2 семестр / Сборник задач. Электричество и магнетизм

10.1.Прямой соленоид длиной ℓ и диаметром d содержит n витков на единицу длины. Выведите формулу для расчета его индуктивности, считая ℓ >> d.

10.2.Соленоид, однослойная обмотка которого состоит из N = 1000 витков, обладает индуктивностью L = 5,0 мГн. Чему равны магнитный поток и потокосцепление, создаваемые соленоидом при токе I = 0,60 А?

10.3.Прямой соленоид, содержащий n витков на единицу длины, обтекается током I. Длина соленоида ℓ, диаметр d (ℓ >> d).

1. Найдите объемную плотность энергии магнитного поля внутри соленоида.

2. Определите энергию поля соленоида, считая поле однородным и локализованным внутри соленоида.

10.4.Два длинных проводника круглого сечения радиусом R = 2,0 мм каждый, оси которых расположены параллельно друг другу, на расстоянии a = 50 мм, образуют двухпроводную систему, обтекаемую током I = 10 А. Пренебрегая полем внутри металла:

1. Определите магнитный поток, приходящийся на единицу длины системы.

2. Найдите индуктивность единицы длины двухпроводной линии.

3. Определите энергию поля, приходящуюся на единицу длины системы.

10.5.Длинный коаксиальный кабель обтекается током I = 0,5 А. Радиус внутреннего

провода (жилы) R1 = 1 мм, радиус внешней оболочки R2 = 5 мм.

1. Пренебрегая полем внутри металла, рассчитайте магнитный поток и энергию поля, приходящиеся на единицу длины системы.

2. Учитывая поле внутри жилы, рассчитайте полную энергию системы на единицу длины.

3. Найдите индуктивность единицы длины коаксиального кабеля, используя выражение для энергии, полученное в п.2.

10.6.Длинный коаксиальный кабель обтекается током, так что энергия поля, локализованная между жилой и оболочкой на единицу длины, равна W/ℓ. Радиус

внутреннего провода (жилы) R1, радиус внешней оболочки R2. Определите ток, текущий в кабеле.

10.7. По тонкому прямому проводу течет ток I.

Определите энергию магнитного поля, локализованную в цилиндрическом слое с внутренним радиусом R1, внешним R2 и высотой h, коаксиальном проводу.

10.8. Обмотка тороидальной катушки длиной ℓ = 25 см с квадратным поперечным сечением S = 1,0 см2 содержит N = 1000 витков. По обмотке течет ток I = 5,0 А. Найдите индуктивность и энергию магнитного поля такой катушки.

К задаче 10.9

51

10.10. Определите закон изменения тока, текущего через катушку индуктивности в схеме (см. рис.), при замыкании ключа.

Кзадаче 10.11

10.12.Через соленоид с индуктивностью L = 0,50 Гн идет ток I = 1,0 А. Концы обмотки соленоида отключаются от источника ЭДС и мгновенно подключаются к баллистическому гальванометру с сопротивлением R = 1000 Ом.

Найдите заряд, который измерит гальванометр.

10.13.Две катушки с индуктивностями L1 5 мГн и L2 4 мГн соединены

последовательно. Направления токов в витках совпадают. Индуктивность системы L 11 мГн.

1.Определите взаимную индуктивность катушек.

2.Рассчитайте индуктивность системы при изменении направления тока в одной из катушек.

10.14. Определите взаимную индуктивность двух катушек одинакового сечения и длины, навитых на общий сердечник, если их собственные индуктивности равны L1 0,16 Гн и L2 0,20 Гн.

10.15. Две катушки, индуктивности которых равны L1 и L2 , а взаимная индуктивность

M, расположены на одной оси. Токи в катушках I1 и I2 направлены одинаково. Определите энергию магнитного поля системы и работу сил поля при медленном удалении одной катушки на бесконечность.

10.16. Рядом расположены два витка проволоки. По первому течет ток I 10,0 А. В цепь второго витка включен баллистический гальванометр. Полное сопротивление второй цепи R 5,0 Ом. Чему равна взаимная индуктивность витков, если при

выключении тока I через гальванометр проходит заряд Q 1,0 10 8 Кл?

52

10.17.На бесконечно длинный соленоид с плотностью намотки n и площадью поперечного сечения S намотана катушка из N витков.

Найдите взаимную индуктивность катушки и соленоида.

