- •Г.Г КАШЕВАРОВА, Т.Б. ПЕРМЯКОВА
- •Предисловие
- •Введение
- •Общие сведения о математическом моделировании.
- •Численные методы
- •Элементы теории погрешности
- •Понятия мастера и надстройки
- •Глава 1. Основные понятия матричного исчисления. Матрицы в расчетах строительных объектов
- •1.1. Матрицы и векторы. Определения
- •1.2. Матрицы специального вида
- •1.3. Действия над матрицами
- •1.4. Нормы матрицы и вектора
- •1.5. Матрицы в задачах строительной механики
- •1.5.1. Матрицы влияния внутренних сил
- •1.5.2. Матричная форма расчета статически определимых ферм
- •1.5.3, Матричная форма метода сил
- •1.5.4. Матричная форма метода перемещений
- •1.6. Матрицы в расчетах инженерных сетей
- •1.7. Функции Excel для операций над матрицами
- •Категория: математические. Функции:
- •2.1. Системы линейных алгебраических уравнений
- •2.2.1. Метод Гаусса
- •2.2.2. Метод Гаусса для СЛАУ с ленточными матрицами
- •2.2.3. Метод прогонки
- •2.2.4. Метод (схема) Холецкого
- •2.3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •2.3.1. Метод Якоби (простых итераций)
- •2.3.2. Метод Гаусса - Зейделя.
- •2.3.3. Условия сходимости итерационного процесса
- •2.5. Обусловленность задач и вычислений, или как узнать, что получены правильные ответы
- •2.6. Вычисление определителя
- •2.7. Вычисление обратной матрицы
- •2.8. Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц
- •2.8.1. Вводные замечания
- •2.8.2. Методы развертывания вековых определителей
- •2.8.3. Итерационные методы определения максимального по модулю собственного значения
- •2.9.1. Реализация метода Гаусса средствами приложения Excel
- •Последовательность действий:
- •2.9.4. Реализация метода Зейделя средствами приложения Excel
- •Последовательность действий:
- •3.1. Отделение корней
- •3.2. Этап уточнения корня
- •3.2.1. Метод половинного деления (бисекций)
- •3.2.2.Метод хорд
- •3.2.3. Метод Ньютона (метод касательных)
- •3.2.4. Модифицированный метод Ньютона
- •3.3. Системы нелинейных уравнений
- •3.4. Реализация численных методов решения нелинейных уравнений средствами приложения Excel
- •3.4.1. Решение нелинейных уравнений
- •Последовательность действий
- •4.2.3. Интерполяционный полином Эрмита
- •4.2.4. Сплайн-интерполяция
- •Глава 4. Аппроксимация
- •4.1. Задача и способы аппроксимации
- •4.2. Интерполирование функций
- •4.2.1. Постановка задачи интерполирования
- •4.2.2. Интерполяционная формула Лагранжа
- •4.3. Среднеквадратичное приближение функций
- •4.3.1. Метод наименьших квадратов
- •4.3.4. Квадратичное (параболическое) приближение
- •4.3.4. Эмпирические формулы с двумя параметрами. Метод выравнивания
- •4.4. Решение задач аппроксимации с помощью электронных таблиц Excel
- •4.4.1. Построение линейной эмпирической формулы методом наименьших квадратов
- •Последовательность действий
- •Последовательность действий
- •5.1. Квадратурные формулы прямоугольников
- •5.2. Квадратурная формула трапеций
- •5.3. Квадратурная формула Симпсона
- •5.4. Реализация методов численного интегрирования средствами приложения Excel
- •Глава 6. Численные методы решения дифференциальных уравнений с начальными и краевыми условиями
- •6.1.1. Задачи Коши и краевые задачи
- •6.2.1.Классификация уравнений и типы задач
- •6.3. Численные методы решения задач Коши
- •6.3.1. Метод Эйлера
- •(геометрический метод решения задачи Коши)
- •6.4. Численные методы решения краевых задач
- •Разностная схема краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка
- •Конечно-разностная аппроксимация функций двух переменных
- •Сходимость метода конечных разностей
- •6.5. Вариационный подход к решению краевых задач
- •6.5.1. Основные понятия вариационного исчисления
- •6.5.2. Связь решения краевой задачи с нахождением минимума функционала
- •6.5.3. Метод Ритца
- •6.6.1. Решение задачи Коши методом Эйлера
- •Построение второй итерации
- •Последовательность действий.
