2 семестр / Лекции по ВМ2

значения y и также каждому y > 0 соответствуют два значения x. Любая точка этой кривой при t = 0 является обыкновенной точкой.

Огибающая семейства плоских кривых

Рассмотрим уравнение

Пусть при каждом фиксированном значении переменной a (из некоторого промежутка) уравнение (11.5) задает плоскую кривую на плоскости Oxy. Изменяя a (в пределах указанного промежутка), будем получать различные кривые. Совокупность всех этих кривых называется однопараметрическим семейством кривых, переменная a называется параметром, а уравнение (11.5) — уравнением однопараметрического семейства

кривых.

Пример. Уравнение

2) в различных точках касается различных кривых семейства, называется огибающей данного семейства кривых.

В рассмотренном примере ось Ox (прямая y = 0) — огибающая семейства парабол.

Необходимое условие огибающей

Пусть однопараметрическое семейство кривых, заданное уравнением

(11.5), имеет огибающую. Рассмотрим точку M(x, y) на огибающей

(рис. 11.7). Так как в этой точке огибающая касается некоторой кривой семейства, а этой кривой соответствует определенное значение параметра

102 Гл. 11. Приложения диф. исчисления к исследованию плоских кривых

a, то, тем самым, каждая точка M(x, y) огибающей соответствует определенному значению параметра a, причем различные точки огибающей соответствуют различным значениям a (в силу определения огибающей). Таким образом, координаты точки M(x, y) огибающей являются функциями параметра a. Обозначим их так:

x = ϕ(a), y = ψ(a).

Эти уравнения являются параметрическими уравнениями огибающей. Будем считать, что ϕ(a) и ψ(a) — дифференцируемые функции, и выведем систему уравнений, решением которой являются эти функции.

Так как точка M(ϕ(a), ψ(a)) огибающей лежит также на кривой семейства, отвечающей данному значению параметра a, то ее координаты удовлетворяют уравнению (11.5):

Равенство (11.6) выполняется для любого значения a, то есть является тождеством. Продифференцируем его по a:

M(ϕ(a), ψ(a)), то они имеют в этой точке общую касательную, и, значит, одинаковые угловые коэффициенты касатель-

откуда получаем

Fx · ϕ (a) + Fy · ψ (a) = 0. (11.8)

x=ϕ(a) y=ψ(a)

Заметим, что это равенство верно и в том случае, когда ϕ (a) = 0 и Fy(ϕ(a), ψ(a), a) = 0. В силу (11.8) из (11.7) следует равенство

Итак, если огибающая семейства кривых, заданного уравнением (11.5), существует, то функции x = ϕ(a), y = ψ(a), описывающие огибающую, удовлетворяют равенствам (11.6) и (11.9), то есть эти функции являются решением системы уравнений

Это и есть необходимое условие огибающей.

Если система (11.10) не имеет решения относительно x и y, то у семейства кривых (11.5) огибающей нет. Если же система (11.10) имеет решение x = ϕ(a), y = ψ(a), то эти функции могут описывать огибающую, но могут быть и уравнениями кривой, которая не является огибающей. Дело в том, что равенство (11.8) и, следовательно, равенство (11.9), имеет место не только в случае касания огибающей и кривой семейства в точке M(ϕ(a), ψ(a)),

а также и тога, когда в этой точке либо Fx = Fy = 0, либо ϕ (a) = ψ (a) = 0. В этом случае точка M(ϕ(a), ψ(a)) будет

особой точкой либо кривой семейства (11.5), либо кривой, описываемой уравнениями x = ϕ(a), y = ψ(a).

Кривая, определяемая системой (11.10), называется дискриминантной кривой семейства (11.5). Если кривые семейства и дискриминантная кривая не имеют особых точек, то дискриминантная кривая является огибающей. В противном случае дискриминантная кривая может быть либо огибающей, либо множеством особых точек, либо частично тем и частично другим.

Примеры. 1) Рассмотрим уравнение

(x − a)3 − (y − a)2 = 0, a R.

Оно задает семейство кривых, называемых полукубическими параболами. Название объясняется тем, что уравнение можно записать в виде y − a = ±(x − a)3/2, и эпитет «полукубические», относящийся к кривым этого семейства, обусловлен показателем степени, равным 3/2.

В данном примере F (x, y, a) = (x − a)3 − (y − a)2, поэтому Fa(x, y, a) = −3(x − a)2 + 2(y − a), а система (11.10) имеет два решения

Таким образом, дискриминантная кривая состоит из двух прямых, уравнения которых можно записать так:

y = x и y = x − 274 .

104 Гл. 11. Приложения диф. исчисления к исследованию плоских кривых

Вточках прямой x = a, y = a выполняются равенства Fx =

=Fy = 0, то есть эта прямая является множеством особых точек кривых семейства (рис. 11.8).

Прямая x = a + 4/9, y = a + 8/27 является огибающей: в каждой своей точке она касается некоторой кривой семейства, а

вразличных точках касается различных кривых семейства (см. рис. 11.8).

