2 семестр / Сборник задач. Электричество и магнетизм

8. Сила Лоренца

На движущийся заряд в магнитном поле действует сила Лоренца:

При одновременном действии на заряженную частицу электрического и магнитного поле под силой Лоренца понимают результирующую силу:

Сила Лоренца в любой момент перпендикулярна скорости, а значит, может изменить только направление скорости, но не ее величину.

Если скорость частицы направлена перпендикулярно линиям магнитной индукции однородного поля, траекторией будет окружность, радиус которой зависит от скорости и удельного заряда частицы. В зависимости от знака заряда, частица будет двигаться по часовой или против часовой стрелки (см. рис. 8.1).

B

Рис. 8.1

Если скорость частицы направлена под углом к линиям магнитной индукции траекторией заряда будет винтовая линия радиуса R с шагом h (см. рисунок 8.2), которые могут быть определены из второго закона Ньютона.

h

Рис. 8.2

41

8.1.Протон движется в однородном магнитном поле так, что его скорость перпендикулярна вектору магнитной индукции B. Удельный заряд протона известен. По какой траектории движется протон?

Определите радиус кривизны траектории и время одного оборота.

8.2.В однородном магнитном поле с индукцией B движется электрон, вектор скорости

которого направлен перпендикулярно линиям индукции магнитного поля.

Каковы величина и направление вектора магнитного момента эквивалентного кругового тока?

8.3.Ядро атома гелия (α-частица) движется свободно со скоростью = 3,5·106 м/с. В некоторый момент времени в окрестности частицы создается перпендикулярное к ее

скорости однородное магнитное поле с индукцией B = 1,0 Тл. Масса -частицы m = 6,7 · 10–27 кг.

Найдите:

1.Радиус траектории частицы.

2.Модуль и направление магнитного момента, создаваемого ею эквивалентного тока.

3.Отношение магнитного момента к ее механическому моменту импульса.

8.4.Электрон влетает в однородное магнитное поле с четко выраженной плоской границей, так что его скорость перпендикулярна и вектору магнитной индукции B, и границе поля. Удельный заряд электрона e/m.

Определите время пребывания заряда в поле.

8.5.Электрон, прошедший ускоряющее электрическое поле с разностью потенциалов U, влетает в однородное магнитное поле с четко выраженной границей, магнитная индукция которого B. Скорость электрона перпендикулярна вектору магнитной индукции и границе поля. Удельный заряд электрона e/m.

Найдите глубину проникновения заряда в магнитное поле.

8.6.Протон влетает в однородное магнитное поле с четко выраженной границей под углом к границе и перпендикулярно вектору магнитной индукции В.

С какой скоростью движется протон, если расстояние между точками влета и вылета в поле равно b?

8.7.Заряженная частица, двигаясь в магнитном поле по дуге окружности радиусом R1 2 см, прошла через свинцовую пластину, расположенную на ее пути. Вследствие

потери энергии радиус кривизны ее траектории изменился и стал равным R2 1см. Определите относительное изменение энергии частицы.

8.8. Положительно заряженная частица влетает со скоростью υ 106 м/с перпендикулярно границе раздела двух однородных магнитных полей, векторы индукции которых сонаправлены и равны B1 2 Тл и B2 8 Тл соответственно. Вектор

скорости частицы перпендикулярен линиям магнитной индукции.

Определите среднюю скорость смещения частицы вдоль границы раздела полей.

8.9. Электрон движется в однородном магнитном поле так, что его скорость составляет угол с вектором магнитной индукции В.

1.Определите вид траектории.

2.Каков радиус винтовой линии, по которой движется электрон в магнитном поле?

42

3. Найдите шаг винта (шаг винта – расстояние между соседними витками винтовой линии, измеренное вдоль ее оси).

8.10. Винтовая линия, по которой движется электрон в однородном магнитном поле, имеет диаметр d = 80 мм и шаг ℓ = 200 мм (см. задачу 8.9). Магнитная индукция B = 5 · 10–3 Тл.

Найдите скорость электрона.

8.11.Электрон движется в однородном магнитном поле со скоростью , направление

которой в любой момент времени составляет угол с линиями магнитной индукции. При какой магнитной индукции поля электрон пересекает одну и ту же силовую линию в двух точках, находящихся на расстоянии ℓ друг от друга?

8.12.Силовые линии однородных электрического и магнитного полей направлены взаимно перпендикулярно. Напряженность электрического поля E = 30 В/см. Магнитная индукция B = 0,010 Тл. Каковы должны быть направление и модуль вектора скорости электрона, попавшего в эти поля, чтобы движение его оставалось прямолинейным и равномерным (скорость дрейфа)?

8.13.Протон начинает движение в скрещенных электрическом и магнитном поляхE B без начальной скорости. Напряженность электрического поля E и индукция

магнитного поля В заданы. Удельный заряд протона q/m.

1.Определите вид траектории.

2.Какую максимальную скорость приобретет протон?

3.На какое расстояние сместится протон в направлении вектора напряженности электрического поля в процессе движения?

