Matan_1_semestr_Lektsii
.pdf90 |
Оглавление |
изолированная (найдётся её окрестность, в которой нет других точек множества, кроме a), либо предельная (если в каждой её окрестности содержатся точки множества, не совпадающие с a).
Определение 3.3 Назовём множество X ½ R замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки, то есть, если X0 ½ X.
Определение 3.4 Обозначим символом X и назовём замыканием множества X ½ R множество, образованное путём присоединения к множеству X всех его предельных точек, то есть, X = X SX0.
Саму операцию присоелинения к множеству его предельных точек
тоже называют замыканием.
Из этих определений ясно, что для замкнутого множества X = X, а
для не замкнутого X ½ X.
Примеры
1. |
Пустое множество ? будем считать замкнутым по определению. |
||||||||
2. |
Множества R, [a; b], fx1; x2; :::; xmg замкнуты. |
||||||||
|
1 |
|
|||||||
3. |
Множества (a; b), Q, X = ½ |
|
: n 2 N : n 2 N¾ не замкнуты. |
||||||
n |
|||||||||
|
|
|
= [a; b], |
|
= R, |
|
= f0g SX. |
||
|
|
(a; b) |
Q |
X |
Определение 3.5 Точку a множества X ½ R назовём внутренней точкой множества, если найдётся окрестность точки a, все точки которой принадлежат множеству X.
Определение 3.6 Множество X ½ R назовём открытым, если все его точки внутренние.
Примеры.
1.Пустое множество ? будем считать открытым по определению.
2.R, (¡1; a), (a; +1), (a; b) (a < b) открытые множества. Покажем, что интервал (a; b) открытое множество, тогда откры-
тость остальных множеств станет очевидной. Пусть x любая точка
3. Предел и непрерывность функции |
91 |
интервала (a; b). Тогда a < x < b, поэтому ± = minfx ¡ a; b ¡ xg > 0. Очевидно, U±(x) ½ (a; b), поэтому точка x внутренняя точка интервала (a; b). Так как все точки интервала (a; b) являются внутренними, то, по определению, интервал (a; b) открытое множество.
3. Множества [a; b], (¡1; a], [a; +1) не являются открытыми.
Это утверждение следует из того, что точка a не является внутренней для каждого из множеств, ибо любая её окрестность содержит точки, не принадлежащие множеству.
4. Множество Q не является открытым.
Ни одна точка множества Q не является внутренней, потому что в любой окрестности любого вещественного числа содержатся как рациональные, так и иррациональные числа.
Определение 3.7 Пусть множество X ½ R. Обозначим символом
CX (или CRX) и назовём дополнением множества X (до R) разность
R n X.
Примеры.
1.CR = ?, C? = R.
2.CQ = J (множество иррациональных чисел).
3.C[a; +1) = (¡1; a), C(a; +1) = (¡1; a].
Замкнутые и открытые множества связаны между собой следующим утверждением.
Теорема 3.4 Множество X ½ R замкнуто тогда и только тогда, когда его дополнение CX открыто.
Доказательство.
Необходимость. Пусть множество X замкнуто и a любая точка, не принадлежащая X, то есть, a 2 CX. Так как X замкнуто, то a не может быть его предельной точкой, поэтому найдётся окрестность U±(a), не содержащая точек множества X, то есть, U±(a) ½ CX, а это означает,
92 |
Оглавление |
что a внутренняя точка множества CX. Итак, все точки множества
CX внутренние, следовательно, CX открытое множество.
Достаточность. Пусть множество CX открыто. Тогда все его точкивнутренние, то есть, имеют окрестность, в которой нет точек множества X. Но это означает, что ни одна точка a, не принадлежащая множеству X, не может быть предельной для него, следовательно, каждая предельная точка множества X принадлежит множеству X, то есть, множество X замкнуто.
Примеры.
1.CR = ?. Множество R одновременно и замкнутое, и открытое, поэтому и пустое множество принято считать и открытым и замкнутым, чтобы не делать оговорок в доказанной теореме.
