2 семестр / Сборник задач. Электричество и магнетизм

6. Магнитное поле тока в вакууме

Вектор магнитной индукции B определяется как отношение максимального вращающего момента силы, действующего на рамку с током, к ее магнитному моменту:

B Mmax ,

pm

где , S вектор нормали к плоскости рамки, связанный с направлением тока в pm IS

контуре правилом правого винта.

По направлению вектор B совпадает с вектором магнитного момента рамки, когда та находится в данной точке поля в положении устойчивого равновесия (М = 0).

где 0 4 10 7 Гн/м – магнитная постоянная в системе СИ.

В качестве примера применения принципа суперпозиции рассмотрим расчет магнитной индукции на оси кругового тока. Пусть магнитное поле создается витком радиусом R, по которому течет ток I. Изобразим сечение кольца и направление тока.

Для нахождения поля в точке с координатой х (см. рис. 6.2) применим закон Био- Савара-Лапласа:

31

Определим направление (см. рис 6.2) и модуль dB :

где r R2 x2 .

Свяжем магнитную индукцию и магнитный момент контура с током:

Второй способ расчета магнитной индукции основан на применении теоремы о циркуляции вектора B (закона полного тока):

6.3. Найдите магнитную индукцию B в центре прямоугольной рамки из тонкого провода со

сторонами a и b, по которому течет ток I. Поле подводящих проводов не учитывать.

6.4.Тонкий провод, по которому идет ток I = 1,5 А, согнут в виде равностороннего треугольника со стороной a = 20 см. Найдите магнитную индукцию в центре этого треугольника. Поле подводящих проводов не учитывать.

6.5.По плоскому круговому витку радиусом R идет ток I.

Найдите распределение магнитной индукции вдоль оси витка, перпендикулярной его плоскости, и постройте график.

32

6.6.К двум точкам кольца из тонкой проволоки подведены радиально идущие провода, соединенные с достаточно удаленным источником.

Найдите магнитную индукцию в центре кольца.

6.7.По полукольцу радиусом R течет ток I. Определите модуль и направление вектора магнитной индукции в центре полукольца. Поле подводящих проводов не рассматривать.

6.8.Два длинных тонких прямых провода расположены параллельно друг другу на расстоянии b = 50 см. На одном конце они соединены проводом в форме полукольца, радиус которого R = b/2, лежащим в плоскости прямых проводов.

1. Найдите модуль и направление вектора магнитной индукции в центре полукольца, если по проводам идет ток I = 12 А.

2. Как изменится магнитная индукция в этой точке, если полукольцо расположить в плоскости, перпендикулярной к прямым проводам?

6.9.Два плоских круглых витка радиусом R = 10 см каждый, обтекаемые одинаковыми

по величине и направлению токами I1 = I2 = 3,0 A, расположены параллельно друг другу на расстоянии b = 20 см (см. рис.).

1.Найдите модуль и направление вектора магнитной индукции в произвольной точке оси Х.

2.Решите задачу при взаимно противоположных направлениях токов I1 и I2.

3.Постройте графики зависимостей проекции вектора индукции Bx(х).

Кзадаче 6.9

6.10.Обмотка катушки длиной ℓ = 2,5 см и радиусом R = 2,0 см состоит из N = 100 витков. Ток в обмотке катушки I = 0,2 А.

1. Рассчитайте магнитную индукцию в центре одного из оснований.

2. Найдите магнитную индукцию в произвольной точке оси катушки.

Указание: При выводе расчетной формулы воспользуйтесь табличным интегралом

расположили в одной горизонтальной плоскости со стрелкой компаса, перпендикулярно к ней на расстоянии r 40 см. Считая, что r много больше линейных размеров магнита, определите, на какой угол отклонится стрелка компаса, если

горизонтальная составляющая магнитной индукции Земли B0 1,8 10 5 Тл.

6.12. Диск радиусом R с центральным отверстием радиусом R0 вращается с угловой скоростью вокруг оси, проходящей через центр диска и перпендикулярной его

33

плоскости. По диску равномерно распределен заряд с поверхностной плотностью . Определите магнитную индукции в центре вращающегося диска, если изменением поверхностной плотности заряда при вращении можно пренебречь.

Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции

6.13. По тонкому длинному прямому проводу течет ток I.

1. Определите направление вектора магнитной индукции в произвольной точке.

2. Изобразите линии магнитной индукции.

3. Используя теорему о циркуляции, найдите магнитную индукцию в точке, отстоящей на расстояние r от проводника.

6.14. Два тонких длинных прямых провода с одинаковыми и противоположными по

направлению токами I1 = I2 = 3 A расположены параллельно друг другу на расстоянии a = 0,3 м.

1.Найдите результирующую магнитную индукцию в произвольной точке оси Х (см. рис.).

2.Постройте график зависимости проекции результирующего вектора индукции By от координаты x для точек, лежащих на оси Х.

3.Решите задачу при изменении направления тока I2 на противоположное.

Y Y C

6.15. Два тонких длинных прямых провода с одинаковыми и противоположными по направлению токами I1 = I2 расположены параллельно друг другу на расстоянии a.

1.Найдите результирующую магнитную индукцию в точке С, равноудаленной от обоих проводов на расстояние b (b > a /2) (см. рис.).

2.Решите задачу при изменении направления тока I2 на противоположное.

34

6.17.По медному длинному цилиндрическому проводнику радиусом R течет ток с постоянной плотностью j.

Найдите зависимость магнитной индукции В(r), где r – расстояние от оси проводника, и постройте график.

6.18.Длинный коаксиальный кабель, состоящий из медной жилы, радиус которой R1, и

тонкой медной оболочки радиусом R2, образует двухпроводную систему, обтекаемую током I. Плотность тока в жиле можно считать постоянной.

Найдите зависимость магнитной индукции В(r), где r – расстояние от оси системы, и постройте график.

6.19. Длинный коаксиальный кабель, состоящий из медной жилы, радиус которой

R1 = 0,5 мм, и тонкой медной оболочки радиусом R2 = 2,5 мм, образует двухпроводную систему. Найдите силу тока в кабеле, если максимальное значение магнитной индукции B = 40 мкТл?

6.20. Ток I постоянной плотностью течет по медной трубе с внутренним радиусом R1 и

внешним R2.

Найдите зависимость магнитной индукции от расстояния от оси системы и постройте график.

6.21. По обмотке соленоида, имеющей n = 1000 витков/м, идет ток I = 0,5 А. Диаметр витков соленоида в k = 15 раз меньше его длины

Найдите магнитную индукцию B1 внутри соленоида и B2 – в центре одного из его оснований.

6.22.Длинный соленоид содержит N = 1200 витков. Длина соленоида ℓ = 18 см. Магнитная индукция внутри соленоида В = 4 мкТл.

Определите силу тока, текущего по обмотке соленоида.

6.23.Обмотка полого керамического кольца средним радиусом R состоит из N витков диаметром d каждый. Ток в обмотке I.

Найдите зависимость магнитной индукции от расстояния от центра кольца вдоль оси, лежащей в его плоскости. Постройте график полученной зависимости.

6.24.Обмотка тороидального соленоида содержит N витков. Внутренний радиус

соленоида R1, внешний R2. Разность между максимальным и минимальным значениями магнитной индукции внутри соленоида В.

Определите ток в соленоиде.

6.25.По прямой медной ленте шириной b течет ток I с постоянной поверхностной плотностью. Считая ленту бесконечно длинной и тонкой, рассчитайте магнитную

индукцию в точке, лежащей в плоскости ленты на расстоянии х0 (х0 > b/2) от ее середины.

6.26.Определите модуль и направление вектора магнитной индукции поля

безграничной плоскости, по которой течет ток с линейной плотностью j 10 А/м, одинаковой во всех точках плоскости.

6.27. Ток с постоянной по сечению плотностью j течет внутри неограниченной пластины ( 1) толщиной 2d параллельно ее поверхности.

35

Найдите индукцию магнитного поля этого тока как функцию расстояния х от плоскости симметрии пластины.

6.28.Ток I течет по длинному прямому проводу, а затем растекается радиальносимметрично по безграничной проводящей плоскости, перпендикулярной к проводу. Найдите индукцию магнитного поля над и под плоскостью.

