2 семестр / Лекции по ВМ2

Дифференциал функции многих переменных

Пусть функция u = f (x1, ... , xm) дифференцируема в точке M. Тогда ее приращение в этой точке можно представить в виде

=xm = 0, i = 1, ... , m.

функции, а вторая сумма — бесконечно малой более высокого

порядка, чем линейная часть, при { x1 → 0, ... , xm → 0} . Определение. Дифференциалом (первым дифференциалом)

функции u = f(M) в точке M называется линейная относительно x1, ... , xm часть приращения функции в точке M:

Дифференциалом независимой переменной xi будем называть приращение этой переменной:

dxi = xi, i = 1, 2, ... , m.

Выражение для дифференциала функции в точке M запишется теперь так:

Лемма 4 (об инвариантности формы первого дифференциала). Формула (9.13) остается в силе, если x1, ... , xm яв-

ляются не независимыми переменными, а дифференцируемыми функциями каких-то независимых переменных. Доказательство. Пусть u = f(x1, ... , xm) — дифференцируемая функция, а xj = ϕj(t1, ... , tk) — дифференцируемые функции

32 Гл. 9. Функции многих переменных

независимых переменных t1, ... , tk (j = 1, ... , m). Тогда, используя формулу (9.12), можно записать цепочку равенств:

Первое равенство в этой цепочке написано в соответствии с определением дифференциала функции, во втором равенстве используется формула (9.12), третье равенство получено путем изменения порядка суммирования и, наконец, в последнем равенстве использовано то, что дифференциал функции xj = ϕj(t1, ... , tk) выражается (согласно определению дифференциала функции) формулой

то есть формула (9.13) имеет место и в том случае, когда x1, ...

... , xm — дифференцируемые функции каких-либо независимых переменных. Лемма 5 доказана.

Замечание. Отличие формулы (9.14) от формулы (9.13) состоит в том, что в формуле (9.13) dxj = xj — приращение переменной xj, а в формуле (9.14) dxj — дифференциал функции xj = ϕj(t1, ... , tk), поэтому, здесь, вообще говоря, dxj = xj. Таким образом, формула (9.14) показывает, что сохраняется форма (вид) выражения для дифференциала функции, а содержание

(наполнение) этой формулы изменяется. Пример. Пусть u = xy. Тогда

du = y · xy−1 · dx + xy · ln x · dy —

дифференциал данной функции в точке (x, y). В точке (1, 1) du = = dx; в точке (1, 0) du = 0 (отметим, что это не число, а функция аргументов dx и dy, равная тождественно нулю).

Правила дифференцирования

Пусть u и v — дифференцируемые функции аргументов x1, ...

... , xm. Тогда:

что и требовалось доказать.

§ 6. Геометрический смысл дифференцируемости функции

I. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Напомним, что для функции одной переменной y = f(x) из дифференцируемости в точке x0 следует существование касательной к графику функции в точке (x0, f(x0)).

Рассмотрим функцию двух переменных z = f(x, y), (x, y)D. Ее графиком является поверхность

S= {N (x, y, f(x, y)) , (x, y) D}

впрямоугольной системе координат Oxyz (рис. 9.10). Пусть

N0(x0, y0, z0) S, z0 = f(x0, y0). Проведем через точку N0 плоскость P . Пусть N(x, y, z) — произвольная точка на поверхности

S, z = f(x, y); NN1 P , N1 P .

Определение. Плоскость P , проходящая через точку N0 поверхности S, называется касательной плоскостью к поверхности S в этой точке, если при N → N0 (N S) расстояние ρ (N, N1) является бесконечно малой величиной более высокого порядка, чем ρ (N, N0), то есть

lim ρ (N, N1) = 0.

N→N0 ρ (N, N0)

(N S)

2 В.Ф. Бутузов

Так как ρ (N, N1) = sin NN0N1, то из написанного предель-

ρ (N, N0)

ного равенства следует, что NN0N1 → 0 при N → N0. Теорема 17. Если функция z = f(x, y) дифференцируема в

точке M0(x0, y0), то в точке N0(x0, y0, z0), где z0 = f(x0, y0), существует касательная плоскость к графику этой функции.

Доказательство. Пусть N(x, y, z) S, z = f(x, y). Положим x −

− x0 = x, y − y0 = y, z − z0 = f(x, y) − f(x0, y0) = z. Так как функция z = f(x, y) дифференцируема в точке M0, то ее

z − z0 = A(x − x0) + B(y − y0) + o(ρ).

Рассмотрим плоскость P , заданную уравнением

Z− z0 = A(x − x0) + B(y − y0),

идокажем, что она является касательной плоскостью к поверхности S в точке N0(x0, y0, z0).

36 Гл. 9. Функции многих переменных

S в точке N0 имеет вид Z − 1 = y − 1 или Z = y. Эта плоскость содержит образующую конуса.

II. Производная по направлению и градиент

Частная производная ∂u∂x характеризует скорость изменения

функции по направлению оси Ox. Скорость изменения функции по произвольному направлению характеризуется производной по этому направлению.

(M L)

зывается производной функции u = f(M) в точке M0 по направ-

M0M = t. Тогда x = x0 + t cos α, y = y0 + t cos β, z = z0 + t cos γ,

(−∞ < t < ∞) — параметрические уравнения прямой L.

На прямой L:

u= f(M) = f(x, y, z) =

=f(x0 + t cos α, y0 + t cos β, z0 + t cos γ) =: ϕ(t) —

сложная функция одной переменной t, в частности f(M0) = ϕ(0). Поэтому

если этот предел существует.

Если функция u = f(x, y, z) дифференцируема в точке M0, то по правилу дифференцирования сложной функции получаем:

Формула (9.15) имеет простой физический смысл: она показывает, что если функция u = f(M) дифференцируема в точке

M0, то в этой точке скорость изменения функции по заданно-

→−

му направлению l является линейной комбинацией скоростей изменения этой функции по направлениям координатных осей

(то есть линейной комбинацией частных производных ∂u∂x, ∂u∂y

задающего направление; эти коэффициенты являются весовыми множителями, показывающими, какую долю вносит каждая частная производная в производную (скорость) по направлению

Определение. Градиентом дифференцируемой функции u = = f(x, y, z) в точке M0 называется вектор

шего роста функции u = f(M) в этой точке, а |grad u| есть скорость роста функции u = f(M) в точке M0 в этом направлении.

Отсюда следует, что вектор grad u однозначно определяется самой функцией u = f(M) и не зависит от выбора системы

Поле тяготения точечной массы m, находящейся в начале

координат, описывается ньютоновым потенциалом u(M) = γ

m

r

→−

(γ — гравитационная постоянная). Сила F (M), с которой масса m притягивает единичную массу, помещенную в точку M(x, y, z), выражается формулой

тенциальным, а функция u(M) называется потенциалом этого

векторного поля. Рассмотренные электростатическое и гравита-

−→ −→

ционное поля E (M) и F (M) — потенциальные векторные поля.

Понятие производной по направлению и градиента можно ввести для функции любого числа переменных m 2.

Рис. 9.16. Рис. 9.17.

При m = 2 имеем: u = u(x, y),

∂u∂l (M) = ∂u∂x (M) cos α + ∂u∂y (M) sin α,

составляет угол в 30◦ с осью Ox (рис. 9.17).