- •Г.Г КАШЕВАРОВА, Т.Б. ПЕРМЯКОВА
- •Предисловие
- •Введение
- •Общие сведения о математическом моделировании.
- •Численные методы
- •Элементы теории погрешности
- •Понятия мастера и надстройки
- •Глава 1. Основные понятия матричного исчисления. Матрицы в расчетах строительных объектов
- •1.1. Матрицы и векторы. Определения
- •1.2. Матрицы специального вида
- •1.3. Действия над матрицами
- •1.4. Нормы матрицы и вектора
- •1.5. Матрицы в задачах строительной механики
- •1.5.1. Матрицы влияния внутренних сил
- •1.5.2. Матричная форма расчета статически определимых ферм
- •1.5.3, Матричная форма метода сил
- •1.5.4. Матричная форма метода перемещений
- •1.6. Матрицы в расчетах инженерных сетей
- •1.7. Функции Excel для операций над матрицами
- •Категория: математические. Функции:
- •2.1. Системы линейных алгебраических уравнений
- •2.2.1. Метод Гаусса
- •2.2.2. Метод Гаусса для СЛАУ с ленточными матрицами
- •2.2.3. Метод прогонки
- •2.2.4. Метод (схема) Холецкого
- •2.3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •2.3.1. Метод Якоби (простых итераций)
- •2.3.2. Метод Гаусса - Зейделя.
- •2.3.3. Условия сходимости итерационного процесса
- •2.5. Обусловленность задач и вычислений, или как узнать, что получены правильные ответы
- •2.6. Вычисление определителя
- •2.7. Вычисление обратной матрицы
- •2.8. Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц
- •2.8.1. Вводные замечания
- •2.8.2. Методы развертывания вековых определителей
- •2.8.3. Итерационные методы определения максимального по модулю собственного значения
- •2.9.1. Реализация метода Гаусса средствами приложения Excel
- •Последовательность действий:
- •2.9.4. Реализация метода Зейделя средствами приложения Excel
- •Последовательность действий:
- •3.1. Отделение корней
- •3.2. Этап уточнения корня
- •3.2.1. Метод половинного деления (бисекций)
- •3.2.2.Метод хорд
- •3.2.3. Метод Ньютона (метод касательных)
- •3.2.4. Модифицированный метод Ньютона
- •3.3. Системы нелинейных уравнений
- •3.4. Реализация численных методов решения нелинейных уравнений средствами приложения Excel
- •3.4.1. Решение нелинейных уравнений
- •Последовательность действий
- •4.2.3. Интерполяционный полином Эрмита
- •4.2.4. Сплайн-интерполяция
- •Глава 4. Аппроксимация
- •4.1. Задача и способы аппроксимации
- •4.2. Интерполирование функций
- •4.2.1. Постановка задачи интерполирования
- •4.2.2. Интерполяционная формула Лагранжа
- •4.3. Среднеквадратичное приближение функций
- •4.3.1. Метод наименьших квадратов
- •4.3.4. Квадратичное (параболическое) приближение
- •4.3.4. Эмпирические формулы с двумя параметрами. Метод выравнивания
- •4.4. Решение задач аппроксимации с помощью электронных таблиц Excel
- •4.4.1. Построение линейной эмпирической формулы методом наименьших квадратов
- •Последовательность действий
- •Последовательность действий
- •5.1. Квадратурные формулы прямоугольников
- •5.2. Квадратурная формула трапеций
- •5.3. Квадратурная формула Симпсона
- •5.4. Реализация методов численного интегрирования средствами приложения Excel
- •Глава 6. Численные методы решения дифференциальных уравнений с начальными и краевыми условиями
- •6.1.1. Задачи Коши и краевые задачи
- •6.2.1.Классификация уравнений и типы задач
- •6.3. Численные методы решения задач Коши
- •6.3.1. Метод Эйлера
- •(геометрический метод решения задачи Коши)
- •6.4. Численные методы решения краевых задач
- •Разностная схема краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка
- •Конечно-разностная аппроксимация функций двух переменных
- •Сходимость метода конечных разностей
- •6.5. Вариационный подход к решению краевых задач
- •6.5.1. Основные понятия вариационного исчисления
- •6.5.2. Связь решения краевой задачи с нахождением минимума функционала
- •6.5.3. Метод Ритца
- •6.6.1. Решение задачи Коши методом Эйлера
- •Построение второй итерации
- •Последовательность действий.
- •Порядок построения графиков приближенных решений краевой задачи
- •Глава 7. Метод конечных элементов
- •7.1. Основные положения МКЭ
- •Построение расчетной модели
- •Аппроксимация искомой функции
- •Составление разрешающих уравнений
- •Решение системы линейных алгебраических уравнений
- •7.2.1. Классификация конечных элементов
- •Одномерный конечный элемент
- •Двухмерные конечные элементы.