6.29.Внутри длинного прямого провода ( 1) радиусом R имеется длинная

цилиндрическая полость радиусом r (r < R). Ось полости параллельна оси провода и смещена от нее на расстояние d. По проводу течет ток постоянной плотности j.

Найдите магнитную индукцию внутри полости.

36

7. Сила Ампера. Работа силы Ампера

На элемент тока Id в магнитном поле действует сила Ампера:

dFA I d , B .

Сила, действующая на проводник с током конечной длины, помещенный в магнитное поле, определяется по принципу суперпозиции:

FA dFA .

Для случая однородного магнитного поля сила равна

Вращающий момент сил, действующий на контур с током в однородном магнитном поле:

M Pm , B .

При перемещении проводника или контура с током в магнитном поле сила Ампера совершают работу:

A Id I ,

0

где пересеченный (заметенный) поток в случае перемещения проводника или изменение магнитного потока сквозь поверхность ограниченную контуром, в случае его перемещения в магнитном поле.

7.1.Прямой тонкий провод длиной 10 см, обтекаемый током I 0,5 А помещен в

однородное магнитное поле с индукцией B 20 мТл. Провод образует с линиями индукции угол 30 °.

Определите силу, действующую на провод.

7.2.По двум длинным тонким прямым проводам , расположенным параллельно друг

другу на расстоянии x = 0,15 м, текут токи I1 = I2 = 15 А в противоположных направлениях.

Определите, с какой силой взаимодействуют участки этих проводов длинной ℓ = 1,0 м.

7.3. Проводник массой m и длиной ℓ подвешен горизонтально на двух вертикальных тонких непроводящих нитях. При пропускании по проводнику тока I он отклоняется в однородном вертикальном магнитном поле так, что нити образуют с вертикалью

угол .

Найдите магнитную индукцию поля, если подводящие провода находятся вне поля и не влияют на движение проводника.

7.4. Плоская квадратная рамка со стороной a = 10 см обтекается током I = 2,0 А. Рамка помещена в однородное магнитное поле (B = 0,020 Тл), линии индукции которого образуют угол β = 90° с плоскостью рамки.

1.Рассчитайте магнитный момент рамки.

2.Определите силы, действующие на каждую из сторон рамки.

37

7.6. Короткая катушка содержит N 100 витков тонкого провода. Площадь каждого витка S 0,005 м2.

Найдите магнитный момент катушки при силе тока I 1,2 А.

7.7. Согласно теории Бора электрон в невозбужденном состоянии движется вокруг ядра по окружности радиусом R 0,53 10 10 м со скоростью υ 2,2 106 м/с.

1.Вычислите магнитный момент эквивалентного кругового тока.

2.Определите момент силы, действующий на круговой ток, если атом помещен в

однородное магнитное поле ( B 0,10 Тл), линии индукции которого параллельны

плоскости орбиты.

3. Найдите отношение магнитного момента эквивалентного тока к моменту импульса орбитального движения электрона.

7.8.По тонкому кольцу радиусом R равномерно распределен заряд Q. Кольцо вращается с угловой скоростью относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр.

Найдите магнитный момент кругового тока, создаваемого кольцом.

7.9.Контур с током, магнитный момент которого pm = 2,0·10–3 А·м2, помещен в середину соленоида. Радиус соленоида R = 2,0 см, длина соленоида ℓ = 80,0 см, число витков N = 2500. Какой ток идет в обмотке соленоида, если наибольший вращающий

момент, действующий на контур, M = 2,0·10 – 6 Н·м? Считать, что R >> r, где r – радиус рамки.

7.10.Тонкий провод с током I, согнутый в виде полукольца радиусом R, находится в однородном магнитном поле с индукцией В.

Найдите силу, действующую на провод, если плоскость полукольца перпендикулярна вектору магнитной индукции, а подводящие провода находятся вне поля.

7.11.В одной плоскости с длинным прямым проводом с током I = 10 А, перпендикулярно к нему расположен тонкий стержень длиной ℓ = 20 см, по которому течет ток i = 2,0 А. Расстояние от прямого провода до ближайшего конца стержня b = 10 см.

1. Найдите силу F, действующую на стержень.

2. Определите точку приложения этой силы.

