2 семестр / Лекции по ВМ2

Добавил:

PotapkinBY t.me Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Высшая математика

Файл:

x = a cos t,

y = b sin t, 0 t 2π,

и воспользуемся формулами (13.9):

ydx − xdy = −

[b sin t(−a sin t) − a cos t(b cos t)] dt =

ydx − xdy = −

[b sin t(−a sin t) − a cos t(b cos t)] dt =

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.07.2023

Размер:

1.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2016 17 18 19 20 > Следующая >>>

3. Криволинейные интегралы второго рода

151

Из определения следует, что кри-

волинейный интеграл второго ро-

да зависит от того, в каком на-

правлении пробегается кривая L,

то есть от того, какая из точек A

и B считается начальной, а какая

конечной. Если двигаться от B к

A, то все

xi и yi

в интеграль-

ных суммах изменят знак и, сле-

Рис. 13.13.

довательно, интегралы также из-

менят знак, то есть

P dx = −

P dx,

Qdy = −

Qdy.

Физический

пример.

Пусть материальная точка движет-

ся

по кривой

из

точки

A в точку

под действи-

ем

силы

(рис.

13.13). Тогда

F (x, y) = P (x, y)i + Q(x, y)j

· — работа силы при перемещении точки

F dl = P dx + Qdy

· · ·

на вектор dl = dx i + dy j, а F dl = P dx + Qdy —

AB AB

работа силы при перемещении точки по кривой AB из точки

A в точку B.

Вычисление криволинейных интегралов второго рода с помощью определенных интегралов.

Теорема 3. Пусть

1)гладкая незамкнутая кривая AB задана уравнениями x = ϕ(t), y = ψ(t), α t β;

2)функции P (x, y) и Q(x, y) непрерывны вдоль кривой AB.

Тогда криволинейные	интегралы второго рода от функций
P (x, y) и Q(x, y) существуют, и справедливы равенства
	β
P (x, y)dx = P (ϕ(t), ψ(t)) ϕ (t)dt,
AB	α	(13.9)
	β	(13.9)
	β
Q(x, y)dy = Q (ϕ(t), ψ(t)) ψ (t)dt.
AB	α

Доказательство теоремы 3 аналогично доказательству теоремы 2.

152	Гл. 13. Криволинейные интегралы

Замечания.

1. Если гладкая кривая AB задана в декартовых координатах уравнением y = y(x), a x b, A = (a, y(a)), B = (b, y(b)) (слово «гладкая» означает, что функция y(x) имеет на [a, b] непрерывную производную y (x)), то

	b
P (x, y)dx + Q(x, y)dy =	[P (x, y(x)) + Q(x, y(x))y (x)] dx.
AB	a

(13.10) 2. Если L — замкнутая кривая (замкнутый контур), то есть точки A и B совпадают, то криволинейный интеграл второго рода по кривой L вводится так же, как и для незамкнутой кри-

вой, но только теперь в обозначении P dx + Qdy не отражено,

в каком направлении пробегается кривая. Договоримся считать положительным то направление обхода замкнутого контура, при котором область, лежащая внутри контура, остается слева по отношению к движущейся по контуру точке (рис. 13.14). Интеграл по замкнутому контуру L в положительном направлении обозначается так:

P dx + Qdy.

	3. Криволинейные интегралы второго рода в
	пространстве вводятся аналогично интегралам
	на плоскости. Если кривая AB задана уравне-
	ниями x = ϕ(t), y = ψ(t), z = χ(t), α t β,
	то
Рис. 13.14.	I = P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz =
	AB

= [P (ϕ, ψ, χ)ϕ (t) + Q(ϕ, ψ, χ)ψ (t) + R(ϕ, ψ, χ)χ (t)] dt.