2.CQ = J. Множество рациональных чисел Q не является ни открытым, ни замкнутым, поэтому и множество иррациональных чисел J ни замкнуто, ни открыто.
Определение 3.8 Пусть даны числовые множества X и G¸ (¸ 2 ¤), где ¤ произвольный набор индексов. Систему множеств fG¸g назо-
вём покрытием множества X, если X ½ S G¸, другими словами, если
¸2¤
для каждого x 2 X найдётся ¸ 2 ¤ такое, что x 2 G¸.
Покрытие будем называть открытым, если все множества G¸
открытые.
Покрытие будем называть конечным, если множество ¤ конечное.
Примеры
1.Пусть X ½ R ограниченное множество, m = inf X, M = sup X. Тогда отрезок [m; M] покрытие множества X.
2.Пусть X ½ R произвольное множество. Для каждого x 2 X
определим ±x > 0 и построим интервал Gx = (x ¡ ±x; x + ±x). Система интервалов fGx : x 2 Xg открытое покрытие множества X.
3. |
|
Предел и непрерывность функции |
|
|
|
|
|
93 |
||
|
|
3. Рассмотрим интервал (0; 1) и систему интервалов µ |
1 |
; 1¶ (n 2 N). |
||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
n |
||||||||
Так как для каждого x 2 (0; 1) найдётся n 2 N такое, что |
1 |
|
< x, то x 2 |
|||||||
|
|
|
||||||||
n |
||||||||||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
µ |
|
; 1¶, следовательно, система интервалов ½µ |
|
; 1¶ : |
n 2 N¾ образует |
|||||
n |
n |
открытое покрытие интервала (0; 1).
Теорема 3.5 (Гейне, Борель) Из любого открытого покрытия отрезка [a; b] можно выделить конечное покрытие.
Доказательство. Необходимо доказать, что если система множеств fG¸ :
¸ 2 ¤g образует покрытие отрезка [a; b], то из этой системы можно выделить конечный набор множеств G¸1 , G¸2 ,. . . , G¸l , тоже образующий покрытие отрезка [a; b].
Доказательство проведём методом от противного. Предположим, что утверждение теоремы неверно. Тогда найдётся такое покрытие fG¸ : ¸ 2
¤g отрезка [a; b], из которого конечного покрытия выделить нельзя. Разделим отрезок [a; b] пополам точкой c = (a + b)=2. Если из систе-
мы множеств fG¸g нельзя выделить конечного покрытия отрезка [a; b], то нельзя выделить и конечного покрытия по крайней мере одного из отрезков [a; c] или [c; b], потому что в противном случае объединение конечных покрытий этих отрезков составляло бы конечное покрытие всего отрезка [a; b]. Возьмём тот из двух отрезков, который не имеет конечного покрытия, и обозначим его [a1; b1] (если конечного покрытия не имеют оба отрезка, то можно взять любой). Разделим отрезок [a1; b1] пополам точкой c1 = (a1 + b1)=2. По той же причине, что и выше, для одного из получившихся отрезков, [a1; c1] или [c1; b1], не существует конечного покрытия множествами из системы fG¸g. Возьмём тот из них, для которого конечного покрытия не существует, обозначим его [a2; b2], разделим пополам точкой c2 = (a2 + b2)=2 и так далее.