- •элемента
- •Одномерный симплекс-элемент
- •Двухмерный треугольный симплекс-элемент
- •7.2.3. Интерполирование векторных величин
- •7.2.4. Разбиение области на конечные элементы
- •7.2.5 Нумерация узлов и элементов
- •7. 3. Основные соотношения МКЭ
- •7.3.1. Получение разрешающих уравнений на примере плоской задачи теории упругости
- •7.3.2. Примеры разрешающих уравнений в задачах расчета строительных объектов
- •7.4. Другие типы конечных элементов
- •7.4.1. Элементы Эрмита
- •7.5. Теоретическая и практическая сходимость МКЭ
- •7.6.1. Специализированные программные комплексы
- •7.6.2. Универсальные программные комплексы
- •8.1.1. Математическая модель задачи оптимизации
- •8.1. Общие сведения
- •8.1.2. Необходимые и достаточные условия экстремума функции
- •8.1.3. Классификация задач математического программирования
- •8.2. Постановка задачи оптимального проектирования
- •8.2.1. Определение входных и выходных параметров
- •8.2.2. Выбор целевой функции
- •8.2.3. Назначение ограничений
- •8.2.4. Нормирование управляемых и выходных параметров
- •8.2.5. Примеры постановок задач оптимального проектирования
- •8.3. Задачи линейного программирования
- •8.3.1. Общая постановка задачи ЛП
- •8.3.2. Геометрический смысл системы линейных неравенств с двумя неизвестными
- •8.3.4. Симплекс-метод решения задач линейного программирования
- •Задача об оптимальном плане выпуска продукции
- •Задача об оптимальном раскрое материалов (о минимизации отходов)
- •Задача о планировании смен на предприятии
- •Задача о покрытии местности при строительстве объектов
- •Транспортная задача
- •Задача о назначениях (проблема выбора)
- •8.3.6. Двойственные задачи в линейном программировании
- •8.4. Нелинейные задачи оптимизации
- •8.4.1. Выпуклые множества и выпуклые функции
- •8.4.2. Классификация численных методов решения нелинейных задач оптимизации
- •Основные этапы поиска экстремума
- •8.4.3. Численные методы одномерного поиска
- •Метод перебора или равномерного поиска
- •Метод дихотомии (или половинного деления)
- •Метод квадратичной интерполяции
- •Метод покоординатного спуска
- •Метод градиентного спуска
- •Метод наискорейшего спуска
- •Метод сопряженных градиентов
- •Метод Ньютона
- •Метод штрафных функций
- •8.5. Решение задач оптимизации с помощью электронных таблиц Excel
- •Литература
- •Оглавление
- •Численные методы решения задач строительства на ЭВМ
(6.83)
dx j |
\d y |
6.5.3. Метод Ритца
Метод Ритца служит для приближенного решения вариационной задачи, т.е. задачи отыскания экстремума некоторого функционала, которой мы всегда можем заменить краевую задачу.
\F {x ,y ,y 'У ,..)dx |
(6.84) |
А'о
Идея метода Ритца заключается в том, что искомую функцию у(х) доставляющую экстремум функционалу,
представляют в виде линейной комбинации функций щ(х):
п
= |
= |
+ а2Ф2(*) + - + яиФнМ - |
(6.85) |
|
/=1 |
|
|
Число п зависит от требуемой точности.
Здесь срi(x) - координатные функции, выбираемые вполне определенным образом, а именно: так, чтобы функция у(х) удовлетворяла граничным условиям задачи (или хотя бы части из них). Точность решения в большой степени зависит от удачного подбора этих функций и, вообще говоря, возрастает с увеличением их числа. Подбор этих функций требует определенного навыка. Для линейных задач чаще всего применяют полиномы или
тригонометрические функции.
а{ - неизвестные параметры, которые находятся из решения задачи.
Подставляем решение (6.85) в функционал (6.84). После интегрирования и подстановки пределов он становится функцией, зависящей от параметров aL:
а< ) = |
>а2 >•••> ) • |
(6.86) |
Необходимым условием того, чтобы эта функция принимала экстремальное значение относительно параметров ait является система соотношений
¥_ = 0; f = 0; |
= 0. |
(6.87) |
да\ |
да„ |
|
Эти соотношения представляют собой систему п линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных параметров а, Решая эту систему, находят значения ah после чего решение вариационной задачи, а следовательно, и краевой дается формулой (6.85).
Рассмотрим применение метода Ритца на примере изгиба стержня постоянного сечения под действием равномерной нагрузки q (рис.6.18).