10.18.Определите взаимную индуктивность тороида и проходящего по его оси (перпендикулярно плоскости тороида) бесконечного прямого провода. Тороид имеет

прямоугольное сечение высотой h. Внутренний радиус тороида равен R1, внешний R2. Число витков тороида N.

53

11. Уравнения Максвелла. Магнитное поле в веществе

Уравнения Максвелла содержат в себе все законы электрического и магнитного полей в неподвижных средах.

Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной форме.

Материальные уравнения:

D 0E ,

B 0H . Закон Ома:

j E .

Уравнения Максвелла линейны. Линейность следует из справедливости принципа суперпозиции. Если два поля удовлетворяют уравнениям Максвелла, то их сумма должна удовлетворять системе уравнений Максвелла.

Теория Максвелла объяснила существующие явления и позволила предсказать новые: на основе предположения о магнитном поле тока смещения Максвелл теоретически предсказал существование электромагнитных волн, т.е. переменного электромагнитного поля, распространяющегося в пространстве с конечной скоростью.

При расчете магнитной индукции в веществе следует учитывать, что магнитная проницаемость ферромагнетиков и магнитная индукция в них сложным образом зависят от напряженности магнитного поля.

11.1.Плоский конденсатор емкостью C, заряженный до напряжения U0, разряжается через сопротивление R. Найдите магнитную индукцию B внутри конденсатора на расстоянии r от центра обкладок. Пластины конденсатора – круглые диски площадью S.

11.2.Пластины плоского воздушного конденсатора площадью S соединены витком провода. В цепи создан синусоидальный ток I Im sin t .

Найдите амплитуду напряженности электрического поля в конденсаторе и амплитуду магнитной индукции на расстоянии r от центра обкладок.

54

11.3. Плоский конденсатор образован двумя дисками, между которыми находится однородная слабо проводящая среда. Конденсатор зарядили и отключили от источника напряжения.

1.Пренебрегая краевыми эффектами, покажите, что магнитное поле внутри конденсатора отсутствует.

2.Найдите плотности тока проводимости и тока смещения. Радиус дисков r, расстояние, между ними ℓ, диэлектрическая проницаемость среды ε, удельное

сопротивление ρ. Начальная разность потенциалов между дисками U0.

11.4. Пространство между обкладками плоского конденсатора, имеющими форму круглых дисков, заполнено однородной слабо проводящей средой с удельной проводимостью σ и диэлектрической проницаемостью ε. Расстояние между обкладками d. Пренебрегая краевыми эффектами, найдите напряженность магнитного поля между обкладками на расстоянии r от их оси, если на конденсатор подано переменное

напряжение U = Um cos ωt.

11.5. Длинный прямой соленоид имеет n витков на единицу длины. По нему течет

переменный ток I = Im sin ωt. Радиус сечения соленоида r0.

Найдите плотность тока смещения как функцию расстояния r от оси соленоида.

11.6. Между полюсами электромагнита создано постоянное во времени неоднородное магнитное поле, обладающее осевой симметрией. Его магнитная индукция зависит от

расстояния от оси следующим образом: при r < r0 B0 Ar03 , при r < r0 B0 = A/r3. После выключения тока в электромагните магнитная индукция уменьшается со временем по закону B = B0eхр(– t/τ), где A, τ, r0 известны.

1.Найдите распределение напряженности электрического поля E(r) в пространстве между полюсами электромагнита в некоторый момент времени после отключения тока.

2.Постройте графики E(r) для моментов времени t = 0 и t = τ.

3.На каком расстоянии от оси достигается наибольшая напряженность электрического поля?

11.7. На железный сердечник, имеющий форму тонкого тороида средней длины ℓ = 40 см, навита обмотка, состоящая из N = 400 витков. Кривая намагничивания этого сорта железа изображена на рисунке. Найдите магнитную индукцию и относительную

магнитную проницаемость сердечника, если ток в обмотке I1 = 0,40 А, I2 = 1,2 А.

55

11.8.Железное кольцо (тороид) имеет следующие размеры: средний радиус r = 15 см, площадь сечения кольца S = 2,0 см2. На кольцо навита обмотка из N = 500 витков. При каком токе I магнитный поток в кольце Φ = 2,4 · 10-4 Вб? Кривая намагничивания железа приведена на рисунке.