В результате бесконечного продолжения описанного процесса мы получим стягивающуюся последовательность сегментов
[a; b] ¾ [a1; b1] ¾ [a2; b2] ¾ : : : ¾ [ak; bk] ¾ : : : ;
94 |
Оглавление |
которая по теореме Кантора (теорема 2.15) имеет единственную общую точку x0. Так как точка x0 принадлежит сегменту [a; b], а система fG¸g
образует покрытие отрезка [a; b], то найдётся множество G¸0 , содержащее точку x0. Множество G¸0 открытое, поэтому найдётся окрестность
U±(x0) точки x0, содержащаяся в G¸0 . Так как длины выделенных сегментов [ak; bk], равные (b ¡ a)=2k, стремятся к нулю при k ! 1, то найдётся сегмент [ak0 ; bk0 ], длина которого будет меньше ±. Так как точка x0 2 [ak0 ; bk0 ], то расстояние от неё до каждого из концов сегмента [ak0 ; bk0 ] не превосходит длины сегмента, то есть меньше ±, а радиус окрестности U±(x0) равен ±, поэтому
[ak0 ; bk0 ] ½ U±(x0) ½ G¸0 ;
то есть сегмент [ak0 ; bk0 ] покрывается одним множеством из системы fG¸g, в то время как по построению ни для одного из выделенных отрезков [ak; bk] конечного покрытия множествами из системы fG¸g не существует.
Получено противоречие. Теорема доказана.
Следствие 3.1 Если F ½ R ограниченное замкнутое множество, то из любого его открытого покрытия можно выделить конечное покрытие.
Доказательство. Так как множество F ограничено, то существуют a = inf F и b = sup F . Очевидно, F ½ [a; b]. Пусть система множеств fG¸ :
¸ 2 ¤g открытое покрытие множества F . Если система fG¸ : ¸ 2 ¤g
e
не образует покрытия отрезка [a; b], то добавим к ней множество G =
e
CF = R n F . Множество G открытое как дополнение замкнутого множества (теорема 3.4), не содержит точек множества F , следовательно,
содержит все те точки отрезка [a; b], которые не принадлежат F , поэто-
S e
му система множеств fG¸g G является открытым покрытием отрезка
[a; b]. По доказанной теореме из него можно выделить конечное покрытие отрезка [a; b], а значит, и множества F . Если в это покрытие входит
3. Предел и непрерывность функции |
95 |
e
множество G, то удалим его, так как оно точек множества F не содержит. Останется конечное покрытие множества F .
Определение 3.9 Множество F ½ R называют компактным множеством, если из любого его открытого покрытия можно выделить конечное покрытие.
Если использовать определение компактного множества, то следствие из теоремы Гейне-Бореля можно сформулировать так: любое ограниченное замкнутое множество F ½ R компактно.
Замечание 3.2 Требования ограниченности и замкнутости множества для возможности выделения конечного покрытия существенны. В приведённом выше примере 3 из указанного покрытия интервала конечного покрытия выделить нельзя. Если же множество замкнуто, но не ограничено, то можно построить контрпример, немного подправив пример 2, взяв ±x < 1 для каждого x 2 F . Тогда объединение любой конечной системы интервалов будет иметь конечную длину и не сможет покрыть множество F .
Предел функции
Пусть X некоторое множество вещественных чисел, X ½ R, a
его предельная точка, a 2 X0, и f вещественнозначная функция, определённая на множестве X, f : X ! R.
Определение 3.10 (Коши) Будем говорить, что вещественное число b называется пределом (предельным значением) функции f в точке a (при x, стремящемся к a), и писать
lim f(x) = b;
x!a
если выполняется следующее условие: для любого " > 0 найдётся ± > 0
такое1, что для любого x из области определения функции f, удовле-
1Вообще говоря, ± зависит от ", то есть, ± = ±(").
96 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оглавление |
творяющего условию 0 < |
x |
¡ |
a |
j |
< ± ( |
8 |
x |
2 |
X |
± |
± (a)), выполняется |
||||||
неравенство |
j |
f(x) |
¡ |
b |
j |
< ".j |
|
|
|
|
|
T U |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение 3.11 (Гейне) Вещественное число b будем называть пределом функции f в точке a и писать
lim f(x) = b;
x!a
если для любой последовательности (xn)n2N элементов множества X
такой, что xn ¡¡¡! a, xn =6 a (n 2 N), выполняется условие f(xn) ¡¡¡!
n!1 n!1
b.
Теорема 3.6 Определения сходимости по Коши и по Гейне эквивалентны.
