2 семестр / Сборник задач. Электричество и магнетизм

3.21.Длинный металлический цилиндр радиусом R окружен примыкающим вплотную

слоем незаряженного диэлектрика ( = 2) толщиной b. Разность потенциалов между внутренней и внешней поверхностями диэлектрика U.

Определите поверхностную плотность заряда цилиндра.

3.22.Длинный металлический цилиндр радиусом R1 заряжен с линейной плотностью . Коаксиально ему расположен длинный тонкий металлический цилиндр радиусом R2, заряженный с поверхностной плотностью .

1. Определите разность потенциалов между осью системы и точкой, удаленной на расстояние b от поверхности внешнего цилиндра.

2. Качественно постройте графики Er(r) и (r).

3.23.Две большие квадратные металлические пластины толщиной b каждая расположены параллельно друг другу на расстоянии d. Одной пластине сообщают заряд Q. Вторая не заряжена.

1. Определите поверхностные плотности зарядов на каждой стороне пластин, если площадь пластины S.

2. Найдите разность потенциалов между пластинами. Свободным зарядом на торцах пластин можно пренебречь.

3.24.Решите задачу 3.23, считая, что второй пластине сообщен заряд q.

3.25.Две тонкие параллельные металлические пластины заряжены с поверхностными плотностями 1 3 10 11 Кл/м2 и 2 6 10 11 Кл/м2. Пространство между пластинами

заполнено диэлектриком ( = 3). Расстояние между пластинами мало по сравнению с их размерами.

Определите поверхностную плотность связанных зарядов.

3.26. Две большие квадратные пластины площадью S и толщиной b каждая расположены параллельно друг другу на расстоянии d. Одна пластина металлическая, а

вторая диэлектрическая ( = 4). Проводящей пластине сообщают заряд Q.

1.Найдите зависимости Dх(х) и Eх(х) проекций векторов электрического смещения и напряженности поля на ось Х, перпендикулярную пластинам, и постройте графики.

2.Используя связь между напряженностью и потенциалом, определите потенциал поля

как функцию координаты и постройте график (х). Примите (0) = 0.

3.27. Две большие квадратные пластины толщиной b каждая расположены параллельно друг другу на расстоянии d. Одна пластина металлическая, а вторая диэлектрическая

( = 4). Диэлектрическая пластина равномерно заряжена по объему с плотностью .

1.Найдите зависимости Dх(х) и Eх(х) проекций векторов электрического смещения и напряженности поля на ось Х, перпендикулярную пластинам, и постройте графики.

2.Используя связь между напряженностью и потенциалом, определите потенциал поля

как функцию координаты и постройте график (х). Примите (0) = 0. Указание: Нуль координатной оси Х совместите с серединой слоя диэлектрика.

3.28. Проводник произвольной формы заряжен до потенциала 0. Пространство между его эквипотенциальными поверхностями, потенциалы которых 1 и 2 ( 1 > 2)

заполняют диэлектриком ( = 7).

Определите новое значение потенциала проводника.

21

3.29. Заряженный металлический шар радиусом R 3,0 см наполовину погружен в

керосин ( = 2). Верхняя граница керосина плоская, нижняя и боковые границы очень далеки.

1.Определите заряд шара, если его потенциал равен 1800 В.

2.Найдите распределение зарядов по поверхности шара.

3.30.В центральной части большого сосуда с жидким диэлектриком ( ) на глубине h находится точечный заряд Q.

1. Определите плотность связанных зарядов на верхней поверхности диэлектрика: а) непосредственно над точечным зарядом; б) на расстоянии b от заряда.

2. Рассчитайте суммарный связанный заряд на верхней поверхности диэлектрика, считая ее плоской и практически бесконечной.

3.31.Точечный заряд Q 0 расположен на расстоянии h от большой заземленной

плоскости.

1. Нарисуйте силовые линии поля и определите силу, действующую на заряд со стороны плоскости.