11.9.Замкнутый железный сердечник кольцевого соленоида имеет длину ℓ = 20 см, поперечное сечение S = 0,50 см2. По обмотке соленоида идет ток I = 1,1 А, при этом магнитный поток в сердечнике Φ = 7,0 · 10-5 Вб. Кривая намагничивания железа изображена на рисунке.

Найдите число витков в обмотке.

11.10.По длинному цилиндрическому проводу радиусом r0 = 5,0 мм идет ток I = 40 А. Провод: а) медный (диамагнетик); б) алюминиевый (парамагнетик); в) железный (кривая намагничивания см. рис.). Плотность тока считать постоянной по сечению.

1. Найдите напряженность магнитного поля H и магнитную индукцию B на

расстояниях r1 = 2 мм, r2 = 5 мм и r3 = 8 мм от оси провода. 2. Постройте графики зависимостей H(r) и B(r).

11.11.Сердечник соленоида имеет форму тора средней длины ℓ = 100 см с воздушным зазором ℓ = 0,20 см. Поперечное сечение тора S = 3,0 см2. Обмотка имеет N = 800 витков, по которым идет ток I = 2,0 А. Сердечник выполнен из железа, кривая намагничивания которого изображена на рисунке.

Найдите магнитный поток в сердечнике и относительную магнитную проницаемость.

11.12.При протекании тока по обмотке тонкого замкнутого железного сердечника длиной ℓ = 0,60 м создается магнитное поле с индукцией B = 1,4 Тл. Какой длиной ℓ воздушный зазор нужно сделать в сердечнике, чтобы при том же токе магнитная индукция уменьшилась вдвое? Рассеянием магнитного поля в зазоре пренебречь.

11.13.Шар (μ ≈ 1) помещен в однородное магнитное поле и при охлаждении переходит в сверхпроводящее состояние. Нарисуйте линии магнитной индукции: а) до и б) после охлаждения.

11.14.Длинный массивный сверхпроводящий цилиндр внесен в постоянное однородное магнитное поле с индукцией B, направленной параллельно оси цилиндра. Найдите силу, действующую на единицу площади боковой поверхности цилиндра (давление).

11.15.Над плоской поверхностью сверхпроводника параллельно ей расположен тонкий прямой провод с током I.

1. Найдите линейную плотность поверхностного тока в сверхпроводнике на расстоянии r от провода, если он закреплен на высоте h от сверхпроводника.

2. На какой высоте h над поверхностью сверхпроводника будет свободно висеть

("парить") провод, если I = 20 А и погонная плотность провода ρ = 2·10–3 кг/м.

56

12. Электромагнитные колебания и волны

Свободные (собственные) колебания происходят в отсутствие переменных внешних воздействий.

При гармонических колебаниях изменяющаяся величина подчиняется гармоническому закону:

А t Am cos t 0 ,

где Am амплитуда,

t 0 фаза колебаний,частота,0 начальная фаза.

Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний:

Получим законы изменения заряда и тока:

qqm cos t 0 ,

I qm sin t 0 .

Энергия системы:

Если активным сопротивлением контура пренебречь нельзя, возникшие колебания будут затухающими, а соответствующее дифференциальное уравнение примет вид

57

d2q 2 dq 2q 0 , dt2 dt 0

где введены обозначения 2 RL , 02 LC1 .

Решение этого уравнения

q t qm exp t cos t 0 ,

где 02 2 .

и называется уравнением плоской бегущей волны.

Перенос энергии электромагнитной волной описывается вектором Пойнтинга.

E, H

12.1.Контур состоит из катушки индуктивности L = 0,10 мГн и конденсатора емкостью C = 100 пФ.

1. Найдите период собственных колебаний, возникающих в контуре, считая его активное сопротивление пренебрежимо малым.

2. Какова была бы длина электромагнитных волн, излучаемых подобным контуром?

12.2.Контур состоит из катушки индуктивностью L = 0,36 мГн и конденсатора емкостью С = 0,10 мкФ; активное сопротивление контура пренебрежимо мало. В

начальный момент времени конденсатор заряжен до напряжения U0 = 120 В.

1.Напишите уравнение колебаний заряда на обкладках конденсатора.

2.Найдите максимальный ток в контуре.

3.Определите величину ЭДС самоиндукции и энергию магнитного поля катушки через время τ = T/6 от начала колебаний.

12.3. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью C и катушки индуктивностью L. В начальный момент времени на конденсатор подают напряжение

U0, ток в конденсаторе отсутствует. Через какую долю периода t/T: а) энергия электрического поля станет равной 1/4 W0, где W0 – значение полной энергии контура? б) энергия магнитного поля достигнет значения 1/4 W0?