Доказательство. Необходимо доказать, что если lim f(x) = b по Коши,
то lim f(x) = b и по Гейне, и наоборот. |
x!a |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x!a |
X |
½ R, |
a |
|
X |
0 |
|
f : X |
lim f(x) = b |
|
|
|
|
|
|
I. Пусть |
|
|
2 |
|
|
, |
|
! R и x!a |
|
по Коши. Тогда для |
|||||
любого " > 0 найдётся ± > 0 такое, что для любого x |
± |
± (a) |
T |
X будет |
|||||||||||
выполняться неравенство |
|
|
|
|
|
|
2U |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
jf(x) ¡ bj < ": |
|
|
|
|
|
(3.31) |
Пусть (xn)n2N любая последовательность, удовлетворяющая усло-
виям: (xn)n2N ½ X, xn ¡¡¡! a и xn =6 a (n 2 N). Так как xn ¡¡¡! a, то по
n!1 n!1
найденному ± можно указать такой номер n0, что при всех n ¸ n0 будет выполняться условие jxn ¡ aj < ±. Но тогда из (3.31) следует, что
jf(xn) ¡ bj < "
для любого n >¸ n0. Так как " > 0 произвольно, то это означает, что
f(xn) |
n |
|
b, то есть, lim f(x) = b по Гейне. |
|
|
|
|
||||||
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
¡¡¡! |
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
!1 |
X |
|
a |
|
X0 |
|
f : x |
|
lim f(x) = b |
||
II. Пусть, как и прежде, |
½ R, |
2 |
, |
! R и |
|||||||||
|
|
|
|
x!a |
по Гейне. Предположим, что число b не является пределом функции f
3. Предел и непрерывность функции |
97 |
в точке a по Коши. Тогда найдётся "0 > 0 такое, что для любого ± >
0 найдётся x 2 X и удовлетворяющий условию 0 < jx ¡ aj < ±, для которого jf(x) ¡bj ¸ "0. В таком случае рассмотрим последовательность положительных чисел ±n, сходящуюся к нулю, и для каждого n подберём xn 2 X так, чтобы 0 < jxn ¡ aj < ±n, но jf(xn) ¡ bj ¸ "0. Тогда, очевидно,
последовательность (xn) ½ X, xn ¡¡¡! a, xn 6= a (n 2 N), но f(xn) 9 b.
n!1
Это невозможно, так как по условию b является пределом f(x) при x ! a
по Гейне.
Следовательно, если b является пределом функции f в точке a по Гейне, то оно является пределом функции f в точке a и по Коши.
Пример 3.1 Пусть X = R, f(x) ´ c; c 2 R и a 2 R любое. Тогда
lim f(x) = c.
x!a
Возьмём любое " > 0 и любое ± > 0. Тогда, если 0 < jx ¡ aj < ±, то
jf(x) ¡ cj = jc ¡ cj = 0 < ", следовательно, lim f(x) = c по Коши.
x!a
Пример 3.2 Пусть X = R, f(x) = x и a 2 R любое. Тогда lim f(x) =
x!a
a.
Выберем " > 0 и положим ± = ". Тогда для любого x, удовлетворяющего условию 0 < jx ¡ aj < ±, имеем: jf(x) ¡ aj = jx ¡ aj < ± = ",
следовательно, lim f(x) = a по Коши.
x!a
Пример 3.3 Пусть X = Rnf0g, f(x) = sin x1 .
Покажем, что при x ! 0 функция sin x1 предела не имеет. Используем определение предела функции по Гейне. Рассмотрим последовательность
xn = |
1 |
|
|
(n 2 N). Тогда xn ! 0, xn 6= 0, но последовательность |
||
|
|
|||||
¼=2 + ¼n |
||||||
|
1 |
= sin ³ |
¼ |
+ ¼n´ = (¡1)n предела не имеет. |
||
f(xn) = sin |
|
|
||||
xn |
2 |
Пример 3.4 Пусть X = [0; 1] и D(x) функция Дирихле (см. (1.15)).