2. Найдите напряженность поля в точке С, равноотстоящей от плоскости и от заряда Q на расстояние h.

3.Рассчитайте напряженность поля в симметричной точке С , расположенной по другую сторону плоскости.

4.Определите работу внешних сил, совершаемую при перемещении заряда Q в бесконечность.

22

4. Электроемкость. Энергия электростатического поля

Электроемкостью уединенного проводника называется отношение заряда проводника к его потенциалу:

С Q

Система из двух проводников (обкладок), заряженных одинаковыми по величине и противоположными по знаку зарядами, позволяет локализовать электростатическое поле в некоторой ограниченной области. Такая система проводников называется конденсатором. Емкость конденсатора равняется отношению его положительного заряда к разности потенциалов между обкладками:

конденсатора. Сообщим обкладкам заряды Q . Будем считать, что пространство между обкладками заполнено однородным диэлектриком с диэлектрической

проницаемостью , расстояние между обкладками d, площадь каждой обкладки S. Используя теорему Гаусса, найдем электрическое смещение внутри конденсатора:

Энергия электростатического поля заряженного конденсатора может быть выражена через его емкость и заряд или разность потенциалов на обкладках:

W Q2 C U 2 Q U , где U

2C 2 2

Если обкладки конденсатора или диэлектрик в промежутке между ними перемещаются бесконечно медленно под действием приложенных к ним внешних сил, то изменение энергии конденсатора W равно их работе и работе сил стороннего электрического поля источника ЭДС:

W Aвнеш Аист .

Энергия электростатического поля в некотором произвольном объеме может быть рассчитана по известным значениям объемной плотности энергии поля:

4.1. Чему равна емкость земного шара? Радиус Земли R 6,4 106 м .

23

4.2. Металлический шар радиусом R1 3 см окружен прилегающим вплотную слоем диэлектрика с диэлектрической проницаемостью = 2. Внешний радиус диэлектрика

R2 4 см.

Определите емкость системы.

4.3.Два одинаковых металлических шара радиусом R каждый расположены на очень большом расстоянии друг от друга.

1. Определить взаимную емкость проводников.

2. Найдите емкость системы, если шары соединены тонким проводом, емкостью которого можно пренебречь.

4.4.Выведите формулу для расчета емкости плоского конденсатора, площадь пластин которого S, а расстояние между ними d. Пространство между пластинами заполнено

диэлектриком ( ). Считайте, что краевыми эффектами можно пренебречь.

4.5. Выведите формулу для расчета емкости плоского конденсатора, площадь пластин которого S, а расстояние между ними d. Пространство между пластинами заполнено диэлектриком, проницаемость которого увеличивается в направлении,

перпендикулярном обкладкам по линейному закону от 1 вблизи одной обкладки до 2 вблизи другой.

4.6. Выведите формулу для расчета емкости плоского конденсатора, площадь пластин которого S. Пространство между пластинами заполнено двумя слоями диэлектриков

( 1, 2) толщиной d1 и d2 соответственно. Граница раздела диэлектриков параллельна обкладкам.

4.7. Выведите формулу для расчета емкости плоского конденсатора, площадь пластин которого S, а расстояние между ними d. Пространство между пластинами наполовину

заполнено диэлектриком ( ). Граница диэлектрик-воздух перпендикулярна обкладкам.

4.8.Два длинных провода диаметром d 1мм каждый расположены в воздухе параллельно друг другу. Расстояние между их осями a 10 мм.

Определите взаимную емкость такой системы, если ее длина L 1км.

4.9.Выведите формулу для расчета емкости цилиндрического воздушного

конденсатора. Радиус внутренней обкладки R1, внешней R2, длина конденсатора L. Покажите, что емкость тонкого цилиндрического конденсатора (т.е. с малым расстоянием между обкладками) можно вычислять по формуле емкости плоского конденсатора.

