- •Г.Г КАШЕВАРОВА, Т.Б. ПЕРМЯКОВА
- •Предисловие
- •Введение
- •Общие сведения о математическом моделировании.
- •Численные методы
- •Элементы теории погрешности
- •Понятия мастера и надстройки
- •Глава 1. Основные понятия матричного исчисления. Матрицы в расчетах строительных объектов
- •1.1. Матрицы и векторы. Определения
- •1.2. Матрицы специального вида
- •1.3. Действия над матрицами
- •1.4. Нормы матрицы и вектора
- •1.5. Матрицы в задачах строительной механики
- •1.5.1. Матрицы влияния внутренних сил
- •1.5.2. Матричная форма расчета статически определимых ферм
- •1.5.3, Матричная форма метода сил
- •1.5.4. Матричная форма метода перемещений
- •1.6. Матрицы в расчетах инженерных сетей
- •1.7. Функции Excel для операций над матрицами
- •Категория: математические. Функции:
- •2.1. Системы линейных алгебраических уравнений
- •2.2.1. Метод Гаусса
- •2.2.2. Метод Гаусса для СЛАУ с ленточными матрицами
- •2.2.3. Метод прогонки
- •2.2.4. Метод (схема) Холецкого
- •2.3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •2.3.1. Метод Якоби (простых итераций)
- •2.3.2. Метод Гаусса - Зейделя.
- •2.3.3. Условия сходимости итерационного процесса
- •2.5. Обусловленность задач и вычислений, или как узнать, что получены правильные ответы
- •2.6. Вычисление определителя
- •2.7. Вычисление обратной матрицы
- •2.8. Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц
- •2.8.1. Вводные замечания
- •2.8.2. Методы развертывания вековых определителей
- •2.8.3. Итерационные методы определения максимального по модулю собственного значения
- •2.9.1. Реализация метода Гаусса средствами приложения Excel
- •Последовательность действий:
- •2.9.4. Реализация метода Зейделя средствами приложения Excel
- •Последовательность действий:
- •3.1. Отделение корней
- •3.2. Этап уточнения корня
- •3.2.1. Метод половинного деления (бисекций)
- •3.2.2.Метод хорд
- •3.2.3. Метод Ньютона (метод касательных)
- •3.2.4. Модифицированный метод Ньютона
- •3.3. Системы нелинейных уравнений
- •3.4. Реализация численных методов решения нелинейных уравнений средствами приложения Excel
- •3.4.1. Решение нелинейных уравнений
- •Последовательность действий
- •4.2.3. Интерполяционный полином Эрмита
- •4.2.4. Сплайн-интерполяция
- •Глава 4. Аппроксимация
- •4.1. Задача и способы аппроксимации
- •4.2. Интерполирование функций
- •4.2.1. Постановка задачи интерполирования
- •4.2.2. Интерполяционная формула Лагранжа
- •4.3. Среднеквадратичное приближение функций
- •4.3.1. Метод наименьших квадратов
- •4.3.4. Квадратичное (параболическое) приближение
- •4.3.4. Эмпирические формулы с двумя параметрами. Метод выравнивания
- •4.4. Решение задач аппроксимации с помощью электронных таблиц Excel
- •4.4.1. Построение линейной эмпирической формулы методом наименьших квадратов
- •Последовательность действий
- •Последовательность действий
- •5.1. Квадратурные формулы прямоугольников
- •5.2. Квадратурная формула трапеций
- •5.3. Квадратурная формула Симпсона
- •5.4. Реализация методов численного интегрирования средствами приложения Excel
- •Глава 6. Численные методы решения дифференциальных уравнений с начальными и краевыми условиями
- •6.1.1. Задачи Коши и краевые задачи
- •6.2.1.Классификация уравнений и типы задач
- •6.3. Численные методы решения задач Коши
- •6.3.1. Метод Эйлера
- •(геометрический метод решения задачи Коши)
- •6.4. Численные методы решения краевых задач
- •Разностная схема краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка
- •Конечно-разностная аппроксимация функций двух переменных
- •Сходимость метода конечных разностей
- •6.5. Вариационный подход к решению краевых задач
- •6.5.1. Основные понятия вариационного исчисления
- •6.5.2. Связь решения краевой задачи с нахождением минимума функционала
- •6.5.3. Метод Ритца
- •6.6.1. Решение задачи Коши методом Эйлера
- •Построение второй итерации
- •Последовательность действий.
- •Порядок построения графиков приближенных решений краевой задачи
- •Глава 7. Метод конечных элементов
- •7.1. Основные положения МКЭ
- •Построение расчетной модели
- •Аппроксимация искомой функции
- •Составление разрешающих уравнений
- •Решение системы линейных алгебраических уравнений
- •7.2.1. Классификация конечных элементов
- •Одномерный конечный элемент
- •Двухмерные конечные элементы.
