль.

Теорема 4.13 (Лагранж)Пусть функция f непрерывна на отрезке [a; b]

и дифференцируема в интервале (a; b). Тогда найдётся точка c 2 (a; b), такая что

Доказательство. Рассмотрим функцию

g(x) = f(x) ¡ f(a) ¡ f(b) ¡ f(a)(x ¡ a) b ¡ a

и покажем, что для неё на отрезке [a; b] выполняются все условия теоремы Ролля.

1)g(x) непрерывна на [a; b] как сумма двух непрерывных функций.

2)g(x) дифференцируема в (a; b) как сумма двух дифференцируемых функций.

3)Проверим, что f(a) = f(b). Действительно,

g(a) = f(a) ¡ f(a) ¡ f(b) ¡ f(a)(a ¡ a) = 0; b ¡ a

g(b) = f(b) ¡ f(a) ¡ f(b) ¡ f(a)(b ¡ a) = 0: b ¡ a

По теореме Ролля найдётся такая точка c 2 (a; b), что g0(c) = 0. Но

g0(x) = f0(x) ¡ f(b) ¡ f(a) : b ¡ a

Следовательно,

g0(c) = f0(c) ¡ f(b) ¡ f(a) = 0: b ¡ a

Умножив на b ¡ a и разнеся слагаемые по разные стороны от знака равенства, получим формулу 4.79.

Формулу 4.79 называют формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.

Часто бывает более удобным использовать формулу Лагранжа в виде

Возможность перехода от (4.79) к (4.80) устанавливается легко. Если положить µ = cb ¡¡ aa, то нетрудно заметить, что 0 < µ < 1 и что c = a + µ(b ¡ a).

Несмотря на то, что точное значение c (равно как и µ) за очень редким исключением определить невозможно, формула Лагранжа, как мы убедимся ниже, имеет многочисленные применения.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа: при выполнении её условий найдётся точка c такая, что касательная к графику функции в этой точке параллельна хорде, соединяющей концы графика.

Так же, как и в предыдущих теоремах, в теореме Лагранжа лишних условий нет.

Пример 4.18 Пусть f(x) = jxj; x 2 [¡1; 2].

Функция непрерывна на [¡1; 2], но в точке x = 0 не дифференцируема. f(2) ¡ f(¡1) = 1, а 2 ¡ (¡1) = 3. Для справедливости равенства (4.79) необходимо, чтобы f0(c) = 13, но f0(x) = ¡1 при x < 0 и f0(x) = 1

при x > 0.

Пример 4.19 Пусть f(x) = sgnx; x 2 [0; 1]. Функция дифференцируема в интервале (0; 1), но не является непрерывной в точке x = 0. f(1) ¡f(0) = 1, а f0(x) = 0 всюду на (0; 1). Равенство (4.79) невозможно.

Приведём некоторые часто употребляемые варианты формулы Лагранжа.

1) Если функция f дифференцируема на открытом промежутке X и x1; x2 2 X, то

или

В этих формулах не имеет значения взаимное расположение точек x1; x2, ибо при перемене их местами обе части формул одновременно изменяют знак.

2)Если функция f дифференцируема на открытом промежутке X, x 2 X и ¢x таково, что x + ¢x 2 X, то

или

186 Оглавление

Теорема 4.14 (Коши) Пусть функции f и g непрерывны на отрезке

Доказательство. Отметим прежде всего, что g(b) =6 g(a), ибо в против-

ном случае по теореме Ролля нашлась бы точка c 2 (a; b), в которой

g0(c) = 0.

Рассмотрим функцию F (x) = f(x) ¡ f(a) ¡ f(b) ¡ f(a)(g(x) ¡ g(a) и g(b) ¡ g(a)

покажем, что она на отрезке [a; b] удовлетворяет всем условиям теоремы

Ролля.

1)Функция F непрерывна на отрезке [a; b] как сумма непрерывных функций.

2)Функция F дифференцируема в интервале (a; b) как сумма дифференцируемых в этом интервале функций.