4.10. Выведите формулу для расчета емкости цилиндрического конденсатора, заполненного диэлектриком с диэлектрической проницаемостью . Радиус внутренней обкладки R1, внешней R2. Длина конденсатора L.

4.11. Коаксиальный кабель состоит из центральной жилы радиусом R1 = 1 мм и оплетки радиусом R2 = 5 мм. Пространство между ними заполнено двумя слоями диэлектрика. Диэлектрическая проницаемость первого слоя, примыкающего к жиле, ε1 = 4,

диэлектрическая проницаемость второго слоя ε2 =7. Радиус границы раздела R0 = 2 мм. Найдите емкость кабеля на единицу его длины.

24

4.12.Найдите взаимную емкость системы из двух концентрических металлических сфер, пространство между которыми заполнено диэлектриком с проницаемостью .

4.13.Радиусы обкладок сферического конденсатора R1 и R2. Пространство между обкладками заполнено наполовину диэлектриком с проницаемостью . Границу диэлектрик-воздух можно считать плоской и искривлением силовых линий на границе можно пренебречь.

Рассчитайте емкость конденсатора.

4.14.Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено двумя слоями

диэлектриков ( 1, 2) толщиной d1 и d2 соответственно. Граница раздела диэлектриков параллельна обкладкам. Площадь пластин конденсатора S. Разность потенциалов между обкладками . Определите:

1.Электрическое смещение и напряженность поля в каждом слое.

2.Заряд и емкость конденсатора.

3.Плотности энергии электрического поля в каждом из диэлектриков.

4.15. Цилиндрический конденсатор, заполненный диэлектриком с диэлектрической проницаемостью , заряжен до разности потенциалов . Радиус внутренней обкладки

R1, внешней R2. Длина конденсатора L. Определите заряд конденсатора.

S4.17. В плоский конденсатор емкостью C0, заряженный до

разности потенциалов U0, вводят параллельно его обкладкам медную пластину той же площади, что и обкладки. Толщина

dпластины в n раз меньше расстояния между обкладками.

4.18. Пространство между обкладками плоского слоистого конденсатора заполнено

двумя слоями диэлектриков ( 1, 2) равной толщиной d. Граница раздела диэлектриков параллельна обкладкам. Площадь пластин конденсатора S. Разность потенциалов между обкладками U. Первый диэлектрик удаляют.

1.Найдите изменение емкости конденсатора.

2.Вычислите изменение энергии конденсатора в двух случаях:

а) конденсатор предварительно отключают от источника; б) конденсатор все время остается соединенным с источником ЭДС.

4.19. Плоский воздушный конденсатор заряжен до некоторой разности потенциалов и отключен от источника.

Изменится ли сила взаимодействия между его обкладками, если:

1.В конденсатор ввести пластину из твердого диэлектрика ( ), толщина которой чуть меньше расстояния между обкладками.

2.Опустить конденсатор полностью в жидкий диэлектрик ( ).

25

4.20. Два плоских воздушных конденсатора емкостью C1 = 2,0 мкФ и C2 = 1,0 мкФ

соединены параллельно, заряжены до разности потенциалов U0 = 600 В и отключены от источника ЭДС.

1.Какова будет разность потенциалов на каждом из конденсаторов, если расстояние между обкладками конденсатора C1 увеличить в 2 раза?

2.Чему равно изменение энергии конденсатора C1 и всей системы?

4.21.Воздушный конденсатор емкостью С = 0,20 мкФ заряжен до разности потенциалов U = 600 В. Найдите изменение энергии конденсатора и работу, совершаемую силами поля при заполнении конденсатора диэлектриком (ε = 2,0). Рассмотрите два случая:

а) конденсатор перед заполнением отключается от источника ЭДС; б) конденсатор все время подключен к источнику.

Потерями энергии в подводящих проводах пренебречь.

