- •Г.Г КАШЕВАРОВА, Т.Б. ПЕРМЯКОВА
- •Предисловие
- •Введение
- •Общие сведения о математическом моделировании.
- •Численные методы
- •Элементы теории погрешности
- •Понятия мастера и надстройки
- •Глава 1. Основные понятия матричного исчисления. Матрицы в расчетах строительных объектов
- •1.1. Матрицы и векторы. Определения
- •1.2. Матрицы специального вида
- •1.3. Действия над матрицами
- •1.4. Нормы матрицы и вектора
- •1.5. Матрицы в задачах строительной механики
- •1.5.1. Матрицы влияния внутренних сил
- •1.5.2. Матричная форма расчета статически определимых ферм
- •1.5.3, Матричная форма метода сил
- •1.5.4. Матричная форма метода перемещений
- •1.6. Матрицы в расчетах инженерных сетей
- •1.7. Функции Excel для операций над матрицами
- •Категория: математические. Функции:
- •2.1. Системы линейных алгебраических уравнений
- •2.2.1. Метод Гаусса
- •2.2.2. Метод Гаусса для СЛАУ с ленточными матрицами
- •2.2.3. Метод прогонки
- •2.2.4. Метод (схема) Холецкого
- •2.3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •2.3.1. Метод Якоби (простых итераций)
- •2.3.2. Метод Гаусса - Зейделя.
- •2.3.3. Условия сходимости итерационного процесса
- •2.5. Обусловленность задач и вычислений, или как узнать, что получены правильные ответы
- •2.6. Вычисление определителя
- •2.7. Вычисление обратной матрицы
- •2.8. Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц
- •2.8.1. Вводные замечания
- •2.8.2. Методы развертывания вековых определителей
- •2.8.3. Итерационные методы определения максимального по модулю собственного значения
- •2.9.1. Реализация метода Гаусса средствами приложения Excel
- •Последовательность действий:
- •2.9.4. Реализация метода Зейделя средствами приложения Excel
- •Последовательность действий:
- •3.1. Отделение корней
- •3.2. Этап уточнения корня
- •3.2.1. Метод половинного деления (бисекций)
- •3.2.2.Метод хорд
- •3.2.3. Метод Ньютона (метод касательных)
- •3.2.4. Модифицированный метод Ньютона
- •3.3. Системы нелинейных уравнений
- •3.4. Реализация численных методов решения нелинейных уравнений средствами приложения Excel
- •3.4.1. Решение нелинейных уравнений
- •Последовательность действий
- •4.2.3. Интерполяционный полином Эрмита
- •4.2.4. Сплайн-интерполяция
- •Глава 4. Аппроксимация
- •4.1. Задача и способы аппроксимации
- •4.2. Интерполирование функций
- •4.2.1. Постановка задачи интерполирования
- •4.2.2. Интерполяционная формула Лагранжа
- •4.3. Среднеквадратичное приближение функций
- •4.3.1. Метод наименьших квадратов
- •4.3.4. Квадратичное (параболическое) приближение
- •4.3.4. Эмпирические формулы с двумя параметрами. Метод выравнивания
- •4.4. Решение задач аппроксимации с помощью электронных таблиц Excel
- •4.4.1. Построение линейной эмпирической формулы методом наименьших квадратов
- •Последовательность действий
- •Последовательность действий
- •5.1. Квадратурные формулы прямоугольников
- •5.2. Квадратурная формула трапеций
- •5.3. Квадратурная формула Симпсона
- •5.4. Реализация методов численного интегрирования средствами приложения Excel
- •Глава 6. Численные методы решения дифференциальных уравнений с начальными и краевыми условиями
- •6.1.1. Задачи Коши и краевые задачи
- •6.2.1.Классификация уравнений и типы задач
- •6.3. Численные методы решения задач Коши
- •6.3.1. Метод Эйлера
- •(геометрический метод решения задачи Коши)
- •6.4. Численные методы решения краевых задач
- •Разностная схема краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка
- •Конечно-разностная аппроксимация функций двух переменных
- •Сходимость метода конечных разностей
- •6.5. Вариационный подход к решению краевых задач
- •6.5.1. Основные понятия вариационного исчисления
- •6.5.2. Связь решения краевой задачи с нахождением минимума функционала
- •6.5.3. Метод Ритца
- •6.6.1. Решение задачи Коши методом Эйлера
- •Построение второй итерации
- •Последовательность действий.
- •Порядок построения графиков приближенных решений краевой задачи
- •Глава 7. Метод конечных элементов
- •7.1. Основные положения МКЭ
- •Построение расчетной модели
- •Аппроксимация искомой функции
- •Составление разрешающих уравнений
- •Решение системы линейных алгебраических уравнений
- •7.2.1. Классификация конечных элементов
- •Одномерный конечный элемент
- •Двухмерные конечные элементы.