3)Непосредственной проверкой убеждаемся, что F (a) = F (b) = 0. В таком случае по теореме Ролля найдётся c 2 (a; b), в которой

F 0(c) = 0. Дифференцируя функцию F и подставляя в полученное вы-

ражение c, получим

F 0(c) = f0(c) ¡ f(b) ¡ f(a)g0(c) = 0; g(b) ¡ g(a)

откуда после очевидных преобразований вытекает равенство (4.85).

Следует отметить, что теорема Лагранжа является частным случаем

теоремы Коши, получающимся при g(x) = x, и если теорема Лагранжа

доказана отдельно, то только ввиду исключительно важной роли, кото-

рую она играет в математическом анализе.

Правило Лопиталя

В качестве первого применения свойств дифференцируемых функций выведем правило Лопиталя раскрытия неопределённостей вида 00 и 11.

±

определены и дифференцируемы в U± (a), причём всюду в этой окрестности g0(x) =6 0, и

lim f(x) = lim g(x) = 0:

x!a x!a

Тогда, если существует (конечный или бесконечный) lim f0(x), то су-

x!a g0(x)

ществует и lim f(x), причём

x!a g(x)

Доказательство. Доопределим функции f и g в точке x = a, положив f(a) = 0 и g(a) = 0. Тогда lim f(x) = f(0) и lim g(x) = g(0). Это означает, что функции f и g непрерывны в точке x = a, а в остальных точках окрестности они непрерывны в силу дифференцируемости. Тогда для

где » 2 (a; x). Поскольку при x ! a », находясь между a и x, тоже стремится к a, то в правой части полученного равенства под знаком предела вместо условия x ! a можно поставить условие » ! a, но тогда оно будет отличаться от доказываемого равенства (4.86) только обозначением переменной в правой части.

Замечание 4.4 Теорема остаётся справедливой и для односторонних

± §

пределов. Если функции f и g определены и дифференцируемы в U± (a), причём всюду в этой окрестности g0(x) 6= 0, и

lim f(x) = lim g(x) = 0;

x!a§0 x!a§0

то, если существует (конечный или бесконечный) lim f0(x), то су-

x!a§0 g0(x)

ществует и lim f(x)

x!a§0 g(x)

Замечание 4.5 Теорема остаётся справедливой также и при стремлении x к 1(§1). Пусть все условия теоремы выполнены в окрестно-

В случае односторонних окрестностей бесконечно удалённой точки сле-

дует дополнительно учесть предыдущее замечание.

Пример 4.20 Вычислить lim tg x ¡ x . x!0 x ¡ sin x

Решение. Убеждаемся, что выполнены условия применения первого

правила Лопиталя, и применяем его.

Замечание 4.6 Правило Лопиталя обратной силы не имеет. Может

существовать предел отношения функций, а предел отношения произ-

водных нет.

не существует, так как знаменатель стремится к единице, а числитель предела не имеет.

Теорема 4.16 (Второе правило Лопиталя) Пусть функции f и g

±

определены и дифференцируемы в U± (a), причём всюду в этой окрестности g0(x) =6 0, и

lim f(x) = lim g(x) = 1:

x!a x!a

Тогда, если существует (конечный или бесконечный) lim f0(x), то су-

x!a g0(x)

ществует и lim f(x), причём

x!a g(x)

Рассмотрим сначала случай конечного b. Зафиксируем " > 0. Тогда по определению предела функции найдётся такое ±1 (0 < ±1 · ±), что

jf(x)j > jf(x1)j. Тогда для любого такого x будем иметь: f(x) ¡f(x1) =6 0 (g(x) ¡ g(x1) =6 0 при x =6 x1 по теореме Лагранжа, так как по условию

±

g0(x) =6 0 в U± (a)).

±

Рассмотрим теперь любое x, удовлетворяющее двум условиям: x 2U±2

(a) и находится по ту же сторону от точки a, что и x1, и преобразуем