4.22.Плоский конденсатор, которому сообщен заряд Q = 8 · 10-7 Кл, заполнен двумя слоями диэлектрика – стеклом и фарфором. Площадь каждой пластины конденсатора S = 400 см2; стеклянная пластинка (ε = 7) обладает той же площадью, толщиной ℓ = 0,1 см и располагается параллельно обкладкам конденсатора. Какую работу должны совершить внешние силы, чтобы удалить из конденсатора, предварительно отключенного от источника ЭДС, стеклянную пластинку?

4.23.Пространство между обкладками плоского заряженного конденсатора заполнено эбонитом. Диэлектрическая проницаемость эбонита ε = 2,7, расстояние между

обкладками конденсатора d0 = 5,4 мм. Как нужно изменить расстояние между обкладками конденсатора после удаления эбонита, чтобы энергия конденсатора осталась неизменной? Рассмотрите два случая:

а) конденсатор предварительно отключается от источника ЭДС; б) конденсатор все время остается соединенным с источником.

4.24.Три одинаковых точечных заряда Q расположены в вершинах квадрата со стороной b. Определите:

1. Энергию системы зарядов.

2. Работу внешних сил по перемещению точечного заряда q того же знака из бесконечно удаленной точки в четвертую вершину квадрата.

4.25.Определите энергию металлического шара радиусом R, по которому распределен заряд Q.

4.26.В вакууме образовалось скопление зарядов с постоянной объемной плотностью ρ заряда, имеющее форму шара радиусом R.

1. Найдите энергию электростатического поля во всем пространстве.

2. Во сколько раз изменится энергия при делении «шара» на два равных, бесконечно удаленных друг от друга шара.

4.27.Металлический шар радиусом R1, по которому распределен заряд Q, окружен

прилегающим вплотную слоем диэлектрика ( ) с внешним радиусом R2. Определите:

1.Энергию поля, локализованную в диэлектрике.

2.Энергию системы.

4.28. Длинный цилиндр из диэлектрика ( ) радиусом R равномерно заряжен по объему с

26

плотностью заряда .

1.Найдите зависимость объемной плотности энергии поля от расстояния до оси цилиндра.

2.Определите энергию поля, локализованную в диэлектрике, приходящуюся на единицу длины.

4.29. Определите энергию поля, созданного точечным зарядом Q 2 10 7 Кл, в

пространстве между двумя эквипотенциальными поверхностями с потенциалами 1 9 В и 2 5 В ( 0 ).

4.30. Длинный металлический цилиндр радиусом R = 6 см равномерно заряжен с

поверхностной плотностью σ = 2,4 · 10–12 Кл/м2. Найдите энергию поля, приходящуюся на единицу длины цилиндра в пространстве между двумя эквипотенциальными

поверхностями с потенциалами φ1 = – 3 В и φ2 = – 6 В (φ = 0 на оси цилиндра).

4.31. На два последовательно соединенных конденсатора емкостью C1 = 100 пФ и C2 = 200 пФ подана постоянная разность потенциалов U = 300 В.

1. Найдите разности потенциалов U1 и U2 на конденсаторах и их заряды. 2. Какова емкость C системы?

4.32. Конденсатор емкостью C1 = 100 пФ заряжен до разности потенциалов U1 = 90 В. Конденсатор отключают от источника и соединяют параллельно с другим конденсатором, незаряженным. Конечная разность потенциалов на конденсаторах

U2 = 30 В.

1.Определите емкость второго конденсатора.

2.Найдите изменение энергии системы.

4.33. Конденсатор емкостью C1 = 0,20 мкФ, заряженный до разности потенциалов U1 = 320 В, соединили параллельно с конденсатором, заряженным до разности

потенциалов U2 = 450 В. После этого на батарее конденсаторов установилась разность потенциалов U = 400 В.

Определите емкость второго конденсатора.