Интеграл I записывается также в виде:


I =
I =	F	· dl ,

	3. Криволинейные интегралы второго рода									153

где F = P	· i + Q · j + R ·		k, dl = dx			· i + dy ·	j + dz · k,		F	· dl —
									циркуля-
скалярное произведение векторов F									циркуля-
скалярное произведение векторов F						и dl, и называется

цией векторного поля F вдоль кривой AB.
Примеры.
1. Вычислить		интеграл	−	1	ydx − xdy,		где	L	—	эллипс
1. Вычислить		интеграл	−	2	ydx − xdy,		где	L	—	эллипс

x2 + y2 = 1. Перейдем к параметрическим уравнениям эллипса: a2 b2

		2π
=	1	ab dt = πab = Sэл
=	2	ab dt = πab = Sэл
	2
	0

(площадь фигуры, ограниченной эллипсом).

В следующем параграфе будет выведена формула Грина, из которой, в частности, следует, что если плоская фигура G ограничена кусочно гладким контуром L (рис. 13.15), то

S(G) = 12 xdy − ydx.

Рис. 13.15.

2. Вычислить интеграл I = 2xydx + x2dy по трем кри-

вым, соединяющим точки A(0, 0) и B(1, 1) и изображенным на рис. 13.16. Воспользуемся формулой (13.10).

154			Гл. 13.	Криволинейные интегралы
		1				1	1
							1
2) y = x2; I2 =		0	2x · x2dx + x2 · 2xdx =			0 4x3dx = x4 0		= 1;
			1	1

3) ломаная ACB; I3 =				2x · 0dx +	12 · dy = 1.
			0	0
				Таким образом, I1 = I2 = I3.
				Это не случайно! Можно доказать, что
				Это не случайно! Можно доказать, что
				значение интеграла I не зависит от
				значение интеграла I не зависит от
				кривой, соединяющей точки A и B.
				Как это доказать и в каких случаях
				интеграл не зависит от пути интегри-
				рования — об этом пойдет речь в §5.
				Связь	между криволинейными
				интегралами первого и второго ро-


				да. Пусть гладкая кривая AB задана
	Рис. 13.16.			в декартовых координатах уравнением
				y = y(x),	a x b. Обозначим через

α(x) угол между направленной касательной к кривой в точке M(x, y(x)) и осью Ox. Направление касательной выберем в соответствии с направлением движения по кривой (рис. 13.17):

при движении от A к B:

y (x)

−

< α <

, tg α = y (x), cos α =

, sin α =

;

1 + y 2(x)

+y 2(x)

при движении от B к A:

< α <

3π

, tg α = y (x),

cos α = −

1 + y 2(x)

sin α = −

y (x)

1 + y 2(x)

Рис. 13.17.

Рассмотрим два криволинейных инте-

грала:

криволинейный интеграл второго рода

P (x, y)dx = P (x, y(x))dx

3. Криволинейные интегралы второго рода

155

и криволинейный интеграл первого рода

P (x, y) cos αdl =

AB
b				b
= a	P (x, y(x))	1	· 1 + y 2 dx = a P (x, y(x))dx.
= a	P (x, y(x))	1 + y 2	· 1 + y 2 dx = a P (x, y(x))dx.


Из написанных равенств следует, что
	P (x, y)dx =		P (x, y) cos αdl.
	AB		AB
Аналогично получается равенство
	Q(x, y)dy =		Q(x, y) sin αdl.
	AB		AB
Таким образом,
P (x, y)dx + Q(x, y)dy =			(P (x, y) cos α + Q(x, y) sin α) dl
AB		AB

— формула, связывающая криволинейные интегралы первого и второго рода.

Если ввести векторы , { , , , } и

F (x y) = P (x y) Q(x y)

τ = {cos α, sin α} — единичный вектор направленной касательной

ккривой, то полученную формулу можно записать так:

P (x, y)dx + Q(x, y)dy =		· τ dl.
P (x, y)dx + Q(x, y)dy =	F	· τ dl.
AB	AB

Аналогичные формулы имеют место для криволинейных интегралов по пространственной кривой AB:

P dx + Qdy + Rdz =

(P cos α + Q cos β + R cos γ) dl = F τ dl,

AB AB

где = {P , Q, R}, τ = {cos α, cos β, cos γ} — единичный вектор

направленной касательной к кривой.