- •элемента
- •Одномерный симплекс-элемент
- •Двухмерный треугольный симплекс-элемент
- •7.2.3. Интерполирование векторных величин
- •7.2.4. Разбиение области на конечные элементы
- •7.2.5 Нумерация узлов и элементов
- •7. 3. Основные соотношения МКЭ
- •7.3.1. Получение разрешающих уравнений на примере плоской задачи теории упругости
- •7.3.2. Примеры разрешающих уравнений в задачах расчета строительных объектов
- •7.4. Другие типы конечных элементов
- •7.4.1. Элементы Эрмита
- •7.5. Теоретическая и практическая сходимость МКЭ
- •7.6.1. Специализированные программные комплексы
- •7.6.2. Универсальные программные комплексы
- •8.1.1. Математическая модель задачи оптимизации
- •8.1. Общие сведения
- •8.1.2. Необходимые и достаточные условия экстремума функции
- •8.1.3. Классификация задач математического программирования
- •8.2. Постановка задачи оптимального проектирования
- •8.2.1. Определение входных и выходных параметров
- •8.2.2. Выбор целевой функции
- •8.2.3. Назначение ограничений
- •8.2.4. Нормирование управляемых и выходных параметров
- •8.2.5. Примеры постановок задач оптимального проектирования
- •8.3. Задачи линейного программирования
- •8.3.1. Общая постановка задачи ЛП
- •8.3.2. Геометрический смысл системы линейных неравенств с двумя неизвестными
- •8.3.4. Симплекс-метод решения задач линейного программирования
- •Задача об оптимальном плане выпуска продукции
- •Задача об оптимальном раскрое материалов (о минимизации отходов)
- •Задача о планировании смен на предприятии
- •Задача о покрытии местности при строительстве объектов
- •Транспортная задача
- •Задача о назначениях (проблема выбора)
- •8.3.6. Двойственные задачи в линейном программировании
- •8.4. Нелинейные задачи оптимизации
- •8.4.1. Выпуклые множества и выпуклые функции
- •8.4.2. Классификация численных методов решения нелинейных задач оптимизации
- •Основные этапы поиска экстремума
- •8.4.3. Численные методы одномерного поиска
- •Метод перебора или равномерного поиска
- •Метод дихотомии (или половинного деления)
- •Метод квадратичной интерполяции
- •Метод покоординатного спуска
- •Метод градиентного спуска
- •Метод наискорейшего спуска
- •Метод сопряженных градиентов
- •Метод Ньютона
- •Метод штрафных функций
- •8.5. Решение задач оптимизации с помощью электронных таблиц Excel
- •Литература
- •Оглавление
- •Численные методы решения задач строительства на ЭВМ
8.3.4. Симплекс-метод решения задач линейного программирования
Обычный метод классического математического анализа для решения задач на условный экстремум не применим для решения
задач ЛП. Линейная форма (8.51), определенная в области Z), достигает своего экстремума на границе (в вершинах) этой области, т.е. в точках , в которых частные производные могут быть отличны от нуля.
С другой стороны, поскольку экстремум функции цели (8.51) достигается в вершинах многоугольника, то, казалось бы, достаточным вычислить значение функции цели во всех вершинах многоугольника, а затем найти ту из них, в которой функция достигает своего минимума или максимума. Но такой путь решения задач ЛП, даже с относительно небольшим числом ограничений и неизвестных параметров, практически неосуществим, т.к. процесс отыскания вершин весьма трудоемкий, а число вершин может оказаться астрономически большим.
Поэтому надо найти способ перехода от данной вершины к лучшей, а от нее - к еще лучшей. Кроме того, сюда же надо добавить какие-то условия существования оптимального решения для данной задачи.
В этом и заключается суть метода последовательного улучшения плана для решения задачи ЛП, который называется симплекс-методом [17, 23] и наиболее широко применяется в настоящее время.
Опишем идею симплекс-метода.
Пусть данная задача ЛП является задачей минимизации и имеет непустое множество допустимых решений (многогранная
область D с конечным числом вершин). Тогда каким-либо способом (они существуют) найдем какую-нибудь вершину
области D и все ребра, выходящие из этой вершины. Пойдем по одному из ребер, вдоль которого функция цели убывает. Достигаем следующей вершины, находим выходящие из нее ребра и повторяем процесс. Когда мы доберемся до вершины такой, что
вдоль всех выходящих из нее ребер функция возрастает то эта вершина и дает оптимальное решение, т.е в этой вершине и достигается минимум.
Поскольку функция цели линейна, а многогранник допустимых решений выпуклый, то этот процесс всегда сходится к решению задачи ЛП и сходится за конечное число шагов.