7.12.В одной плоскости с длинным прямым проводом, по которому идет ток I = 10 А, расположена прямоугольная рамка, обтекаемая током i = 2 А. Длина рамки a = 6 см,

38

ширина b = 4 см, а расстояние до провода x0 = 1 см. Большая сторона параллельна проводу. Магнитный момент рамки сонаправлен с вектором магнитной индукции прямого провода.

Найдите силу, действующую на каждую сторону рамки.

7.16.Квадратная рамка со стороной a = 20 см помещена в однородное магнитное поле с индукцией B = 40 мТл. Найдите магнитный поток, пронизывающий рамку, если нормаль к плоскости рамки составляет угол α =60° с направлением вектора магнитной индукции.

7.17.Определите магнитный поток через поверхность полусферы радиусом R, помещенной в однородное магнитное поле с магнитной индукцией В. Вектор

магнитной индукции составляет угол с плоскостью основания полусферы.

7.18.В условии задачи 7.2 рассчитайте работу на единицу длины проводов, которую совершают силы поля при медленном увеличении расстояния между проводами в три раза.

7.19.В условии задачи 7.4 рассчитайте работу сил поля по медленному повороту рамки из положения устойчивого равновесия вокруг одной из сторон на угол:

1.= 30 .

2.= 90 .

3.= 180 .

7.20.В центре длинного соленоида расположена маленькая рамка площадью S, содержащая N витков с током i. Вращающий момент, действующий на рамку со стороны поля соленоида, максимален и равен М = 2,0· мкН·м.

Определите работу сил поля по переводу рамки в положение устойчивого равновесия.

7.21.В длинный соленоид вдоль его оси медленно втягивается маленькая плоская рамка. Обмотка рамки состоит из N витков площадью S каждый. Ток в обмотке рамки i.

39

Плоскость рамки нормальна к оси соленоида. Обмотка соленоида содержит n витков на единицу длины, по которым идет ток I (I >> i).

Какую работу совершают силы Ампера при перемещении рамки из середины основания соленоида в середину его оси?

7.22.Маленькая квадратная рамка из мягкой проволоки со стороной a, обтекаемая током i, медленно втягивается в середину длинного соленоида. Обмотка соленоида состоит из n витков на единицу длины, ток в соленоиде I (I >> i). Перемещение рамки происходит вдоль оси соленоида, плоскость ее все время перпендикулярна оси соленоида.

Найдите суммарную работу, совершенную силами Ампера при перемещении рамки из середины основания до середины оси и при деформации рамки.

7.23.Два круговых витка радиусом R каждый расположены параллельно друг другу на расстоянии a, причем прямая, соединяющая центры витков, перпендикулярна

плоскостям обоих витков. По виткам протекают одинаковые по величине токи I1 = I2 взаимно противоположных направлений. Концентрично первому витку расположен

маленький виток площадью S. По витку течет ток i (i >> I1), направленный так же, как

ток I1.

Какую работу должны совершить внешние силы, чтобы переместить маленький виток (параллельно самому себе) в середину второго витка?

7.24. Два круговых витка радиусом R каждый расположены параллельно друг другу на расстоянии a. Прямая, соединяющая центры витков, перпендикулярна их плоскостям.

По виткам текут равные токи одного направления I1 = I2. Найдите силу взаимодействия витков, учитывая, что a >> R.

7.25.В условии задачи 7.12. рассчитайте работу внешних сил:

1. При медленном увеличении расстояния х0 в три раза.

2. При медленном повороте рамки вокруг стороны b на угол 180 .

3. При медленном повороте рамки на угол 180 вокруг дальней стороны, параллельной проводу.

7.26.В условии задачи 7.13 определите работу сил поля по медленному повороту рамки на угол 90 вокруг оси, проходящей через центр рамки перпендикулярно ее плоскости.

7.27.Вдоль длинного тонкостенного цилиндра радиусом R течет ток I. Какое давление испытывают стенки цилиндра?

Указание: Если вдоль боковой поверхности цилиндра выделить узкую полоску шириной и длиной h, то сила Ампера, действующая на полоску будет равна IhB . Здесь В – разность индукций магнитного поля тока, текущего по цилиндру и поля тока, текущего по выделенной полоске.

40