12.4. Колебательный контур состоит из. катушки индуктивностью L = 4,0 мкГн и конденсатора, емкость C которого может меняться от 4,4 нФ до 18 нФ.

Найдите границы интервала длин волн, на которые можно настроить этот контур.

58

12.5. Контур состоит из конденсатора емкостью C = 2,2 нФ и катушки индуктивностью L = 30 мкГн и омическим сопротивлением R = 1,0 Ом. Для поддержания в контуре незатухающих колебаний в контур надо подавать мощность P = 20 мкВт. Найдите максимальное напряжение на обкладках конденсатора.

3.Постройте графики зависимости U(t) и I(t).

12.7.Цепь составлена из последовательно соединенных источника постоянной ЭДС е, конденсатора емкостью C, катушки, индуктивность которой L и активное сопротивление R, и ключа.

Найдите закон изменения со временем напряжения U(t) на конденсаторе.

12.8.В однородной среде с ε = 4 и μ = 1 распространяется плоская электромагнитная

волна с амплитудой напряженности электрического поля Em = 200 В/м. Найдите для этой волны: а) амплитуду магнитной индукции; б) скорость распространения волны; в) амплитуду вектора Умова-Пойнтинга.

12.9. В среде с ε = 4,0 и μ = 1,0 распространяется плоская электромагнитная волна с амплитудой напряженности электрического поля Em = 200 В/м и частотой ν = 500 кГц. В ее поле находится свободный электрон. Какова амплитуда колебаний электрона и его

максимальная скорость? Удельный заряд электрона e/me = 1,8 · 1011 Кл/кг.

12.10. Электрон движется в вакууме со скоростью = 0,10 c (c – скорость света) вдоль направления распространения волны.

1.Рассчитайте амплитуду силы, действующей на электрон в поле электромагнитной волны с амплитудой вектора Пойнтинга Sm = 1,0 Вт/см2.

2.Найдите отношение амплитуд сил, действующих на электрон со стороны магнитного и электрического поля электромагнитной волны.

12.11.Найдите скорость распространения электромагнитных волн в кабеле, в котором пространство между внешним и внутренним проводом заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε =4,5. Потерями в кабеле пренебречь.

12.12.Найдите скорость распространения электромагнитных колебаний в стекле, если ε = 7, а μ = 1,0.

12.13.Электромагнитная волна с частотой ν = 3,0 МГц переходит из вакуума в немагнитную среду с диэлектрической проницаемостью ε = 4,0.

Найдите приращение ее длины волны.

59

12.14.Исходя из уравнений Максвелла, покажите, что для плоской электромагнитной волны ( = x, E = Ey, B = Bz), распространяющейся в вакууме, Et c2 Bx , Bt Ex .

12.15.Найдите среднее значение вектора Пойнтинга S плоской электромагнитной волны E = Em cos(ωt – kr), если волна распространяется в вакууме.

12.16. Воздух начинает ионизоваться при напряженности электрического поля E = 30 кВ/см. При какой средней плотности потока энергии плоских электромагнитных волн достаточно малой частоты в воздухе может наступить ионизация?

12.17. Плоская гармоническая электромагнитная волна в немагнитной среде (μ = 4,0) имеет следующие параметры: Em = 5,0 · 10–5 В/м; λ = 100 м; ν = 1 МГц. Какая энергия W

переносится волной за время τ = 10 мин через площадку S = 1,0 м2, расположенную перпендикулярно скорости распространения волны?

12.18.Двухпроводная линия индуктивно связана с генератором электромагнитных колебаний и погружена в спирт. Найдите частоту генератора, если расстояние между пучностями в стоячей волне ℓ = 0,5 м, а диэлектрическая и магнитная проницаемости равны 26 и 1.

12.19.Импульс, переносимый плоской электромагнитной волной в вакууме через

площадку S = 10 см2 за τ = 5,0 с, равен p = 1,0 · 10–2 кг · м/с. Найдите интенсивность волны.

12.20. Какое давление оказывает плоская электромагнитная волна на преграду, коэффициент отражения которой ρ = 0,9, расположенную под углом α = 30° к направлению распространения волны, если амплитуда напряженности магнитного поля

волны равна Hm = 3,0 · 10– 4 А/м?

60