- •Порядок построения графиков приближенных решений краевой задачи
- •Глава 7. Метод конечных элементов
- •7.1. Основные положения МКЭ
- •Построение расчетной модели
- •Аппроксимация искомой функции
- •Составление разрешающих уравнений
- •Решение системы линейных алгебраических уравнений
- •7.2.1. Классификация конечных элементов
- •Одномерный конечный элемент
- •Двухмерные конечные элементы.
- •элемента
- •Одномерный симплекс-элемент
- •Двухмерный треугольный симплекс-элемент
- •7.2.3. Интерполирование векторных величин
- •7.2.4. Разбиение области на конечные элементы
- •7.2.5 Нумерация узлов и элементов
- •7. 3. Основные соотношения МКЭ
- •7.3.1. Получение разрешающих уравнений на примере плоской задачи теории упругости
- •7.3.2. Примеры разрешающих уравнений в задачах расчета строительных объектов
- •7.4. Другие типы конечных элементов
- •7.4.1. Элементы Эрмита
- •7.5. Теоретическая и практическая сходимость МКЭ
- •7.6.1. Специализированные программные комплексы
- •7.6.2. Универсальные программные комплексы
- •8.1.1. Математическая модель задачи оптимизации
- •8.1. Общие сведения
- •8.1.2. Необходимые и достаточные условия экстремума функции
- •8.1.3. Классификация задач математического программирования
- •8.2. Постановка задачи оптимального проектирования
- •8.2.1. Определение входных и выходных параметров
- •8.2.2. Выбор целевой функции
- •8.2.3. Назначение ограничений
- •8.2.4. Нормирование управляемых и выходных параметров
- •8.2.5. Примеры постановок задач оптимального проектирования
- •8.3. Задачи линейного программирования
- •8.3.1. Общая постановка задачи ЛП
- •8.3.2. Геометрический смысл системы линейных неравенств с двумя неизвестными
- •8.3.4. Симплекс-метод решения задач линейного программирования
- •Задача об оптимальном плане выпуска продукции
- •Задача об оптимальном раскрое материалов (о минимизации отходов)
- •Задача о планировании смен на предприятии
- •Задача о покрытии местности при строительстве объектов
- •Транспортная задача
- •Задача о назначениях (проблема выбора)
- •8.3.6. Двойственные задачи в линейном программировании
- •8.4. Нелинейные задачи оптимизации
- •8.4.1. Выпуклые множества и выпуклые функции
- •8.4.2. Классификация численных методов решения нелинейных задач оптимизации
- •Основные этапы поиска экстремума
- •8.4.3. Численные методы одномерного поиска
- •Метод перебора или равномерного поиска
- •Метод дихотомии (или половинного деления)
- •Метод квадратичной интерполяции
- •Метод покоординатного спуска
- •Метод градиентного спуска
- •Метод наискорейшего спуска
- •Метод сопряженных градиентов
- •Метод Ньютона
- •Метод штрафных функций
- •8.5. Решение задач оптимизации с помощью электронных таблиц Excel
- •Литература
- •Оглавление
- •Численные методы решения задач строительства на ЭВМ
Для одной и той же механической задачи можно сформулировать как задачу Коши, так и краевую задачу.