2) Кривая y = f(x), имеющая касательную в каждой точке, является огибающей семейства касательных к этой кривой.

Выведем уравнение семейства касательных к параболе y = x2. Возьмем на параболе произвольную точку M(a; a2). (рис 11.9). Угловой коэффициент касательной в этой точке равен y (a) = 2a,

а уравнение касательной имеет вид

Рис. 11.9.

y − a2 = 2a(x − a) и y = 2ax − a2 (−∞ < a < ∞).

Это и есть уравнение однопараметрического семейства касательных к параболе y = x2.

Замечание. Понятие огибающей используется в теории дифференциальных уравнений. Рассмотрим уравнение

dxdy = f(x, y).

Оно называется дифференциальным уравнением первого порядка, и задача состоит в том, чтобы найти все функции y = y(x), удовлетворяющие этому уравнению. В курсе дифференциальных уравнений будет доказано, что общее решение данного уравнения зависит от одной произвольной постоянной: y = Φ(x, c), где c — произвольная постоянная, а функция Φ определяется правой частью уравнения, то есть функцией f(x, y). Запишем общее решение в виде

F (x, y, c) := y − Φ(x, c) = 0.

Таким образом, общее решение задает однопараметрическое семейство кривых на плоскости (x, y), в качестве параметра выступает произвольная постоянная c.

Если это семейство кривых имеет огибающую, то она является графиком так называемого особого решения дифференци-

(рис. 11.10). Оно имеет огибающую — ось Ox. Это видно непосредственно на рисунке (ось Ox касается всех кривых семейства), а, кроме того, можно найти огибающую, используя систе-

106 Гл. 11. Приложения диф. исчисления к исследованию плоских кривых

му уравнений (11.10), которая в данном случае имеет решение x = −c, y = 0, задающее ось Ox. Через каждую точку (x, y), не лежащую на оси Ox, проходит одно решение дифференциального уравнения, а через каждую точку оси Ox проходят 2 решения: одно из них изображается кубической параболой, а другое — это

особое решение y = 0.

§ 3. Кривизна плоской кривой

Рассмотрим плоскую кривую, изображенную на рисунке 11.11. Выделим на ней два участка одинаковой длины (I и II). Наглядно видно, что искривленность на участке II больше, чем на участке I.

Наша задача состоит в том, чтобы ввести количе-

ственную характеристику искривленности плоской

кривой (меру искривленности). Эту меру искривленности мы назовем в дальнейшем кривизной плоской кривой.

Пусть дана плоская кривая L, в каждой точке которой существует касательная. Будем в каждой точке рассматривать направленную касательную. За направление касательной примем то, которое соответствует направлению движения точки по кривой, и будем отмечать его стрелкой. Пусть M0 и M — две точки на кривой L. Обозначим через ϕ угол, на который повернется направленная касательная при движении по кривой

M L

средняя, так и в точке) неотрицательна (так как ϕ 0, l > 0). Иногда вводят кривизну со знаком, в этом случае знак отражает

направление выпуклости кривой.

Примеры.

2) Длина l дуги M0M окружности ради-

уса R выражается формулой l = R· ϕ (рис. 11.14), поэтому

= ϕl = R1 , k(M0) = R1 , то есть как средняя кривизна любой дуги окружности, так и кривизна в каждой ее точке, равны R1 . Отметим, что при R → ∞ кривизна окружности стре-

мится к нулю, и в этом смысле дуга окружности очень большого радиуса мало отличается от прямой. Заметим, что прямая и окружность — кривые постоянной кривизны.

3) Рассмотрим эллипс, заданный уравнением

Интуитивно ясно, что кривизна эллипса в точке M1 меньше, чем в точке M2: k(M1) < k(M2). Чтобы доказать это строго, нужно научиться вычислять кривизну в точке.

108 Гл. 11. Приложения диф. исчисления к исследованию плоских кривых

Вычисление кривизны кривой

ке 11.16 α > 0). Значение α для точки M0(x0, f(x0)) обозначим через α0. Положим α = α − α0, тогда ϕ = | α|. По определению средней кривизны

Величины α и l, где l — длина кривой, отсчитываемая от точки

x0

=1 + f 2(x0) dx.

Следовательно, для кривизны кривой, заданной уравнением y = f(x), в точке M0(x0, f(x0)) получается формула

Формула (11.11) показывает, что кривизна k(M0) тем больше, чем больше |f (x0)|. В случае прямой, заданной уравнением y =

110 Гл. 11. Приложения диф. исчисления к исследованию плоских кривых

dα = ψ (t)ϕ (t) − ϕ (t)ψ (t) dt.

ϕ 2(t) + ψ 2(t)

Пусть точка M0 кривой L имеет координаты (ϕ(t0), ψ(t0)). Для кривизны кривой L в точке M0 получается формула

На рисунке 11.15 точка M1 соответствует t = π/2, а точка M2 — t = 0. Поэтому

а поскольку a > b, то k(M1) < K(M2).