Реализация симплекс-метода унифицирована, все вычисления проводятся с помощью специального вида таблиц (симплекс-таблиц). С другой стороны, метод хорошо программируется и в настоящее время существуют всевозможные пакеты прикладных программ, включающие и реализацию симплекс-метода.
Широкое распространение электронных таблиц, таких, например, как Microsoft Excel, позволяет эффективно решать всевозможные задачи ЛП.
8.3.5. Применение моделей ЛП в задачах управления производством
Имеется много данных об успешном использовании моделей ЛП в различных задачах управления. Рассмотрим некоторые схемы таких задач.
Основной формой деятельности любого предприятия является производство тех или иных видов продукции. При этом в процессе производства предприятие потребляет (расходует) определенные виды ресурсов {труд, сырье, оборудование, денежные средства, природные ресурсы и т.п.). Поскольку обычно размеры ресурсов ограничены, возникают определенные проблемы их рационального распределения.
Если предприятие выпускает продукцию нескольких видов с использованием одних и тех же ресурсов (например, оборудование, трудовые ресурсы), то администрация должна решить, какое количество продукции каждого вида следует производить. Принятое решение будет направлено на удовлетворение определенной цели администрации (например, получить
максимальную прибыль или минимизировать затраты производства). Для удовлетворения этой цели администрация располагает управляющими переменными решения (например,
количество продукции каждого вида, которое необходимо произвести за данный период времени).
Задача об оптимальном плане выпуска продукции
Постановка задачи Предприятие выпускает п видов продукции, на которую употребляет т видов сырья. Расход / -го вида сырья на единицу j -го вида продукции составляет аи единиц. Известно, что на каждой единице продукции у-го вида предприятие получает прибыль с, Требуется определить, сколько единиц каждого вида продукции
должно изготовить предприятие (оптимальный план выпуска продукции), чтобы обеспечить максимальную прибыль. При этом следует учесть, что запасов сырья каждого ( /-го) вида имеется 6,.
В качестве управляемых параметров в данной задаче можно взять объемы выпуска соответствуюгцего вида продукции
X = О ,, х2
Математической моделью данной задачи является следующая задача линейного программирования:
найти максимум целевой функции (линейной формы):
|
П |
|
2 „,ах = |
С1*1 + С2*2 + - + СЛ = Х С'* ' ’ |
( 8 6 4 ) |
при выполнении ограничений |
|
|
!ИЛ*, 4- Я]2Х2 .... .... + aUlxn <6,, |
|
|
2\Х\ + а22х2 + .... .... + a2„xu <b2, |
(8.65) |
|
|
|
|
,.,1*1 + ат2Х2 + -■ |
|
|
и условии неотрицательности переменных |
|
|
Xj> о |
j = 1,2,•••,«. |
(8.66) |
Решение такой задачи позволит руководителю определить оптимальные объемы выпуска, выявить те виды продукции, выпускать которые в данных условиях нецелесообразно, а возможно, и сделать вывод об изменении номенклатуры.
■ |
Пример 8.6. П о с т р о и т ь м а т ем а т и ч еск ую м одель задачи |
п л а н и р о ва н и я п р о и зв о д с т в а .
Цех производит два вида продукции (продукт1 и продукт2) стоимостью соответственно 5 у.е. и 5,5 у.е. (уел. единиц). На производстве действуют ограничения по ресурсам: сырье; трудовые затраты; транспортные расходы (аренда машины для вывоза продукции). Расход каждого ресурса на изготовление того и другого продукта, количество ресурса в распоряжении цеха приведены в таблице:
Используемые |
Расход ресурсов на |
Количество |
|
ресурсы |
изготовление |
ресурса |
|
|
продукта1 |
продукта2 |
в распоряжении |
|
|
|
цеха |
Сырье |
3 |
6 |
18 |
Трудовые затраты |
6 |
4 |
24 |
Транспортные |
2 |
1 |
не менее 2 |
расходы |
|
|
|
Стоимость продукта |
5 у.е. |
5,5 у.е. |
|
Рассчитать, какое количество каждого продукта нужно изготовить, чтобы прибыль была максимальной.
В качестве проектных параметров хи х2 выберем оптимальные объемы производства обоих продуктов.
Тогда целевая функция запишется в виде |
|
||
Днях = 5 *!+ 5,5 х2. |
(8.64а) |
||
Ограничения записываем из условия ресурсов, которыми |
|||
располагает цех. |
|
|
|
Зх, + 6х2 <18 |
- |
потребность в сырье, |
|
<6х, +4х2 ^24 |
- |
трудовые ресурсы, |
(8.65а) |
2XJ + X2 >2 - |
|
транспортные расходы, |
|
х, > 0, |
х 2 > 0 . |
(8.66а) |
Решение задачи с использованием электронных таблиц Excel получено в подразделе 8.5.