2 семестр / Лекции по ВМ2

Примеры.

1. u = xy (x > 0). Для нахождения точек возможного экстремума данной функции рассмотрим систему уравнений:

2.u = x2 + 2xy + 2y2 + xz + z3 − 4z.

Для нахождения точек возможного экстремума этой функ-

ции составим систему уравнений

ux = 2x + 2y + z = 0,

uy = 2x + 4y = 0,

uz = x + 3z2 − 4 = 0.

Она имеет два решения:

1 4 2 4 x1 = 1, y1 = −2 , z1 = −1 и x2 = −3, y2 = 3, z2 = 3,

и, следовательно, получаем две точки возможного экстре-

M1 и M2, исследуем второй дифференциал d2u в этих точках. С этой целью вычислим частные производные второго порядка:

и составим матрицу квадратичной формы d2u:

Вычислим ее угловые миноры:

δ1 = 2 > 0, δ2 = 4 > 0, δ3 = 24z − 4.

Возвращаясь к уравнению (10.1), можно теперь сказать, что это уравнение определяет неявную функцию (10.2).

Мы рассмотрим вопрос о том, при каких условиях на функцию F (x, y) уравнение (10.3) определяет неявную функцию

y= f(x), а также вопрос о непрерывности и дифференцируемости неявной функции.

При этом нужно различать существование неявной функции, то есть существование решения уравнения (10.3) относительно y, и возможность найти эту неявную функцию в явном виде. Так, например, неявная функция y = f(x), определяемая уравнением (10.1) легко находится в явном виде (10.2), а неявная функция

y= f(x), определяемая уравнением

2y + sin y − x = 0,

как мы увидим ниже, существует, однако найти ее в явном виде

не представляется возможным.

Теорема 1. Пусть выполнены условия:

1.функция F (x, y) определена и непрерывна в прямоугольнике Q = {(x, y): a < x < b, c y d};

2.x (a, b): F (x, c) · F (x, d) < 0 (это условие означает, что функция F (x, y) имеет разные знаки на нижней и верхней сторонах прямоугольника Q);

3.для любого x из интервала (a, b) функция F (x, y) является строго монотонной функцией переменной y на сегменте

[c, d]. Тогда:

1) в прямоугольнике Q уравнение

F (x, y) = 0

определяет единственную неявную функцию вида

y = f(x), x (a, b),

то есть x (a, b) уравнение (10.3) имеет единственное решение относительно y, принадлежащее сегменту [c, d];

2) неявная функция y = f(x) непрерывна на интервале (a, b). Доказательство. 1) Зафиксируем любое число x из интервала (a, b) и рассмотрим при этом значении x функцию F (x, y) аргумента y на сегменте [c, d]. Эта функция непрерывна на сегменте [c, d] (условие 1) и имеет на концах сегмента значения разных знаков (условие 2). Следовательно, существует y (c, d),

3 В.Ф. Бутузов

то есть выполнено условие (10.4), что и требовалось доказать. Теорема 1 доказана.

Пример. Рассмотрим уравнение

Докажем, что оно определяет единственную неявную функцию вида

y = f(x), x (−∞, +∞).

Зафиксируем произвольное значение x и рассмотрим функцию F (x, y) при этом значении x. Положим y = y1 = x2 − 1, тогда

x

F (x, y1) = −2 + sin y1 < 0. Положим теперь y = y2 = 2 + 1, тогда F (x, y2) = 2 + sin y2 > 0. Следовательно, существует y (y1, y2), такое, что F (x, y) = 0. Обозначим это значение y через f(x). Итак, x уравнение (10.6) имеет решение y = f(x).

Так как Fy(x, y) = 2 + cos y > 0, то при каждом x функция F (x, y) является возрастающей функцией переменной y и, следовательно, уравнение (10.6) определяет единственную неявную функцию вида y = f(x), x (−∞, +∞).

Как уже отмечалось, эту неявную функцию мы не можем найти в явном виде. Однако, мы можем «увидеть» эту функцию, построив график функции x = 2y + sin y (см. рис. 10.2).

Существенным условием в теореме 1 было условие строгой монотонности функции F (x, y) по переменной y. Достаточным условием, обеспечивающим строгую монотонность функции F (x, y) по переменной y, является знакопостоянство частной производной Fy(x, y). Это условие использовалось в рассмотренном

примере и будет использовано в следующей теореме. Теорема 2. Пусть выполнены условия:

1.функция F (x, y) определена и непрерывна в некоторой

окрестности точки M0(x0, y0) (обозначим эту окрестность буквой ω);

2.в окрестности ω существует частная производная Fy(x, y), непрерывная в точке M0;

3.F (x0, y0) = 0, Fy(x0, y0) = 0.

3*

дифференцируема в точке x0, и ее производная в этой точке выражается формулой

f (x0) = −Fx(x0, y0) .

Fy(x0, y0)

Доказательство. Так как функция F (x, y) дифференцируема в точке M0(x0, y0), то ее приращение в этой точке можно представить в виде:

F := F (x0 + x, y0 + y) − F (x0, y0) =

= Fx(x0, y0)Δx + Fy(x0, y0)Δy + α1 x + α2 y, (10.9)

аy положим равным приращению неявной функции в точке

F = F (x0 + x, f(x0 + x)) − F (x0, y0) = 0

(поскольку F (x, f(x)) = 0 x (x0 − d, x0 + d)), и следовательно, из (10.9) получаем:

неявная функция y = f(x) непрерывна в точке x0 (теорема 2),

F (x0, y0)

и равен − x . Значит, существует предел и левой части

Fy(x0, y0)

равенства, а этот предел и есть f (x0) (по определению про-