и Например, задачу о свободных колебаниях одномассовой системы (6.9) можно представить и как краевую задачу. В этом случае одно из дополнительных условий будет состоять в задании, например, перемещения по истечении некоторого промежутка времени:
при t = /1 |
yit\)=y[. |
Для уравнений и систем высокого порядка (п > 2), где число дополнительных условий больше двух, постановки краевых условий могут быть более разнообразны. При этом возможны случаи, когда часть дополнительных условий задана на внутренних точках отрезка [а,6,] или промежутка времени. Их нередко называют внутренними краевыми условиями. Сами дополнительные условия могут связывать между собой значения нескольких функций в одной точке (или даже в разных точках) [26, 34].
6.2. Дифференциальные уравнения в частных
производных в расчетах строительных объектов
Дифференциальные уравнения в частных производных составляют в настоящее время одно из наиболее быстро развивающихся направлений численного анализа. Проектирование многих технических объектов связано с необходимостью анализа прочности и разнообразных физических процессов, математическим описанием которых являются дифференциальные уравнения в частных производных.
6.2.1.Классификация уравнений и типы задач
Дифференциальные уравнения с частными производными представляет собой дифференциальные уравнения, в которых неизвестные функции являются функциями более чем одной независимой переменной.
Решение многих практических задач удается свести к двухмерным задачам, т.е. задачам, зависящим от двух независимых переменных.
В общем виде дифференциальное уравнение 2-го порядка в частных производных с двумя независимыми переменными можно записать в виде [28]:
А ( х , у ) ^ + В { х , у ) ^ - + С { х , у ) ^ +£(*,.у , / , у , | о = 0, (6.15)
дх дхду ду ох ду
где А, В, С, Е - коэффициенты, зависящие только от независимых переменных х и у, а/= / (х,у) — искомая функция.
Дифференциальные уравнения в частных производных классифицируют в зависимости от их математической природы:
эллиптические, параболические, гиперболические.
Если В2 -4 АС <0 - уравнение называется эллиптическим.
Если В2 - 4 АС = 0 - уравнение называется параболическим.
Если В2- 4АС >0 - уравнение называется гиперболическим
Другая классификация уравнений связана с физическими процессами, которые они описывают. Поэтому их называют
уравнениями математической физики:
•уравнение Лапласа (эллиптического типа)
(6.16)
дх2 ду2
К такого вида уравнению приводятся задачи о свойствах установившихся процессов (например, задача о безвихревом течении жидкости, о стационарном распределении тепла в
однородном теле и др.);
•уравнение теплопроводности (параболического типа)
ди - а д2и |
(6.17) |
~dt дх2 '
Такими уравнениями описываются, например, задачи о
распространении тепла в однородной среде, о фильтрации жидкостей и газов и т.п.;
волновое уравнение (параболического типа)
д2и _ р дги
(6.18)
~дх2 ~'Ё~д?Г'
К таким уравнениям сводятся задачи динамики, например, задачи о поперечных колебаниях стержня, струны или газа.
Уравнение (6.15) имеет множество решений. Для получения единственного (частного) решения необходимо задать дополнительные условия путем фиксирования некоторых произвольных "параметров" Но, в отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений, такими "параметрами" в общем решении будут не постоянные интегрирования, а произвольные функции. Число таких функций равно порядку дифференциального уравнения.
В зависимости от вида дополнительных условий решают одну из следующих задач:
задачу Коши, в которой одной из независимых переменных является время. При этом в начальный момент времени задаются некоторые условия относительно искомой непрерывной функции и ее производных - начальные условия Граничные условия при этом не задаются, так как задача решается в неограниченном пространстве;
краевую задачу, где решение ищется в некоторой области с определенными границами, на которых и задаются граничные {краевые) условия относительно искомой функции и ее производных;
смешанную {нестационарную) краевую задачу, в которой ставятся как граничные, так и начальные условия.
Наиболее распространенными краевыми условиями в практических задачах являются граничные условия первого,
второго и третьего рода, иногда называемые граничными условиями Дирихле, Неймана и Коши соответственно.
В случае граничных условий Дирихле (первого рода) на границе S задаются значения зависимой переменной (искомой функции):
ф=ф(x,y,z) |
(6.19) |
Примерами граничных условий Дирихле могут быть силы или перемещения, приложенных к поверхности тела или температуры для теплопроводящей среды.