156 Гл. 13. Криволинейные интегралы

§ 4. Формула Грина

Пусть y = y1(x) и y = y2(x) (a x b) — уравнения двух кусочно гладких кривых в декартовых координатах, y1(x) y2(x).

Область

G ={(x, y): a x b, y1(x) y y2(x)}

назовем «y-трапециевидной» (рис. 13.18). Аналогично определяется «x-трапециевидная» область.

Замкнутую область G назовем простой, если ее можно разбить как на конечное число «x-трапециевид- ных» областей, так и на конечное число «y-трапециевидных» областей (без

общих внутренних точек у любых

двух областей).

Примеры простых областей: прямо-

Рис. 13.18.	угольник, круг, кольцо (рис. 13.19).

Рис. 13.19.

Границу области G обозначим буквой L. Она может состоять из конечного числа замкнутых контуров (рис. 13.20). Как было оговорено ранее, направление обхода контура считается положительным, если при этом обходе область G остается слева от

		движущейся по контуру точки.
		Теорема 4. Пусть функции P (x, y) и
	Рис. 13.20.		∂P (x, y)
		Q(x, y) и их частные производные	∂P (x, y)
	∂Q(x, y)	Q(x, y) и их частные производные	∂y
			∂y
и		непрерывны в простой области G с кусочно-гладкой
и	∂x	непрерывны в простой области G с кусочно-гладкой
	∂x

4. Формула Грина

157

границей L. Тогда

∂Q∂x − ∂P∂y dxdy = P dx + Qdy (13.11)

G L

где интеграл по границе L берется в положительном направлении.

Формула (13.11) называется формулой Грина.

Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда G — «y-трапециевидная» область (рис. 13.21) и докажем, что

	∂P	dxdy = −	P dx.	(13.12)
	∂P
	∂y
G			L
Сводя двойной интеграл к повторно-


му, получаем:					Рис. 13.21.

					b	y2(x)
			∂P	(x, y)dxdy = dx			∂P	(x, y)dy =
			∂y	(x, y)dxdy = dx			∂y	(x, y)dy =
			∂y				∂y
		G			a	y1(x)
=	b dx · P (x, y) y2(x)				= b P (x, y2(x))dx − b P (x, y1(x))dx, (13.13)



	a		y1(x)		a		a

Определенные интегралы в правой части (13.13) выразим через криволинейные интегралы соответственно по кривым CD и AB:

P (x, y2(x))dx =	P (x, y)dx = − P (x, y)dx,
a	DC	CD
b
P (x, y1(x))dx =		P (x, y)dx.
a		AB

158 Гл. 13. Криволинейные интегралы

Используя

полученные

равенства,

также

равенства

P (x, y)dx = 0 и P (x, y)dx = 0, запишем (13.12) в виде:

∂P

(x, y)dxdy =

∂y

= −

P dx −

P dx − P dx −

P dx = −

P dx.

Тем самым, справедливость равенства (13.12) доказана для

«y-трапециевидной» области.

Пусть теперь G — простая об-

ласть. Разобьем ее на конечное

число «y-трапециевидных»

обла-

стей Gi,

(i = 1, 2, ..., n): G =

i=1

каж-

(рис. 13.22). Напишем для -

дой области Gi равенство (13.12):

Рис. 13.22.

∂P

dxdy = −

P dx.

∂y

Суммируя эти равенства по i от 1 до n, получим в левой части

интеграл	∂P	dxdy, а в правой части — интеграл − P dx, так
интеграл	∂y	dxdy, а в правой части — интеграл − P dx, так
G		L

как криволинейный интеграл по каждой внутренней разделительной линии берется дважды, причем в противоположных направлениях, и потому сумма таких интегралов равна нулю. Итак, для каждой простой области справедливо равенство (13.12).