- •элемента
- •Одномерный симплекс-элемент
- •Двухмерный треугольный симплекс-элемент
- •7.2.3. Интерполирование векторных величин
- •7.2.4. Разбиение области на конечные элементы
- •7.2.5 Нумерация узлов и элементов
- •7. 3. Основные соотношения МКЭ
- •7.3.1. Получение разрешающих уравнений на примере плоской задачи теории упругости
- •7.3.2. Примеры разрешающих уравнений в задачах расчета строительных объектов
- •7.4. Другие типы конечных элементов
- •7.4.1. Элементы Эрмита
- •7.5. Теоретическая и практическая сходимость МКЭ
- •7.6.1. Специализированные программные комплексы
- •7.6.2. Универсальные программные комплексы
- •8.1.1. Математическая модель задачи оптимизации
- •8.1. Общие сведения
- •8.1.2. Необходимые и достаточные условия экстремума функции
- •8.1.3. Классификация задач математического программирования
- •8.2. Постановка задачи оптимального проектирования
- •8.2.1. Определение входных и выходных параметров
- •8.2.2. Выбор целевой функции
- •8.2.3. Назначение ограничений
- •8.2.4. Нормирование управляемых и выходных параметров
- •8.2.5. Примеры постановок задач оптимального проектирования
- •8.3. Задачи линейного программирования
- •8.3.1. Общая постановка задачи ЛП
- •8.3.2. Геометрический смысл системы линейных неравенств с двумя неизвестными
- •8.3.4. Симплекс-метод решения задач линейного программирования
- •Задача об оптимальном плане выпуска продукции
- •Задача об оптимальном раскрое материалов (о минимизации отходов)
- •Задача о планировании смен на предприятии
- •Задача о покрытии местности при строительстве объектов
- •Транспортная задача
- •Задача о назначениях (проблема выбора)
- •8.3.6. Двойственные задачи в линейном программировании
- •8.4. Нелинейные задачи оптимизации
- •8.4.1. Выпуклые множества и выпуклые функции
- •8.4.2. Классификация численных методов решения нелинейных задач оптимизации
- •Основные этапы поиска экстремума
- •8.4.3. Численные методы одномерного поиска
- •Метод перебора или равномерного поиска
- •Метод дихотомии (или половинного деления)
- •Метод квадратичной интерполяции
- •Метод покоординатного спуска
- •Метод градиентного спуска
- •Метод наискорейшего спуска
- •Метод сопряженных градиентов
- •Метод Ньютона
- •Метод штрафных функций
- •8.5. Решение задач оптимизации с помощью электронных таблиц Excel
- •Литература
- •Оглавление
- •Численные методы решения задач строительства на ЭВМ
Глава 1. Основные понятия матричного исчисления. Матрицы в расчетах строительных объектов
Матричная форма расчетов известна давно. Однако до появления ЭВМ она не находила широкого применения из-за трудоемкости матричных операций при ручном счете.
Решение алгебраических задач при расчете строительных объектов требует знания матричного аппарата, так как, работая на ЭВМ, удобнее всего процесс расчета представлять в матричном виде. Чтобы далее при решении задач не обращаться к специальным руководствам, введем основные понятия, которые в дальнейшем потребуются нам при изучении данного курса.
1.1. Матрицы и векторы. Определения
Матрица - прямоугольная таблица, составленная из элементов (чисел), и имеющая т строк и п столбцов (размерность т х п). , обозначается матрица чаще всего большими буквами А или [А]:
|
«II |
«12 |
« 1/1 |
|
А |
«21 |
«22 |
«2м |
( 1.1) |
[ШХ/J] |
|
|
|
|
|
«;и1 |
«m2 |
|
|
Если т —я, матрица называется квадратной
Если т = 1, эго матрица-строка;
Две матрицы А = [ауj и В = [б,, j равны друг другу, если
они одного типа (имеют одинаковое число строк и столбцов - размер [я!хя]) и соответствующие элементы этих матриц равны между собой: а у = by для всех i иj.
Если п = 1, то матрица называется матрица-столбец или вектор. Будем особо выделять вектор и обозначать его
следующим образом X или {X }:
*i
X = *2 ( 1.2)
[nxlj
XП
Квадратная матрица, у которой все элементы равны 0, кроме стоящих на главной диагонали, называется диагональной:
« I |
0 |
|
0 |
. . . 0 ' |
I |
|
|
|
|
0 |
« 2 |
2 |
0 |
. . . 0 |
А = |
|
(1.3) |
||
|
|
|
||
0 |
0 |
|
0 |
• * * а пп _ |
|
|
|
|
или скалярной, если все элементы ац=а.