В случае граничных условий Неймана (второго рода) на границе задается нормальная производная зависимой переменной или значения производных по пространственным координатам от искомой функции, например,
Эф/дп + р =0 на S, |
(6.20) |
гдер - заданная явно функция точки, а п - нормаль к S.
Граничными условиями Коши (третьего рода) называются условия, в которых зависимая переменная и ее нормальная производная связаны на границе зависимостью вида
{дц>/дп)+р + дф = 0 на 5, |
(6.21) |
где р и q - известные функции точки на границе S.
Таким образом, рассмотренные граничные условия включают зависимую переменную и (или) ее первую производную.
Таких граничных условий для задачи, описываемой уравнением (6.15), должно быть два: для частей границы Si и S2. Объединение 5/ и S2образует полную границу.
Исходное дифференциальное уравнение вместе с краевыми условиями (как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений) называется краевой задачей и представляет собой математическую модель исследуемого объекта.
Краевые задачи, описываемые дифференциальными уравнениями в частных производных, весьма многочисленны и
разнообразны. Одной из важнейших задач проектирования является исследование напряженно-деформированного состояния
элементов строительных конструкций и связанные с ним расчеты на прочность. В градостроительстве при проектировании системы водоснабжения городов необходим анализ течения грунтовых вод. Знание температурных полей необходимо для вычисления количества теплоты, подводимой к телу или отводимой от него. Кроме того, температурные поля влияют на распределение напряжений в конструкциях.
Математическая модель любой из этих задач может быть получена из общего квазигармонического уравнения,
описывающего разнообразные физические явления в неизотропной среде, т.е. такой среде, свойства которой различны в разных направлениях:
д |
к |
- 1 |
д |
к |
- ] |
R(x,y,z), |
(6.22) |
дх 1 дх) ду |
+ — |
||||||
|
' Ву) |
dz |
1 |
dz) |
|
|
где x,y,z пространственные координаты; <p(x,y,z) - искомая непрерывная функция; kx, ку, kz - коэффициенты; R - внешнее воздействие.
Приведем примеры некоторых прикладных задач, представляющих практический интерес для специалистов строительной отрасли.
|
6.2.2. |
|
Примеры задач, описываемых, |
|||||||
|
дифференциальными уравнениями в частных |
|
||||||||
|
|
|
производных |
|
|
|
||||
■ |
Пример 6.7. |
Задача |
теплопроводности, |
описывающая |
||||||
распространение тепла в трехмерной области [16]: |
|
|
||||||||
|
д_ |
д |
( . |
дТ |
д |
( . |
дТ |
= R(x, у, z ), |
(6.23) |
|
|
дх |
(-— |
Xv— |
+ — |
Х х — |
|||||
|
д у { у |
ду |
dz ^ |
dz |
|
|
|
|||
где |
ф = Т - температура, R - внутренний источник тепла или сток, |
|
Хх, Ху, Xz - коэффициенты теплопроводности в направлениях х, у и z соответственно.
В изотропной среде ЯЛ= Яу= к2 и уравнение (6.23) сводится к уравнению, которое называется уравнением Пуассона:
д 2Т |
д2Т д2Т |
(6.24) |
|
— т — т — |
т = R(x, у, z ) . |
||
Эх2 |
ду2 |
dz2 |
|
Если член R(x,y,z), характеризующий источник, обращается в нуль, то уравнение (6.24) становится уравнением Лапласа:
|
д 2Т |
д 2Т |
д 2Т = 0, |
|
|
|
(6.25) |
|
|
дх2 |
ду2 |
dz2 |
|
|
|
|
|
которое можно записать, используя оператор Л ат аса в виде |
|
|||||||
|
АТ = 0(или V2r = 0). |
|
|
|
(6.26) |
|||
Оператор |
Лапласа |
- лапласиан А |
(обозначаемый |
иногда |
V2), |
|||
который равен соответственно для случаев: |
|
|
|
|||||
- одной независимой переменной А = |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
- двух независимых переменных А = —^ +—: |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
dx2 |
ду■ |
|
|
|
—трех независимых переменных А = —- +—г- |
dz2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
dx2 |
ду2 |
|
|
|
Оператор |
А2 называется бигармоническим |
и в |
случае |
двух |
||||
независимых переменных определяется как |
|
|
|
|||||
|
|
2 |
д4 |
„ |
Я4 |
|
|
|
|
|
А = — г +2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
..4 |
дх2ду2 |
ду4 |
|
|
|
|
|
|
dx4 |
|
|
|
Задачи, описываемые уравнением Лапласа с краевыми условиями Дирихле, обычно называют краевыми задачами
Дирихле.