27

Э Л Е К Т Р О М А Г Н Е Т И З М 5. Постоянный ток

Электрический ток – это направленное движение заряженных частиц. Для количественной характеристики такого движения используют понятия сила тока и плотность тока.

Сила тока равна

I ddQt ,

где dQ заряд (количество электричества), прошедший через поперечное сечение

проводника за время dt . Плотность тока равна

j dI . dS

Плотность тока – векторная величина, направленная в сторону упорядоченного движения положительных зарядов.

Таким образом, сила тока является потоком вектора плотности тока через поперечное сечение проводника:

I j,dS .

S

Закон Ома для однородного участка цепи связывает силу тока с разностью потенциалов на его концах:

I R ,

где R сопротивление проводника.

Для однородного цилиндрического проводника сопротивление определяется длиной проводника , площадью поперечного сечения S и удельным сопротивлением материала :

R S .

Закон Ома в дифференциальной форме имеет следующий вид: j E ,

где 1 – удельная проводимость.

Закон Ома для неоднородного участка цепи (см. рис. 5.1):

впоследовательности обхода контура.

Вслучае, изображенном на рисунке 5.1, ЭДС должна быть учтена со знаком минус.

28

5.1.Сила тока в проводнике равномерно нарастает от нуля до I 3 А в течении 10 с. Определите заряд, прошедший через поперечное сечение проводника.

5.2.Определите плотность тока в железном проводнике длиной 10 м, если провод находится под напряжением U 12 В. Удельное сопротивление железа 98 нОм м.

5.3.По двум последовательно соединенным цилиндрическим проводникам сечением S = 0,20 см2 каждый, из которых один – медный, другой – алюминиевый, идет ток

I = 10 А. Найдите напряженность E1 и E2 электрического поля внутри проводников. Плотность тока считать постоянной по значению. Удельные сопротивления

соответственно ρ1 = l,7 · 10–8 Ом · м и ρ2 = 2,5 · 10–8 Ом · м.

5.4. Между концами медного полукольца прямоугольного сечения площадью S = 5 см2 и радиусами внутренней и внешней цилиндрических поверхностей r1 = 10 см и r2 = 20 см приложена постоянная разность потенциалов U = 5 мВ.

1.Найдите сопротивление R полукольца.

2.Определите величину тока I в нем.

3.Рассчитайте наибольшее и наименьшее значения плотности тока j.

Считайте, что линии тока – полуокружности, центр которых совпадает с центром полукольца. Удельное сопротивление меди ρ = l,7 · 10–8 Ом · м.

потенциала вдоль цепи.

5.7. Два источника ЭДС с e1 = 2,2 В и e2 = 2,8 В и с внутренними сопротивлениями r1 0,40 Ом, r2 0,10 Ом соединены последовательно и замкнуты на внешнее

сопротивление R.

При каком значении внешнего сопротивления вольтметр, подключенный к зажимам первого источника, покажет нуль?

5.8. Два источника ЭДС с e1 = 9 В и e2 = 2,8 В и с внутренними сопротивлениями r1 3 Ом, r2 2 Ом соединены параллельно и замкнуты на внешнее сопротивление R 6 Ом. Определите ток, протекающий через внешнее сопротивление.

5.9. Найти средние значения скорости и импульса направленного движения электронов

29

в медном проводнике при плотности тока j = 100 А/см2. Медь одновалентна. Концентрация атомов n = 8,6 · 1029 1/м3. Масса электрона me = 9,0 · 10–31 кг.

5.10. Конденсатор емкостью С, заряженный до разности потенциалов U0 и

отключенный от источника ЭДС, замыкают на резистор сопротивлением R. 1. Определите заряд конденсатора в произвольный момент времени.

2. Найдите закон изменения тока через резистор.

5.11. Незаряженный конденсатор емкостью С подсоединяют к источнику ЭДС e последовательно с резистором сопротивлением R.

1.Определите заряд конденсатора в произвольный момент времени.

2.Найдите закон изменения тока через резистор.

30