Диагональная матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали равны 1, называется единичной и обозначается обычно буквой Е:
1 |
О |
О |
...О |
|
Е = О |
1 |
О |
...О |
(1-4) |
О |
0 |
1 |
...О |
|
0 |
0 |
0 |
...1 |
|
Если в матрице строки и столбцы поменять местами, получается транспонированная матрица (обозначается Ат). Очевидно, что (АТ)Т=А.
Если элементами матрицы являются матрицы, то такая матрица называется квазиматрицей или блочной матрицей. Например,
А = в„ |
(1.5) |
D2| |
|
где |
в„ , С|2, D2|, 0 -блоки: |
1 |
1 |
|||
|
*12 |
|
~d\\ |
|
||
в„ |
>®21 “ |
d\2 |
— |
|||
= |
d2\ |
^22 _ |
>С|2 “ |
|
||
|
.*21 *22. |
|
11N) |
Матрица А здесь имеет порядок [4x3].
0 = о
о
Матрица называется обратной (обозначается А"1) по отношению к данной, если ее умножение как справа, так и слева на данную матрицу дает единичную матрицу:
А А''= А’1А =Е. |
(1.6) |
Процесс нахождения обратной матрицы называется обращением матрицы. Не всякая матрица имеет обратную. Если матрица имеет обратную, то она является неособенной (невырожденной).
Эквивалентны следующие |
высказывания: матрица А |
является невырожденной, если: |
|
•столбцы матрицы А линейно независимы;
•строки матрицы А линейно независимы;
•равенство АА =0, означает, что А = 0;
•определитель матрицы А не равен 0 ( detА * 0 ).
1.2.Матрицы специального вида
Вметодах для численных расчетов обычно рассматривают матрицы, специальная форма которых позволяет легче проводить вычисления.
Матрица, в которой большинство элементов равно нулю, называется разреженной. Такие матрицы появляются при расчетах моделей, в которых существенно локализованы связи и действующие нагрузки (стержневые системы, например, фермы), или при разностной аппроксимации дифференциальных уравнений. Элементы а- такой матрицы обычно вычисляются по заданным
формулам и их можно не хранить в оперативной памяти машины.
Это очень важно, так как порядок таких матриц может достигать нескольких десятков и даже сотен тысяч.
Ленточная матрица - это разреженная матрица, в которой все ненулевые элементы расположены симметрично относительно главной диагонали.
Любая модель, в которой существует локальное воздействие составных частей, будет приводить к ленточной матрице, если уравнения и неизвестные соответствующим образом пронумерованы. Например, решение краевой задачи методом конечных разностей или вариационными методами - Ритца, конечных элементов - приводит к матрицам такого вида.
Структуру ленточной матрицы можно показать в виде
с С с 0 0 0 0
с С с с 0 0 0
с с с с с 0 0
0 с с с с с 0
0 0 с с с с 0
0 0 0 с с с с
0 0 0 0 с с с
Трехдиагональная матрица - частный случай ленточной матрицы, ширина ленты которой равна 1 (или каждая строка матрицы содержит три ненулевых элемента, за исключением первой и последней, содержащих по два ненулевых элемента). Такого вида матрицы получаются при решении краевых задач, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, или при определении критических сил способом упругих грузов [36].
Квадратная матрица называется симметричной, если ее
элементы симметричны относительно главной диагонали,
( = a ). Многие физические задачи равновесия, строительной
механики приводят к симметричным матрицам. С симметричными
матрицами часто связывают свойство положительной определенности (все детерминанты - главные миноры - такой
матрицы больше 0 или х ' А Х >0 для всех ненулевых векторов
X ) .
Решение систем линейных алгебраических уравнений не представляет никаких затруднений для диагональных матриц, в которых элементы а /у = 0 при всех i иу, кроме /=у.
Такого вида матрицы получаются при решении систем линейных алгебраических уравнений методом Жордана - Гаусса. Правда, привести матрицу к диагональному виду не просто.
Треугольные матрицы интересны тем, что решение систем линейных алгебраических уравнений сводится к рекуррентным (последовательным) вычислениям неизвестных, начиная с последнего и до первого, - для верхней треугольной матрицы и, начиная с первого и до последнего, - для нижней треугольной матрицы:
аи = 0 (для />у) |
atj = 0 (для /<у) |
Верхняя |
Нижняя |
треугольная |
треугольная |
матрица |
матрица |
Такого вида матрицы получаются при решении систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
При транспонировании эти матрицы превращаются одна в другую.
Собственные значения треугольной матрицы - суть
диагональные элементы.