■Пример 6.13. Запишем выражение полной потенциальной
|
энергии |
изгибаемой |
балки |
q |
(функционал): |
|
* * * * * М |
П = j[± £/x( / |
)2 - qxy]dx |
(6.88) |
-И-------------------[ |
О |
|
|
|
В соответствии с равенством (6.72) принимаем |
||
Рис.6.18. К примеру 6.13 |
прогиб балки |
|
|
|
П |
|
|
|
у{х) = |
. |
|
|
/=1 |
|
(6.89) Координатные функции %(х) в рассматриваемом примере должны удовлетворять всем или части граничных условий, например, ^до) = 0 и
^/(0) = 0(прогиб и угол поворота в жесткой заделке равны 0). Можно принять:
|
V/+I |
|
^ w = fy ] ; р2М = (уЛ |
= | у |
(6.90) |
Решим сначала задачу с одним параметром, положив |
|
|
У ( х ) = я, |
X\ 2 |
(6.91) |
|
Тогда, |
у" (л) = |
. |
Внося эти выражения в функционал (6.88), |
||||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ 2 . |
2EJX 2 |
qr |
|
|||
л-^ 'я М Ч т |
dx =—г— а , ---- г-а,. |
|
|||||||
|
|
13 |
|
З/2 |
|
||||
Из условия (6.87) |
дП |
4EJX |
ql |
Л |
|
|
|||
да, |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
находим |
|
«1 = |
*/4 |
|
|
|
|
(6.92) |
|
И уравнение прогиба балки |
\2Е1Г |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
= 12EJX |
|
|
|
(6.93) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Максимальный прогиб балки на свободном конце при х=1 |
|
||||||||
|
|
|
ф 4 |
|
|
|
|
(6.94) |
|
|
|
Л1) = 12EJr |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
что отличается от точного значения |
|
|
|
|
|
||||
|
|
yQ) = |
¥ 4 |
|
|
|
(6.95) |
||
примерно на 17%. |
|
|
8EJS |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для уточнения решения примем |
|
|
|
||||||
|
|
у(х) = а |
у ! |
+а. |
х ^ |
|
(6.96) |
||
|
|
|
|
|
|
|
\ h |
|
|
Подставляем это |
выражение |
|
и |
выражение 2-й |
производной |
||||
."'-л _ |
о. ^xaL |
в функционал (6.84): |
|
|
|||||
у ( х ) = 1 > |
+> |
о 1_+ 6 ^ 1\2 |
|
|
|
|
|
||
я = ^ Н /2- |
|
|
|
+ a2(y j |
№ |
||||
|
2 Д /2 |
/3 |
^-<7 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Дифференцируя П по aj и а2получаем систему уравнений
дП
дах
дП = EJ |
|
|
|
|
dx - О |
да2 |
|
|
|
|
|
или |
|
3 |
|
q f |
|
ci\ + — а7 |
= ------- |
|
|||
|
1 2 |
2 |
\2EJ |
|
|
|
ax+ 2a2 = Я14 |
|
|||
|
|
|
|
2AEJX J |
|
Отсюда находим: |
«I |
5 |
gl4 |
|
|
24 |
EJX |
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|
/4 |
|
|
|
|
qr |
|
|
|
«2 =• 12EJr |
|
|||
Подставляя а, и a2в уравнение (6.96), получаем |
|||||
|
|
|
5 |
gl2x2 |
glx* |
|
У(х) = 24 |
EJr |
12EJX |
(6.97)
(6.98)
Наибольшее |
значение прогиба у{1) = |
qi4 |
что совпадает |
с точным |
|
|
8£/„ |
|
|
значением |
(6.95). Таким образом, |
добавление одного |
параметра |
|
существенно повысило точность решения. |
|
|
6.6. Решение дифференциальных уравнений с
использованием электронных таблиц Microsoft Excel
6.6.1. Решение задачи Коши методом Эйлера
Решить задачу Коши у =2ху, у(0) = 1 |
(6.99) |
методом Эйлера для двух разностных сеток с шагом й=0,2 и h=0,1.
Сравнить полученные результаты с известным точным решением
у =е Проанализировать полученные приближенные решения,
сравнить их с имеющимся точным решением и сделать вывод о продолжении или прекращении итерационного процесса.
Расчетная схема для h=0,1 строится аналогично. Полученное приближенное решение имеет вид
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 6.2. |
||
Xi |
0 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
1 |
Yi(li/2) |
1,000 1,008 1,037 1,089 1,166 1,273 1,419 1,613 1,871 2,214 2,673 |
Сравнение полученных приближенных решений приведено на рис.6.23 и разница между ними не превосходит 5%.
Метод FyHre-Кутта ( h=0.2)
Рис.6.23.Сравнение результатов расчета
Таким образом, в качестве решения исходной задачи Коши принимаем сеточную функцию таблицы 6.2.
6.6.2. Решение краевой задачи методом конечных разностей
Методом конечных разностей найти решение краевой задачи (6.62) (пример 6.11) на отрезке хе[1, 2] с шагом //=0,25 и с шагом А=0,125. Сравнить полученные результаты и сделать вывод о необходимости поиска следующего приближения или о прекращении счета.