98 |
Оглавление |
Покажем, что функция Дирихле ни в одной точке a отрезка [0; 1]
предела не имеет, используя определение предела по Гейне.
Пусть (x0n) последовательность рациональных чисел, сходящаяся к a, xn =6 a (n 2 N). Тогда D(x0n) = 1 ! 1.
Пусть (x00n) последовательность иррациональных чисел, сходящаяся к a, xn =6 a (n 2 N). Тогда D(xn) = 0 ! 0.
То, что по двум последовательностям, сходящимся к a, получаются различные пределы, противоречит определению предела функции по Гейне.
Расширим понятие предела функции в точке, введя односторонние пределы, бесконечные пределы, предел в бесконечно удалённой точке.
Односторонние пределы
Пусть X ½ R, f : X ! R, a 2 X0 и любая левосторонняя окрестность
±
U¡± (a) = (a ¡ ±; a) точки a содержит точки множества X.
Определение 3.12 Число b будем называть левым пределом (или пределом слева) функции f в точке a и писать
lim f(x) = b = f(a ¡ 0);
x!a¡0
если:
a) по любому " > 0 можно подобрать ± > 0 так, чтобы для любого
x 2 (a ¡ ±; a) |
|
X выполнялось условие jf(x) ¡ bj < " (Коши); |
|
||||||
b) для любой |
последовательности (xn) |
|
X такой, что xn < a (n ), |
||||||
T |
|
|
½ |
|
|
2 N |
|||
xn n |
|
a, последовательность f(xn) |
|
|
b (Гейне). |
||||
|
|
n |
|
|
|||||
¡¡¡! |
|
|
|
¡¡¡! |
|
|
|||
|
!1 |
|
|
|
|
!1 |
|
|
Аналогично определяется правый предел. Пусть X ½ R, f : X ! R,
±
a 2 X0 и любая правосторонняя окрестность U +± (a) точки a содержит точки множества X.
Определение 3.13 Число b будем называть правым пределом (или пре-
3. Предел и непрерывность функции |
99 |
делом справа) функции f в точке a и писать
lim f(x) = b = f(a + 0);
x!a+0
если:
a) по любому " > 0 можно подобрать ± > 0 так, чтобы для любого
x 2 (a; a + ±) |
|
X выполнялось условие jf(x) ¡ bj < " (Коши); |
|
||||||
b) для любой |
последовательности (xn) |
|
X такой, что xn > a (n ), |
||||||
T |
|
|
½ |
|
|
2 N |
|||
xn n |
|
a, последовательность f(xn) |
|
|
b (Гейне). |
||||
|
|
n |
|
|
|||||
¡¡¡! |
|
|
|
¡¡¡! |
|
|
|||
|
!1 |
|
|
|
|
!1 |
|
|
Левый и правый пределы функции в точке будем называть односторонними пределами.
Эквивалентность определений односторонних пределов по Коши и по
Гейне устанавливается точно так же, как и для обычных пределов.
±
Если a 2 X0, то любая окрестность U± (a) содержит точки множества
±
X. Но тогда или любая левосторонняя окрестность U ¡± (a), или любая
±
правосторонняя окрестность U+± (a), или обе содержат точки множества
X. В таком случае, сравнивая определения предела и односторонних пре-
делов, получаем, что если в точке a существует lim f(x) = b, то в этой
x!a
точке существует и тоже равен b один из односторонних пределов f(a+0)
или f(a¡0) или оба. Например, если X = (c; d), то x ! c автоматически означает, что x ! c + 0, следовательно, существование предела и правого предела функции в точке c одно и то же. Аналогично, в точке d существование предела функции равносильно существованию левого предела.
Нетрудно установить и обратное: если в какой-либо точке существуют оба односторонних предела данной функции и они равны между собой, то в этой точке определён и предел функции, совпадающий с односторонними пределами. Предлагаем читателям самостоятельно убедиться в справедливости этого утверждения.
Однако возможны и иные ситуации.