8.14. Для определения постоянной Холла германиевый образец прямоугольного сечения со сторонами a и b был помещен в однородное магнитное поле B = 0,25 Тл, линии индукции которого направлены перпендикулярно длине образца и стороне b его сечения. При пропускании вдоль образца тока I = 1,0 мА между противоположными гранями возникала разность потенциалов UАВ = 0,025 В (см. рис.).

Найдите по данным опыта концентрацию свободных электронов и постоянную Холла, если a = 0,20 мм.

скоростью движется поток проводящей жидкости с удельным сопротивлением . Система находится в магнитном поле, причем вектор индукции В параллелен пластинам и перпендикулярен направлению потока, т.е. вектору скорости. Пластины замкнули на внешнее сопротивление нагрузки R.

1.Какая мощность выделяется на этом сопротивлении?

2.При какой нагрузке выделяемая мощность будет максимальна?

43

9. Закон электромагнитной индукции

Электрические токи создают вокруг себя магнитное поле. Существует и обратное явление: изменяющееся магнитное поле вызывает появление электрических токов. Это явление было открыто Майклом Фарадеем.

Опыты Фарадея:

N

S

Рис. 9.1

Явление электромагнитной индукции, открытое Фарадеем, состоит в возникновении электрического тока в контуре (отклонение стрелки гальванометра) при изменении магнитного потока (см. рисунок 9.1).

Количественное соотношение, полученное Фарадеем, имеет вид q R ,

где пересеченный магнитный поток ,

R – сопротивление контура,

q – заряд, прошедший по контуру.

Наличие второй катушки вместо контура усиливает эффект. Суммарный магнитный поток

N ,

где N – число витков катушки, потокосцепление.

Закон электромагнитной индукции (закон Фарадея-Максвелла):

eинд N ddt ddt .

Знак « – » выражает правило Ленца:

Магнитный поток через поверхность, ограниченную контуром, стремится сохраниться постоянным. Индукционный ток всегда направлен так, чтобы возникающее собственное магнитное поле компенсировало изменение внешнего.

44

9.1. В однородном вертикальном магнитном поле с индукцией В равномерно движется в горизонтальной плоскости медный стержень длиной ℓ. Направление скорости

образует угол со стержнем.

Определите разность потенциалов, возникающую между концами стержня в процессе движения.

9.3.В однородном магнитном поле с индукцией B = 0,05 Тл в плоскости, перпендикулярной линиям индукции, расположен стержень длиной ℓ = 0,5 м. Стержень вращается вокруг оси, проходящей через один из его концов и параллельной линиям индукции, с постоянной угловой скоростью ω = 6,4 рад/с.

1. Найдите ЭДС индукции, возникающую в стержне.

2. Определите разности потенциалов между осью и серединой стержня, между серединой стержня и вторым его концом.

9.4.Медный диск радиусом R = 250 мм вращается вокруг оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через центр, делая n = 20 об/с. Диск находится в однородном магнитном поле с индукцией B = 0,010 Тл, силовые линии которого направлены так же, как вектор угловой скорости.

Найдите разность потенциалов между краем и центром диска.

Кзадаче 9.5

9.6.В однородном вертикальном магнитном поле расположен горизонтальный круговой виток медного провода. Диаметр витка d, площадь поперечного сечения

провода S, удельное сопротивление меди . Магнитная индукция поля В. Какой заряд пройдет по витку при повороте его вокруг диаметра на угол 180 ?

9.7. В центре кругового витка диаметром d, по которому идет ток I, расположен маленький круговой контур диаметром d0 (d0 << d) и сопротивлением R. Контур поворачивают вокруг его диаметра, лежащего в плоскости большого витка, на угол 90 . Какой заряд пройдет при этом по контуру?

45

2. Постройте график зависимости ЭДС от угла К задаче 9.8 между нормалью к плоскости рамки и вектором

индукции.

3. Что изменится, если ось вращения будет, лежать в плоскости рамки и проходить через ее середину?

9.9.В центре витка радиусом R, по которому идет ток I, расположен маленький

круговой контур радиусом R0 (R0 << R). Контур вращается вокруг своего диаметра, лежащего в плоскости большого витка, с частотой n оборотов в секунду.

Найдите максимальное значение ЭДС, возникающей в контуре.

9.10.Обмотка длинного соленоида диаметром d содержит n витков на единицу длины. На соленоид, в среднем его сечении, плотно надето медное кольцо сопротивлением R.

Ток в соленоиде в течение некоторого времени: а) возрастает по закону I = I0 + kt ;

б) убывает по закону I = I0ехр(– kt2), где I0 и k – известные константы; Найдите закон изменения индуцированного в кольце тока.

9.11. В одной плоскости с длинным прямым проводом, по которому идет ток I, поступательно и прямолинейно движется металлический стержень длиной ℓ. Скорость

стержня направлена параллельно проводу с током. Угол между стержнем и проводом

. Расстояние от проводника с током до ближайшего конца стержня b. Определите разность потенциалов между концами проводника.

