2 семестр / Лекции по ВМ2

дем от переменных (x, y, z) к новым переменным (u, v, w) с помощью формул

x = ϕ(u, v, w), y = ψ(u, v, w), z = χ(u, v, w), (u, v, w) g. (12.9)

Пусть выполнены условия:

I. Если точка (u, v, w) пробегает область g, то соответствующая точка (x, y, z) = (ϕ, ψ, χ) пробегает область T , причем различным точкам (u, v, w) g соответствуют различные точки (x, y, z) T (иначе говоря, каждая точка (x, y, z) из области T соответствует только одной точке (u, v, w) из области g).

II. Функции ϕ, ψ, χ имеют непрерывные частные производные первого порядка в области g.

III. D(x, y, z) = 0 (u, v, w) g.

D(u, v, w)

Из условия I следует, что задание тройки чисел (u, v, w) однозначно определяет точку M(x, y, z) = M(ϕ, ψ, χ) из области T . Поэтому тройку чисел (u, v, w) можно назвать новыми (криволинейными) координатами точки M.

Зафиксируем значение координаты u, положив u = u0 =

=const. Из уравнений (12.9) получим:

x = ϕ(u0, v, w), y = ψ(u0, v, w), z = χ(u0, v, w).

D(x, y, z) = r; dV = rdrdϕdz — элемент объема в цилиндриче-

D(r, ϕ, z)

ских координатах.

2) Сферические координаты. Тройка чисел (r, θ, ϕ) — сферические координаты точки M

(рис. 12.35). Координатная поверхность r = const — сфера. Формулы, связывающие декартовы прямоугольные координаты (x, y, z) и сферические координаты:

Уравнение поверхности в новых координатах:

r4 = r2 sin2 θ .

Оно распадается на два уравнения:

r = 0 и r = sin θ .

Г л а в а 13

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

§ 1. Длина кривой

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Oxy. Рассмотрим множество точек {M(x, y)}, координаты которых задаются уравнениями

где ϕ(t) и ψ(t) — непрерывные функции на сегменте [α, β]. Если некоторая точка M(x, y) из этого множества соответ-

ствует нескольким значениям t [α, β], то такую точку назовем

кратной.

Пусть различным значениям t [α, β] соответствуют различные точки M(x, y), то есть множество M(x, y) не содержит кратных точек. Тогда множество {M(ϕ(t), ψ(t))}, где α t β, назовем простой плоской незамкнутой кривой. Переменную t назовем параметром и будем говорить, что уравнения (13.1)

задают кривую параметрически.

Точки A (ϕ(α), ψ(α)) и B (ϕ(β), ψ(β)) назовем граничными точками или концами кривой. Саму кривую называют также кривой AB или дугой AB. Если точки A и B совпадают, а остальные точки не являются кратными, то кривая называется

простой замкнутой кривой.

Примеры.

1) x = cos t, y = sin t;

a) если 0 t π, то кривая — простая незамкнутая (полуокружность);

б) если 0 t 2π, то кривая — простая замкнутая (окружность); в) если 0 t 4π, то кривая — не простая (все ее точки — двукратные, кроме точки (1; 0), которая является трехкратной). 2) График непрерывной функции y = f(x), a x b можно рассматривать как простую незамкнутую кривую, записав ее параметрические уравнения в виде

x = t, y = f(t), a t b.

выполняется неравенство

Если существует lim l(ti) = l, то кривая называется спрямляе-

→0

мой, а число l называется длиной кривой (иногда говорят «дли-

ной дуги кривой»).

Теорема 1. Пусть простая кривая задана параметрическими уравнениями

x = ϕ(t), y = ψ(t), α t β,

и пусть функции ϕ(t) и ψ(t) имеют непрерывные производные ϕ (t) и ψ (t) на сегменте [α, β].

Тогда кривая спрямляема, и ее длина l выражается формулой

dx = dϕ(t) = ϕ (t)dt,

dy = dψ(t) = ψ (t)dt,

dl = dx2 + dy2 = ϕ 2(t) + ψ 2(t) dt,

поэтому

Рис. 13.3.

β β

l = dl = ϕ 2(t) + ψ 2(t) dt.

α α

б) «Аккуратное» доказательство. Нужно доказать, что

β

Длина ломаной l(ti) выражается формулой (13.2). По формуле Лагранжа конечных приращений получаем равенства:

i=1

Введем функцию f(t) = ϕ 2(t) + ψ 2(t) . Она непрерывна и, следовательно, интегрируема на сегменте [α, β]. Интегральная сум-