■ Пример 6.8. Плоская задача теории упругости (например, растяжение пластины или сжатие стеновой панели - плоско-напряженное
состояние; расчет ленточного |
фундамента - |
плоско-деформированное |
состояние и т.п.) [26]. |
|
|
Для двухмерного случая при kx= ку= 1 уравнение (6.22) сводится к |
||
уравнению Пуассона вида |
|
|
9 2 ср |
Э 2 ср |
(6.27) |
—y + |
= |
|
дх |
ду |
|
а при R(x,y,z)= - 2G0, уравнение (6.22) сводится к уравнению Пуассона, описывающему кручение упругого стержня некругового сечения
Э 2 Ф Э 2 ф + 2G0 = 0 . |
(6.28) |
дх1 + ду2 |
|
В этих случаях функция ф является функцией напряжений, G - упругая характеристика материала, 0 - угол закручивания сечения стержня. Напряжения сдвига, вызванные внешним крутящим усилием, получаются дифференцированием ф по х ну.
■ Пример 6.9. Периодические волновые явления типа свободных колебаний обычно описываются уравнением, называемым уравнением Гельмгольца [34],
Ц |
н Л |
] +го2ф = 0, |
(6.29) |
дх |
дх |
dz |
|
где ф —скалярная переменная, кх, ку, к2 - свойства среды в направлениях главных координатных осей х, у и соответственно, (о - частота колебаний.
Для однородной и изотропной среды кх= ку= Az=Const. В этом случае к можно ввести в частотный параметр со и, уравнение Гельмгольца записать в простой форме
У2ф + (О2ф = 0, |
(6.30) |
■ Пример 6.10. Дифференциальное уравнение для ограниченного потока грунтовых вод также содержится в уравнении (6.22) и имеет вид
к |
+кУ |
д2фЛ 2 +2 = 0. |
(6.31) |
' дх2 |
|
ду |
|
Здесь коэффициенты кх и ку определяют проницаемость почвы, Q - источник (или сток) воды, а функция ср - пьезометрический напор.
Другой важный класс физических задач представляют задачи, учитывающие изменение искомых величин во времени, т.е. нестационарные задачи (динамическое поведение различных конструкций, явления переноса тепла, течения грунтовых вод и т.д.). Уравнение (6.22) при этом включает член, содержащий частную производную по времени,
|
+ А [ * * |
+ ^ \ к Л |
+ е = |
А |
(6.32) |
дх I дх |
д у [ У ду. |
d z [ dz |
* |
dt |
|
При этом коэффициенты уравнения могут изменяться со временем. Если численное решение задачи в дальнейшем рассматривать для каждого фиксированного момента времени, то параметр R(x,y,z) в
Ягп
формуле (6.22) можно заменить разностью Q - X — и уравнение dt
(6.32) будет идентично (6.22) для каждой точки временного интервала.
Аналитическое решение большинства практических задач, описываемых дифференциальными уравнениями, с помощью аналитических методов весьма проблематично. В основном решение их получают численными методами. Выбор численного метода определяют тип дифференциального уравнения и вид
дополнительных условий. Рассмотрение численных методов начнем с обыкновенных дифференциальных уравнений.