9.12. В одной плоскости с длинным прямым проводом, по которому идет ток I = 2,0 А, находится прямоугольная рамка со сторонами b = 25 см и c = 40 см. Рамка начинает двигаться поступательно и прямолинейно с ускорением a = 0,40 м/с2 в направлении, перпендикулярном к прямому проводу, расположенному параллельно ее длинной стороне. В начале движения рамка примыкала к проводу.

Найдите ЭДС, индуцируемую в рамке, через t = 0,50 с от начала движения.

сопротивлением шин и скользящего проводника можно пренебречь.

2. Найдите модуль и направление силы, которую надо приложить к проводнику, чтобы

46

он двигался с указанной скоростью. Индуктивностью и емкостью всего контура пренебречь.

9.14. В однородном магнитном поле, индукция которого B и линии индукции направлены вертикально, в горизонтальной плоскости расположены параллельные проводящие шины, замкнутые на сопротивление R. Расстояние между шинами равно ℓ. По шинам может свободно скользить проводник массой m. Проводнику сообщают

начальную скорость 0.

1.Найдите закон изменения скорости проводника со временем.

2.Найдите количество теплоты, которое выделится в сопротивлении R за все время движения проводника.

Сопротивлением шин и проводника можно пренебречь.

9.15. В однородном горизонтальном магнитном поле с индукцией В расположены вертикальные проводящие шины, замкнутые на сопротивление R. Расстояние между шинами ℓ. Плоскость шин перпендикулярна вектору магнитной индукции (см. рис.). По шинам без трения и нарушения контакта начинает двигаться перемычка массой m и сопротивлением r.

Определите установившуюся скорость перемычки.

Кзадаче 9.15

9.16.В горизонтальной плоскости расположены проводящие шины, замкнутые на сопротивление R = 0,050 Ом, и параллельный им прямой длинный провод (см. рис.).

Расстояния от провода до шин x1 = 5 см, x2 = 15 см. По проводу идет ток I = 10 А. По шинам без трения и нарушения контакта скользит проводник с постоянной скоростью

= 5,0 м/с.

Найдите силу и направление тока, индуцированного в контуре.

9.17. В горизонтальной плоскости расположены проводящие шины, замкнутые на конденсатор емкостью С, и параллельный им прямой длинный провод (см. рис.).

Расстояния от провода до шин x1, x2. По проводу идет ток I. По шинам без трения и

нарушения контакта скользит проводник с постоянной скоростью .

Найдите заряд конденсатора. Какая из обкладок конденсатора заряжена положительно?

47

x2

xК задаче 9.17

9.18.В горизонтальной плоскости

расстоянии b от проводника с током.

9.19. В горизонтальной плоскости расположены прямой проводник с током I и перпендикулярные ему проводящие шины, замкнутые на конденсатор емкостью С. Расстояние между шинами ℓ. По шинам без трения и нарушения контакта с постоянной

скоростью движется перемычка сопротивлением R (см. рис.).

Определите закон изменения заряда конденсатора, если в начальный момент времени перемычка находилась на расстоянии b от проводника с током.

b

Кзадаче 9.19

9.20.На тонкий тороидальный (кольцевой) соленоид поперечным сечением S = 3,0 см2,

со средним радиусом r0 = 20 см навиты две обмотки. По первичной обмотке, содержащей N1 = 1000 витков, идет ток I = 2,0 А. Вторичная, замкнутая накоротко,

состоит из N2 = 500 витков суммарным сопротивлением R = 50 Ом.

Какой заряд пройдет через вторичную обмотку при выключении тока в первичной? Поле внутри соленоида можно считать однородным.

48

9.21. По тонкому диэлектрическому кольцу массой m, лежащему на гладкой горизонтальной плоскости, равномерно распределен заряд q. Кольцо находится в однородном вертикальном магнитном поле с индукцией В.

Найдите угловую скорость, которую приобретет кольцо после исчезновения магнитного поля.

49

10. Индуктивность. Энергия магнитного поля

Собственный магнитный поток через контур пропорционален току в контуре.

LI .

Коэффициент пропорциональности между магнитным потоком и током называется индуктивностью контура.

Индуктивность определяется формой и геометрическими размерами контура, а также характеристиками среды и не зависит от тока в контуре в отсутствии ферромагнетиков.

По аналогии, индуктивностью соленоида (катушки) будем называть коэффициент пропорциональности между потокосцеплением и током в соленоиде.

LI .

Явление самоиндукции состоит в возникновении ЭДС при изменении

Если индуктивность не изменяется,

eсам.инд L ddIt .

Знак возникающей ЭДС подчиняется правилу Ленца.

Явление взаимной индукции заключается в возникновении ЭДС индукции во всех проводниках, находящихся вблизи цепи переменного тока:

eвз.инд M ddIt ,

где М – взаимная индуктивность контуров.

Магнитное поле обладает энергией. Собственная энергия магнитного поля тока I протекающего в контуре с индуктивностью L:

50