Аналогично можно доказать, используя разбиения G на «x- трапециевидные» области, что

	∂Q	dxdy =	Qdy.	(13.14)

	∂x
G			L

Вычитая (13.12) из (13.14), получаем формулу (13.11):

∂Q∂x − ∂P∂y dxdy = P dx + Qdy.

G L

4. Формула Грина

159

Теорема 4 доказана.

Замечание. Можно доказать, что формула Грина справедлива не только для простых областей, но и для любой области, граница

которой состоит из конечного числа кусочно-гладких кривых. Следствие. Полагая в (13.11) Q = x, P = 0, а затем Q = 0,

P = −y, получаем:

dxdy = xdy	и	dxdy = −	ydx,
G		G	L
то есть
S (G) = xdy и	S (G) = − ydx,		(13.15)
L		L

где S (G) — площадь области G.

Пусть α и β — произвольные числа, такие, что α + β = 1. Умножая первое равенство (13.15) на α, а второе на β, и складывая, приходим к формуле

S (G) = αxdy − βydx (α + β = 1).

Наиболее употребительна эта формула при α = β =			1	:
Наиболее употребительна эта формула при α = β =			2	:
			2
S (G) =	1	xdy − ydx.		(13.16)
S (G) =	2	xdy − ydx.		(13.16)
		L
Примеры. 1) Вычислить интеграл

I = x2 − y dx + x + y2 dy,

где L — окружность (x − x0)2 + (y − y0)2 = R2.

Здесь P = x2 − y, Q = x + y2, ∂P∂y = −1, ∂Q∂x = 1. По формуле

Грина
I =	∂Q∂x − ∂P∂y dxdy = 2dxdy = 2S(G) = 2πR2.

G G

160 Гл. 13. Криволинейные интегралы

														2)		Найти		площадь области,
														ограниченной астроидой
															2	2		2
														x3		+ y 3 = a3 (рис. 13.23).
														Напишем				параметрические
														уравнения астроиды:
																x = a cos3 t, y = a sin3 t,
																x = a cos3 t, y = a sin3 t,
																0 t 2π.
														По формуле (13.16)находим:
																S =	1	xdy − ydx =
																	1
				Рис. 13.23.													2
																		L
		2π	a cos3 t · a · 3 sin2 t cos t − a sin3 t −a · 3 cos2 t sin t dt =
=	1
=	2	0
								2π								2π
				3			2	2		2		3			2	2		3		2
			=			a		sin	t cos		tdt =			a		sin 2tdt =				πa	.
			=		2	a		sin	t cos		tdt =		8	a		sin 2tdt =			8	πa	.
								0								0

§ 5. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования

В §3 был рассмотрен пример, в котором криволинейный интеграл второго рода по трем различным кривым, соединяющим две данные точки, имел одно и то же значение. В этом параграфе мы установим условия, при которых криволинейный интеграл второго рода не зависит от пути интегрирования, то есть для двух данных точек значение интеграла одно и то же для любой кривой, соединяющий это точки.

Нам понадобится понятие односвязной области. Областью мы называем открытое связное множество. Объединение области и ее границы называется замкнутой обастью. Область G на плоскости называется односвязной, если она обладает следующими свойством: для любого замкнутого контура L, лежащего в области G,

Рис. 13.24. часть плоскости, ограниченная этим контуром,

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2016 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 2 семестр

#
16.07.2023885.56 Кб0ВМ1. Билеты к экзамену.pdf
#
16.07.20231.94 Mб1Лекции по ВМ2.pdf
#
16.07.2023236.72 Кб1Методичка по ВМ.pdf
#
16.07.2023425.84 Кб0Павлов, Петрушко. ВМ. ФНП. Сборник заданий.pdf
#
16.07.2023283.73 Кб0Примерные задачи к экзамену по ВМ2.pdf
#
16.07.20231.96 Mб0УП занятий по ВМ1. Сальникова. 2 семестр (1).jpg
#
16.07.20231.43 Mб0УП занятий по ВМ1. Сальникова. 2 семестр (2).jpg